1. (5 баллов, 4 минуты)
Решите уравнение 
.
2. (4 балла, 3 минуты)
В равнобедренном треугольнике меньшая высота отличается от большей
в
3. (4 балла, 3 минуты)
Может ли произведение 99 последовательных натуральных чисел
оканчиваться на
4. (4 балла, 3 минуты)
Приведите пример многочлена, отличного от константы,
который принимает значение 
при 
,
,
.
5. (4 балла, 2 минуты) Натуральное число даёт остаток 7 при делении на 8. Какой остаток может давать это число при делении на 4 ?
6. (4 балла, 2 минуты)
Нарисуйте не самопересекающуюся ломаную, все вершины которой находятся
в отмеченных точках (см. рисунок), а все звенья идут
по диагоналям. Постарайтесь, чтобы длина ломаной была как можно
больше.
7. (4 балла, 4 минуты)
Укажите все такие пары натуральных 
и 
, при которых неверно утверждение о том,
что приведённая система уравнений имеет единственное решение.
8. (5 баллов, 3 минуты) Длины сторон треугольника — последовательные целые числа, его площадь — тоже целое число. Приведите как можно больше примеров таких треугольников.
9. (4 балла, 4 минуты) Число девочек, пришедших на олимпиаду, меньше 50%, но больше 40% всех участников. Какое наименьшее число девочек могло придти на олимпиаду?
10. (3 балла, 3 минуты)
Сколько можно построить треугольников с вершинами в точках,
отмеченных на рисунке?
11. (5 баллов, 4 минуты)
В произведении
каждый множитель заменили числом 200. Как при этом изменилось произведение?
12. (4 балла, 3 минуты)
Перечислите все корни уравнения ![$[x]\cdot\{x\}=1$](/img/si_ma/00000066.gif "$[x]\cdot\{x\}=1$"){kind=small}
,
принадлежащие отрезку
![$\left[\sqrt{10};\sqrt{50}\right]$](/img/si_ma/00000067.gif "$\left[\sqrt{10};\sqrt{50}\right]$"){kind=small}
.
13. (4 балла, 3 минуты) Может ли сумма двух квадратных трёхчленов, ни один из которых не имеет корней, быть квадратным многочленом, у которого два различных корня?
14. (4 балла, 4 минуты) Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на диагональ, делит её в отношении 1:3. Найдите величину угла между диагоналями прямоугольника.
15. (4 балла, 4 минуты)
Графики трёх функций, задаваемых формулами
,
,
,
пересекаются в одной точке. Чему равно ?
| название (номер) школы и состав команды | сумма баллов | место |
|---|---|---|
| школа № 3 (в/к-2, 8 кл.) Живолупова Юлия, Мирошниченко Иван, Филатов Никита | 25 | похв. грамота |
| школа № 3 Близнюк Вероника, Самсоненко Дмитрий, Шин Вероника | 15 | I |
| школа № 3 (в/к-1, 8 кл.) Кубышкин Артём, Махмудов Сархан, Плюснина Юлия | 12 | |
| школа № 2 Иванов Серафим, Какурин Сергей, Супрун Екатерина | 8 | II |
| школа № 5 Грибов Кирилл, Калашников Никита, Коробов Юрий | 6 | III |
| Заклинская школа Зеленецкий Назар, Кириллов Дмитрий, Михайлов Евгений | 5 | 4 |
| Толмачевская школа Андрейкина Анастасия, Гикст Дарья, Иванова Виктория | 3 | 5 |
По правилам, каждая школа района заявляет для участия в УКО только одну команду, которая и определяет место школы в этом соревновании. Однако жюри обычно допускает для участия в олимпиаде и внеконкурсные команды, результаты которых не влияют на официальные показатели школы (такие команды отмечены в/к ).
