Сравним две задачи.
Добавлено: Чт, 03 май 2007, 8:59
Задача 11.6 с LXX Московской математической олимпиады:
Точки A', B' и С' - середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH - его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, отличную от H, то углы ABM и CBB' равны. (В. П. Филимонов)
Задача 9.6 с V (заключительного) этапа XXXIII Всероссийской математической олимпиады:
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N - середины сторон AB и BC соответственно.Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P отлична от H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN. (В. Филимонов)
Точки A', B' и С' - середины сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно, а BH - его высота. Докажите, что если описанные около треугольников AHC' и CHA' окружности проходят через точку M, отличную от H, то углы ABM и CBB' равны. (В. П. Филимонов)
Задача 9.6 с V (заключительного) этапа XXXIII Всероссийской математической олимпиады:
Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N - середины сторон AB и BC соответственно.Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P отлична от H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN. (В. Филимонов)