Math.luga.ru  :  г. Луга Ленинградской области. Математический сайт
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
Система Orphus
Устная командная математическая олимпиада Лужского района среди 8 классов
13 ноября 2006 г. в средней школе № 3 состоялась устная командная математическая олимпиада Лужского района среди 8 классов.

Задачи

1. (3 балла, 2 минуты) Ладья, стоящая на клетке a1, обошла всё поле, изображённое на рисунке, побывав на каждой клетке по одному разу. На какой чёрной клетке она не могла закончить своё путешествие?

2. (4 балла, 3 минуты) Верно ли, что при любом целом $a$  существуют такие целые $x$ и $y$, что $x^2+y^2=2a^2+2$ ?

3. (4 балла, 3 минуты) Аня выписывает в некотором порядке все цифры от 1 до 7. После этого Ваня пишет первую Анину цифру, затем — сумму первых двух, потом — сумму первых трёх, и т. д., наконец, сумму всех Аниных цифр. В каком порядке Аня должна написать цифры, чтобы среди чисел, написанных Ваней, было как можно больше простых чисел?

4. (4 балла, 4 минуты) Через вершины $A$ и $C$  треугольника $ABC$  проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $B$  данного треугольника, пересекающие прямые $CB$ и $BA$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Найдите длину отрезка $AB$, если $BM=8$, $KC=1$.

5. (4 балла, 3 минуты) Можно ли в записи $\dfrac{1}{x+1}*\dfrac{1}{x+2}>1$  поставить вместо звёздочки такой знак арифметического действия, чтобы полученное неравенство было истинным при всех положительных $x$ ?

6. (3 балла, 3 минуты) На доске написаны числа $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{6}$, $\dfrac{1}{8}$, $\dfrac{1}{10}$. Несколько раз над числами проделывается такая операция: выбираются любые два числа; если они равны, то одно из чисел стирается, а если одно больше другого, то вместо большего числа пишется их положительная разность. Операции осуществляются до тех пор, пока на доске не останется одно число. Что это за число?

7. (4 балла, 1 минута) Дана развёртка куба, на каждой грани которого написаны числа (см. рисунок). Развёртку свернули в кубик и определили вершину, для которой произведение чисел на трёх примыкающих к ней гранях минимальное, и ту, для которой оно максимальное. Чему равны минимальное и максимальное произведения? Укажите также те числа, при перемножении которых получаются эти результаты.

8. (3 балла, 2 минуты) Сколько существует пятизначных чисел, заканчивающихся на 6 и делящихся на 3 ?

9. (4 балла, 3 минуты) В четырёхугольнике $ABCD$  сумма величин углов $A$  и $B$  больше величины угла $C$  на $13^\circ$, а величина угла $D$  больше величины угла $C$  на $23^\circ$. Найдите величину угла $D$.

10. (5 баллов, 4 минуты) Получите каждое из чисел 16, 17, 18, 19, 20, используя ровно 5 троек (и никакие другие цифры), любое число скобок и знаков арифметических действий, а также возведение в степень.

11. (4 балла, 4 минуты) На координатной плоскости провели отрезок с концами в точках $A(1; 2)$  и $B(210; 135)$. Имеется ли внутри отрезка $AB$  хотя бы одна точка с целочисленными координатами?

12. (4 балла, 3 минуты) В электрической схеме пять блоков, каждые два из которых соединены чёрным, белым, красным или синим проводом. Может ли при этом оказаться, что от каждого блока отходят провода всех четырёх цветов?

13. (3 балла, 2 минуты) Верен ли такой признак параллелограмма: «Если у четырёхугольника две стороны параллельны, а две другие равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм»?

14. (4 балла, 3 минуты) Можно ли на плоскости отметить 6 точек так, чтобы они были вершинами ровно 15 треугольников?

15. (5 баллов, 2 минуты) Произведение двух различных ненулевых цифр, будучи увеличенным на 4, является точным квадратом. Какие это цифры?

Итоговый протокол

Максимальное число баллов, которые могла набрать команда, равнялось 58.

название (номер) школы и состав команды сумма баллов место
школа № 3
Алдашкин Геннадий, Мирошниченко Иван, Филатов Никита		34I
школа № 3 (в/к-1)
Живолупова Юлия, Кубышкин Артём, Плюснина Юлия		19 
школа № 5 (в/к)
Ерменбаева Жадра, Кострица Ольга, Фирсова Анастасия		13 
школа № 3 (в/к-2)
Заячковский Антон, Махмудов Сархан, Пельменёв Андрей		9 
Толмачёвская школа
Ботина Татьяна, Лазоренко Надежда, Туркина Зинаида		9II
школа № 5
Бортнова Марина, Левченко Егор, Петров Александр		8III
школа № 3 (в/к-3, 7 кл.)
Архангельский Роман, Курицын Михаил, Ларкин Сергей		7 
школа № 6 (7 кл.)
Ерёменко Николай, Смоленский Денис		74

По правилам, каждая школа района заявляет для участия в УКО только одну команду, которая и определяет место школы в этом соревновании. Однако жюри обычно допускает для участия в олимпиаде и внеконкурсные команды, результаты которых не влияют на официальные показатели школы (такие команды отмечены в/к ).



  Последнее обновление 28 февраля 2007 года
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
© math.luga.ru, 2002–2017. Все права защищены. При цитировании ссылка обязательна