math.luga.ru : Форум

Помогите пожалуйста решить задачу!!!!!!!!!

Найти интервал сходимости ряда исследовать сходимость на концах интервала?


SUM (x-2)^n * sin(sqr(n) / n^2 + 1)
n от 1 до бесконечности

По известной формуле вычисляем радиус сходимости степенного ряда как предел модуля отношения An к A(n+1), где A(k) - k-ый коэффициент. Получаем, что радиус сходимости равен 1.
Значит интервал сходимости (1; 3).
Далее исследуем ряд при x=1 и при x=3.
При x=1 модуль общего члена ряда равен sin(sqr(n))/(n^2+1), что эквивалентно ряду с общим членом 1/(n^2), т.е. сходится. А так как ряд сходится абсолютно, то ряд сходится.
При x=3 общий член ряда равен sin(sqr(n))/(n^2+1), что эквивалентно ряду с общим членом 1/(n^2), т.е. сходится. А так как ряд сходится абсолютно, то ряд сходится.

Значит, ряд сходится на [1; 3].

Физфак - что ?

RAS писал(а)::wink: Физфак - что ?

КТО, а не ЧТО ЧЕМПИОН!

вы не правильно прочитали запись sqr(n)/(n^2 +1) стоит под синусом

Anonymous писал(а):вы не правильно прочитали запись sqr(n)/(n^2 +1) стоит под синусом

А у Вас теперь и скобочка появилась, которой не было...

Да почти ничего от этой скобочки и не изменилось!

По известной формуле вычисляем радиус сходимости степенного ряда как предел модуля отношения An к A(n+1), где A(k) - k-ый коэффициент. Получаем (синус бесконечно малой величины эквивалентене самой величине), что радиус сходимости равен 1.
Значит интервал сходимости (1; 3).
Далее исследуем ряд при x=1 и при x=3.
При x=1 модуль общего члена ряда равен sin(sqr(n)/(n^2+1)), что эквивалентно 1/(n^1.5), т.е. ряд сходится. А так как ряд сходится абсолютно, то ряд сходится.
При x=3 общий член ряда равен sin(sqr(n)/(n^2+1)), что эквивалентно 1/(n^1.5), т.е. ряд сходится. А так как ряд сходится абсолютно, то ряд сходится.

Значит, ряд сходится на [1; 3].

Почему sin{sqr(n)/(n^2+1)} эквивалентен 1/n^1,5

Anonymous писал(а):Почему sin{sqr(n)/(n^2+1)} эквивалентен 1/n^1,5

sqr(n)/(n^2+1) - бесконечно малая величина, синус бесконечно малой эквивалентен самой бесконечно малой, которая эквивалентна sqr(n)/(n^2, т.е. 1/n^1,5.

Anonymous писал(а):Помогите пожалуйста решить задачу!!!!!!!!!

Спасибо за задачу, Гость!