math.luga.ru : Форум

В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности: первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что BM х CN > KM х KN.

PSP писал(а):В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности: первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что BM х CN > KM х KN.

Далее по тексту: ХУ - вектор ХУ.
Имеем: АК=(КС/ВС)*АВ + (ВК/ВС)АС =>
АК=SQRT( АК^2 ) = SQRT( (АВ*КС/ВС)^2 + (АС*ВК/ВС)^2 + 2*cos(/angle ВАС)*АВ*АС*КС*ВК/(ВС*ВС) ) < АВ*КС/ВС + АС*ВК/ВС <=> АВ/ВК + АС/КС > АК/ВК + АК/КС <=> (АВ +ВК - АК)/(2*ВК) + (АС +СК - АК)/(2*СК) > 1 <=> ВМ/ВК + СN/СК > 1 <=> ВМ*СК + СN*ВК > ВК*СК <=> ВМ*CN > (ВК - ВМ)*(СК - CN) <=> ВМ*CN > KM*KN , qed.

Это был я =)

Здорово!

PSP писал(а):Здорово!

Это... ПОДАРКИИИИИ!!!! =;0)