math.luga.ru : Форум

Задача 11.6 с LXX Московской математической олимпиады:
Точки A', B' и С' - середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH - его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, отличную от H, то углы ABM и CBB' равны. (В. П. Филимонов)

Задача 9.6 с V (заключительного) этапа XXXIII Всероссийской математической олимпиады:
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N - середины сторон AB и BC соответственно.Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P отлична от H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN. (В. Филимонов)

Решение задачи 11.6 были распространены среди москвичей - в том числе, и тех, кто приехал на V этап...
Как мне сообщили, первым подозрительное сходство задач заметил Ф. Петров.

Разного рода события, связанные с проведением этапов Всероссийской олимпиады, всё сильнее и сильнее источают запах "осетрины второй свежести". Скандал с похожими задачами (см. выше) - ещё одно тому подтверждение.

Я провёл эксперимент: рассказал школьникам авторское решение задачи 11.6 с Московской олимпиады, а после этого предложил решить задачу 9.6 с заключительного этапа Всероссийской олимпиады.

Задача была решена минут за 10 (следует учесть, что с геометрией у этих школьников дела не очень хороши).
У школьников не возникло никаких сомнений в том, что эти задачи ОЧЕНЬ похожи.

)) Да уж, нехорошо... Не хватило Филу воображения придумать разные задачи.

А может быть не хватило чего-то другого, чтобы не предлагать на финал задачу, которая аналогична той, решение которой известно некоторым участникам финала?