Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Здесь вы можете сформулировать математическую задачу, с которой вам не справиться, или, наоборот, поделиться своим маленьким открытием.
Возможно, другие пользователи помогут вам или порадуются вместе с вами...

Модератор: модераторы

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 19 мар 2012, 23:07

9 марта 2012 я опубликовал на матфорумах доказательство леммы:

Если AB≠0 mod n, то в равенстве A^n+B^n=(A+B )R число R не содержит простых делителей m=dn^t+1, где d≠0 mod n и t=0 или 1.

Спустя 10 дней я нашел доказательство леммы для любого t. Оно основано на простой теореме:

Для взаимно простых натуральных a, n, m (все больше 2), где n и m простые, существует такое сколь-угодно большое t, что число a^{n^t-1}-1 делится на m.

Очевидно, для выполнения этого требования нужно, чтобы, согласно малой теореме Ферма, показатель степени n^t-1 делился на m-1, что возможно при условии, если t делится на m-1, а кроме этого на сколь-угодно большое число g, т.е. t=(m-1)g.

И теперь доказательство ВТФ в общем случае будет немного сложнее частного случая.

Текст оформляется.

Влад
Сообщения: 1615
Зарегистрирован: Ср, 07 янв 2004, 16:10
Откуда: PUNK_22_13
Контактная информация:

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Влад » Вт, 20 мар 2012, 18:27

Во-первых, не нужно, а можно - это про малую теорему Ферма.

>n^t-1 делился на m-1, что возможно при условии, если t делится на m-1

Можно вот тут поподробнее?
Почему n^t-1 делится на m-1, если t делится на m-1?
Ну и так, на всякий случай: в малой теореме Ферма модуль сравнения - простое число.
"Ты - мой вопрос на главный ответ!"(с)СЛОТ
She broke my heart.
You merely broke my life.

Я сразу всё, но я ничто.
Я тысячи людей, но я никто...
:D :D :D
Превратился в дерьмо, а как обратно - не знаю...

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 13 апр 2012, 0:22

Влад писал(а):
Почему n^t-1 делится на m-1, если t делится на m-1?
Ну и так, на всякий случай: в малой теореме Ферма модуль сравнения - простое число.

Если t - составное, то n^t-1 разлагается на сомножители, некоторые из которых могут делиться на m-1.

===========================

Завершить мартовское доказательство не удалось, но зато удалось найти решение, меньшее меньшего.

Напомню свойства равенства Ферма в базовом случае

Допустим, что в системе счисления с простым основанием n>2 (т.е. в базе n)
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B )R], A^n=C^n-B^n [=(C-B )P], B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q], где
1a°) c – наибольший общий делитель чисел C и A+B;
1b°) r – второй сомножитель в числе C=cr;
1c°) если C не делится /делится/ на n, то A+B=c^n /A+B=(c^n):n/.
2°) 2C>A+B>C (т.к. A+B-C=U>0, 2C-A-B=C-U>0>-U).

Лемма
Обозначение: « => » – «однозначно определяет».
Тройка чисел C-B, C-A, R, взятая из решения уравнения 1° с наименьшим значением R, однозначно определяет все остальные числа в равенстве 1°, т.е. диофантово уравнение
3°) (C-B )P+(C-A )Q=(A+B)R с параметрами C-B, C-A, R имеет единственное решение.

Доказательство
R => r. И теперь {C-B, C-A} => 2C-(A+B)=2cr-c^n => c => cr => C => {P, Q, ...}.

Доказательство ВТФ.

Возьмем минимальные положительные решения (x, v) и (y, w) двух следующих линейных диофантовых уравнений:
4a°) (C-B)x-vR=-1
4b°) (C-A)y-wR=1.

Складывая эти уравнения, мы получаем линейное диофантово уравнение:
5°) (C-B)x+(C-A)y=(v+w)R, где, как следует из свойств линейных диофантовых уравнений, 0<x<R<P; 0<y<R<Q; 0<v<C-B, 0<w<C-A, откуда 0<v+w<2C-(A+B)<C<A+B.

Таким образом, новое решение (x, y, v+w) меньше наименьшего решения (P, Q, A+B). Полученное противоречие подтверждает истинность ВТФ.

Влад
Сообщения: 1615
Зарегистрирован: Ср, 07 янв 2004, 16:10
Откуда: PUNK_22_13
Контактная информация:

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Влад » Пт, 13 апр 2012, 21:59

Виктор Сорокин писал(а):
Влад писал(а):
Почему n^t-1 делится на m-1, если t делится на m-1?
Ну и так, на всякий случай: в малой теореме Ферма модуль сравнения - простое число.

Если t - составное, то n^t-1 разлагается на сомножители, некоторые из которых могут делиться на m-1.


А могут и не делиться. Доказательство?

Остальное - бред чуть более, чем полностью. При чём тут вообще система счисления?

>1c°) если C не делится /делится/ на n, то A+B=c^n /A+B=(c^n):n/.

с чего это вдруг?

> Обозначение: « => » – «однозначно определяет».

бугага =))

>Доказательство
>R => r. И теперь {C-B, C-A} => 2C-(A+B)=2cr-c^n => c => cr => C => {P, Q, ...}.

Это набор символов, а не доказательство.
"Ты - мой вопрос на главный ответ!"(с)СЛОТ

She broke my heart.
You merely broke my life.


Я сразу всё, но я ничто.

Я тысячи людей, но я никто...

:D :D :D

Превратился в дерьмо, а как обратно - не знаю...

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 16 апр 2012, 2:11

Влад писал(а):1) А могут и не делиться. Доказательство?

2) Остальное - бред чуть более, чем полностью. При чём тут вообще система счисления?

1) См. формулировку малой теоремы Ферма.
2) При том, что в системе счисления с простым основанием n все свойства простых чисел записываются на порядок проще. Например, число a^(n-1) при а не кратном n оканчивается на цифру 1.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 16 апр 2012, 2:12

В конце реализации последней идеи доказательства возникла интересная гипотеза:

Два диофантовых равенства с положительными параметрами A, B, C
0°) [D_0] Ax_0+By_0-Cz_0=0 с положительным решением (x_0, y_0, z_0) и v_0=max(x_0, y_0, z_0) и
1°) [D_1] Ax_1+By_1-Cz_1=0 с положительным решением (x_1, y_1, z_1) и v_1=max(x_1, y_1, z_1), где
все числа Ax_0, By_0, Cz_0, Ax_1, By_1, Cz_1 взаимно простые,
порождают последовательность диофантовых равенств
k°) [D_k] Ax_k+By_k-Cz_k=0 с положительным решением (x_k, y_k, z_k) и v_k=max(x_k, y_k, z_k), где
v_(k-1)>v_k>0.
Следовательно, система равенств 0°-1° (а также равенство Ферма) противоречива.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 16 апр 2012, 9:53

Говоря иначе:

Теорема (по-видимому, фундаментальная)

Если для взаимно простых натуральных A, B, C существуют два равенства
Ax+By-Cz=0 и Ae+Bf-Cg=0, то числа x, y, z, e, f, g не взаимно простые.

Являясь одним из таких равенств, равенство Ферма порождает и второе, что (если Теорема истинна) и доказывает истинность ВТФ (где числа A, B, C не могут быть взаимно простыми).

Влад
Сообщения: 1615
Зарегистрирован: Ср, 07 янв 2004, 16:10
Откуда: PUNK_22_13
Контактная информация:

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Влад » Вт, 17 апр 2012, 3:25

Виктор Сорокин писал(а):
Влад писал(а):1) А могут и не делиться. Доказательство?

2) Остальное - бред чуть более, чем полностью. При чём тут вообще система счисления?

1) См. формулировку малой теоремы Ферма.
.

А вы сами-то эту теорему поняли? Вы можете привести строгое доказательство, или нет?
Повторюсь, в малой теореме ферма идёт речь о делимости на простое число, у вас - о делимости на m-1, которое не является простым.
Вы будете отвечать на вопросы, или опять напишите многозначительную ничего не объясняющую фразу?

Виктор Сорокин писал(а):2) При том, что в системе счисления с простым основанием n все свойства простых чисел записываются на порядок проще. Например, число a^(n-1) при а не кратном n оканчивается на цифру 1.


И как это используется в последних выводах?

На остальные вопросы, я так понимаю, ответа не последует?
"Ты - мой вопрос на главный ответ!"(с)СЛОТ

She broke my heart.
You merely broke my life.


Я сразу всё, но я ничто.

Я тысячи людей, но я никто...

:D :D :D

Превратился в дерьмо, а как обратно - не знаю...

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 17 апр 2012, 23:30

Влад писал(а):На остальные вопросы, я так понимаю, ответа не последует?

Ответ на них был дан еще в Сообщении 83 (стр 4), в Приложении.

=====================

Проект доказательства ВТФ с помощью пары диофантовых равенств

Допустим, что для простого n>2 и взаимно простых натуральных a, b, c
1°) c^n=a^n+b^n [=(a+b )R], a^n=c^n-b^n [=(c-b )P], b^n=c^n-a^n [=(c-a)Q].

Из равенств 1° следуют также равенства (см. известные формулы разложения):
2°) a^n-b^n=(a-b )r, c^n+b^n=(c+b )p, c^n+a^n=(c+a)q, с равенством
3°) (c+a)q-(c+b)p-(a-b)r=0, где r+p+q=d, и
4°) Q-P=(a-b)u, Q-R=(c+b)v, P-R=(c+a)w, с равенством
5°) (c+a)w-(c+b)v-(a-b)(-u)=0, где -u+v+w=e.

Умножим равенства 3° на e и 5° на d, затем вычтем из первого произведения второе:
6°) (c+a)x-(c+b)y-(a-b)z=0 (где x=qe-wd, y=pe-vd, z=re+ud), где
7°) (c+a)-(c+b)-(a-b)=0 и х+y+z=0.

По-видимому, можно доказать, что, как и c+a, c+b, a-b, числа x, y, z взаимно простые.

Последний вопрос: существует ли целочисленное решение уравнения 6°?

Возможно, П.Ферма искал ответ на этот вопрос в «Четвертой книге Арифметики» Диофанта...

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 18 апр 2012, 9:09

Виктор Сорокин писал(а):Умножим равенства 3° на e и 5° на d, затем вычтем из первого произведения второе:
6°) (c+a)x-(c+b)y-(a-b)z=0 (где x=qe-wd, y=pe-vd, z=re+ud), где
7°) (c+a)-(c+b)-(a-b)=0 и х+y+z=0.

По-видимому, можно доказать, что, как и c+a, c+b, a-b, числа x, y, z взаимно простые.

И теперь, после исключения из равенства 6° чисел a-b и z мы получаем противоречивое равенство: разность двух ВЗАИМНО ПРОСТЫХ чисел равна нулю.

Таким образом, осталось доказать, что все числа c+a, c+b, a-b, x, y, z взаимно простые.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 22 апр 2012, 2:32

Уточнение

Доказательство ВТФ с помощью однородной системы линейных уравнений

Допустим, что для простого n>2 и взаимно простых натуральных a, b, c имеет место
1°) c^n=a^n+b^n, из чего следуют равенства (см. известные формулы разложения):
1a°) c^n-b^n=(c-b )P, c^n-a^n=(c-a)Q, a^n-b^n=(a-b )T, где
2a°) Q-P=(a-b)u, Q-T=(c-b)v, P-T=(c-a)w, с равенством
3a°) (c-b)v-(c-a)w-(a-b)u=0, и, учитывая 1a°, с равенством
3b°) (c-b)P-(c-a)Q-(a-b)r=0.

Для того, чтобы однородная система линейных уравнений – в нашем случае 2a°-2b° – имела нетривиальное решение, как известно, необходимо, чтобы все миноры системы – в частности
vQ-wP=0 – были равны нулю. То есть
4°) vQ=wP, где числа Q и P – взаимно простые.
Отсюда следует, что число w должно делиться на Q (а число w – на P). Но это невозможно, поскольку Q>>w.

Действительно, значения чисел P, Q, T лежат в пределах между a^{n-1} (которое, заметим, больше, чем 0,5c^{n-1}) и nc^{n-1}, а число c-a [или n(c-a) – если b кратно n] является, как известно, n-й степенью, к тому же числа c-a и Q взаимно простые. Поэтому, даже если мы возьмем число w со значением (P-T)/(c-a), то даже при c-a=2^n, P= nc^{n-1} и T=0 соблюдается неравенство:
5°) (nc^{n-1})/(2^n)< 0,5c^{n-1}, поскольку при n>2 мы имеем неравенство n/(2^n)< 0,5.

И нам остается признать, что решение равенства 1° в целых числах не существует.

KHL
Сообщения: 1
Зарегистрирован: Пн, 23 апр 2012, 9:52

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение KHL » Пн, 23 апр 2012, 12:38

Виктор, а зачем вы уже 6 лет пытаетесь здесь доказать ВТФ? Ведь она уже доказана в 1995 году.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 25 апр 2012, 18:27

KHL писал(а):Виктор, а зачем вы уже 6 лет пытаетесь здесь доказать ВТФ? Ведь она уже доказана в 1995 году.

Чтобы разгадать величайшую тайну!

=============================

КОНЕЦ

Доказательство Великой теоремы Ферма

Допустим, что для n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C существует равенство
1°) c^n=a^n+b^n, из чего следуют также равенства (см. формулы разложения):
2°) c^n-b^n=(c-b )P, c^n-a^n=(c-a)Q, a^n-b^n=(a-b )T, где
3°) числа c-a, c-b, a-b взаимно простые,
4°) (c-b)P-(c-a)Q-(a-b)T=0 и
5a°) (c-b)-(c-a)=(a-b), а также: 5b°) (c-b)-(a-b)=(c-a).

Доказательство ВТФ

Из 4° и 5a° мы имеем:
(c-b)P-(c-a)Q=[(c-b)-(c-a)]T, откуда
(c-b)(P-T)=(c-a)(Q-T).

Из этого, учитывая 3°, следует, что (P-T) делится на (c-a), а (Q-T) делится на (c-b), или
6a°) (P-T)=(c-a)V, (Q-T)=(c-b)W.

Аналогично из 4° и 5b° мы имеем:
(c-b)P-[(c-b)-(a-b)]Q=(a-b)T, откуда
(c-b)(Q-P)=(c-a)(Q-T).

Из этого, учитывая 3°, следует, что (Q-P) делится на (c-a), а (Q-T) делится на (c-b), или
6b°) (Q-P)=(c-a)U, (Q-T)=(c-b)W.

В итоге 6a° и 6b° дают равенства:
6°) (P-T)=(c-a)V, (Q-T)=(c-b)W, (Q-P)=(c-a)U.

Если одно из чисел V, W, U равно нулю, то и два других тоже равны нулю, откуда
7°) P=Q=R и, следовательно, равенство 1° невозможно.

А далее, заменив в 4° числа P, Q, T на числа V, W, U, мы целиком повторяем проведенные выше рассуждения. И так далее.

И поскольку в каждой итерации числа P, Q, T заменяются на меньшие (по абсолютному значению) числа V, W, U, то после некоторой итерации в уравнениях 6° появятся неравенства |W_i -U_i|<|c-a|, |V_i-U_i|<|c-b|, |V_i-W_i|<|c-a| и равенства 6°, следовательно и равенство 1°, в целых числах будут невозможными.
На этом история ВТФ заканчивается.

(Mezos, 24 апреля 2012).

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 27 апр 2012, 10:02

Полагаю, что я нашел доказательство более сильной теоремы, чем ВТФ, а именно:

S-Теорема:

Если
a, b, c, p, q, r – натуральные,
a, b, c – взаимно простые и больше 2,
a+b-c=0 (либо a-b+c=0),
q-r делится на a,
p-r делится на b,
q-p делится на c,
то целочисленные равенства
ap+bq-cr=0 (ap-bq+cr=0) не существуют.

Доказательство S-Теоремы почти совпадает с доказательством ВТФ в публикациях 24-26 апреля 2012.

На базе S-Теоремы доказательство ВТФ выглядит так:

Равенство Ферма невозможно, поскольку с необходимостью порождает равенство
(c-b)P-(c-a)Q-(a-b)T=0, которое, согласно S-Теореме, не имеет целых решений.


* * *

Таким образом, дальнейшее обсуждение проблемы ВТФ сводится к уяснению S-Теоремы – ее идеи, инструментов и методов. Если ее доказательство не содержит серьезных ошибок, то ее математический аппарат не выходит за пределы 6-го класса средней школы. (Лишь для доказательства ВТФ необходимо знать формулы разложения, которые проходят, кажется, в 8-м классе.)

S-Теорема рассматривает интересный математический объект: последовательность троек уменьшающихся чисел. В начале последовательности лежит тройка натуральных чисел {p1, q1, r1}. Для вычисления следующей тройки сначала составляется тройка разностей {p1-q1, q1-r1, r1-p1}; при этом выясняется, что каждая из разностей содержит свой сомножитель a, b или c (каждый >2), после отбрасывания которых и получается вторая тройка {p2, q2, r2} в последовательности.

Понятно, что даже в случае, когда, например, сомножитель a=3 и числа p1 и q1 противоположны по знаку, частное от деления p1-q1 на 3 по абсолютному значению будет меньше и p1, и q1 [например, после отбрасывания в суммы 7+8 сомножителя 3 частное от деления (7+8) на 3, т.е. 5, будет меньше 8].

Очевидно, что рано или поздно в какой-то тройке {pi, qi, ri} должно появиться нецелое число, что противоречит закономерности, изначально заложенной в последовательность.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 30 апр 2012, 22:23

1. Последнее доказательство ВТФ ошибочно.

2. Если за основание степенного бинома a^n+b^n принять сумму оснований его слагаемых a+b, то возникает странный вопрос:
Почему сумма оснований в равенстве Ферма
1°) a^n+b^n-c^n=0 равна a+b-c (>0),
а сумма оснований в тождественном ему равенстве
2°) (a^n+b^n)-(c^n-a^n)-(c^n-b^n)=0 равна 2(a+b-c)?
Замечу, что второе равенство получено из первого БЕЗ умножения оснований на 2.


Вернуться в «Доска математических объявлений»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость