Многочлены.
Добавлено: Вс, 24 окт 2004, 12:44
Даны два многочлена положительной степени P(x) и Q(x), причём выполнены тождества P(P(x)) = Q(Q(x)) и P(P(P(x))) = Q(Q(Q(x))). Обязательно ли тогда выполнено тождество P(x) = Q(x)?
Из условия следует, что многочлены P(P(P(x))) и Q(P(P(x))) тождественно равны. Введём многочлен G(x)=P(x)-Q(x). Пусть E-множество значений многочлена P(P(x)). Ясно, что E-бесконечное множество, и любой элемент t этого множества является корнем многочлена G(x) (поскольку по определению множества значений существует вещественное z такое, что P(P(z))=t и тогда G(t)=P(t)-Q(t)=P(P(P(z)))-Q(P(P(z)))=0). Поэтому, если G(x) отличен от нулевого многочлена, получаем противоречие, т.к. многочлен k-ой степени имеет не более k корней, а мы получили что множество E его корней бесконечно. Следовательно G(x) - нулевой многочлен. Т.е. P(x) и Q(x) равны тождественно.
Правильно?
