Геометрия

[Odessa]

Плиз, помогите решить :Среди всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса R, найти прямоугольник наибольшей площади.
Заранее спасибо!!!!

[PSP]

Площадь любого из прямоугольников, о которых идёт речь в условии, равна полупроизведению длин его диагоналей на синус угла между ними. Поскольку длина диагонали равна диаметру окружности, то площадь будет максимальна при наибольшем синусе угла, т.е. при угле 90 градусов между диагоналями. Прямокгольник с таким свойством - это квадрат.

[Гость]

У меня была такая задача, когда я собеседование в Сиверской проходила! Только там была добавлена душещипательная история про какое-то государство и её жителей, проводящих аграрную реформу, ну в общем суть была та же. И я её решила... даже помню кто принимал...

[PSP]

И кто же?

[Одесса]

Ребята, спасибо за решённую задачу!!! Очень помогли, спасибо)))
Проблема опять, задача вот:

Найти угол между образующей конуса и плоскостью основания, если площадь боковой поверхности составляет сумму площадей основания и осевого сечения.

Решил я её наполовину, дальше тригонометрия не выходит, не могу понять где ошибся. Вот здесь моё решение: http://rallygamez.gamenavigator.ru/img/rewenie.GIF

[Гость]

В твоєму розв'язанні в передостанньому рядкові
П/соsA=П+tgA множиш все на соsA. Маємо:
П=ПсоsA+sinA. Залишаємо sinA з одного боку:
П-ПcosA=sinA Виносимо П за дужки і підносимо до квадрата:
(П**2)(1-cosA)**2=(sinA)**2 Праву частину міняємо:
(П**2)(1-cosA)**2=(1-cosA)(1+cosA) Скорочуємо:
(П**2)(1-cosA)=1+cosA Звідси вже сам знайдеш, що
cosA=(П**2-1)/(П**2+1)

Не забудь перевірити на "загублені та зайві" корені - коли множили та підносили до квадрату. Але їх не буде, хоча це також треба буде довести...

[ELF]

[Гость]

Кхм, де саме я помилився???

[FrozeN~Dc~]

В твоєму розв'язанні в передостанньому рядкові
П/соsA=П+tgA множиш все на соsA. Маємо:
П=ПсоsA+sinA. Залишаємо sinA з одного боку:
П-ПcosA=sinA Виносимо П за дужки і підносимо до квадрата:
(П**2)(1-cosA)**2=(sinA)**2 Праву частину міняємо:
(П**2)(1-cosA)**2=(1-cosA)(1+cosA) Скорочуємо:
(П**2)(1-cosA)=1+cosA Звідси вже сам знайдеш, що
cosA=(П**2-1)/(П**2+1)

Не забудь перевірити на "загублені та зайві" корені - коли множили та підносили до квадрату. Але їх не буде, хоча це також треба буде довести...

Интересно, кто-нибудь понял, про что здсь написано?

[bot]

Одесса понять, очевидно, должна. Я живу в Сибири и на Украине бывал лишь проездом, но это же славянский язык.
К тому же - язык математики универсален. Однажды прочитал статью и даже не понял, на каком языке она была написана. Хорошо хоть не на китайском. Ладно, уж перетолмачу для тех, кто в танке:

В твоём решении есть уравнение (отсебятина - кстати верно составленное):
П/соsA=П+tgA
Домножь его на соsA. Имеем:
П=ПсоsA+sinA. Перенесем sinA в другую часть уравнения:
П-ПcosA=sinA. Вынесем П за скобки и возведем в квадрат:
(П**2)(1-cosA)**2=(sinA)**2. Правую часть изменим:
(П**2)(1-cosA)**2=(1-cosA)(1+cosA). Сократим:
(П**2)(1-cosA)=1+cosA Отсюда сам найдешь, что
cosA=(П**2-1)/(П**2+1)

Не забудь проверить посторонние корни, поскольку умножали и возводили в квадрат. Однако их не будет, хотя это и требует доказательства.

Отсебятина (то есть это уже не перевод). В принципе, исследование уравнения в данном случае не сложно и решение в интересующем нас промежутке единственно. Но вообще говоря, с точки зрения формальной логики, этот анализ совсем не гарантирует существование решения исходной задачи. Дело в том, что мы составляли уравнение и решали его в предположении, что ответ существует. Поэтому анализ уравнения, составленного из этого предположения, ничего дать в принципе не может. Просто в геометрических задачах обычно реализуемость условий оставляют на совести составителя. А они порой ошибаются. Встречаются иногда задачи, для которых составленные верно соотношения дают единственно возможный ответ, но он не реализуется - нет объекта с такими числовыми данными. Как то встретилась задача, с буквенными данными, в котором единственно возможный ответ (который сошёлся с ответом в задачнике) оказался трапецией, у которой одно основание отрицательно. Еще помню встречался прямоугольный треугольник (с какими то условиями на медианы), единственно возможный из условий задачи, но и он этим условиям не удовлетворял.
Есть два варианта проверки, что найденный единственный ответ верен (при условии, разумеется, что нет косяков в решении уравнений):
1. Построить объект с найденными данными и проверить, что для него выполнены условия задачи.
2. Доказать существование объекта с исходными данными.

В данном случае, если не полагаться на совесть составителя, я бы избрал второе:
Составляем функцию угла А:
f(A)=Sосн + Sсеч - Sбок.
Легко понять, что эта функция непрерывна и на концах отрезка [0, pi/2] принимает значение 0. Следовательно она имеет значение 0 и внутри отрезка.