Math.luga.ru  :  г. Луга Ленинградской области. Математический сайт
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
Система Orphus
Выездная физико-математическая олимпиада МФТИ
С. П. Павлов

Мой бывший ученик (ныне — студент Московского физико-технического института) В. С. Поликарпов, поступивший в МФТИ, кстати, без экзаменов как призёр федеральной окружной олимпиады, приехав в Лугу на каникулы, привёз с собой тексты заданий для проведения выездной олимпиады МФТИ. Методические материалы включали в себя 9 задач по математике и 6 по физике. Оргкомитет советовал выбрать по 3  задачи каждого предмета и провести физико-математическую олимпиаду. Но мы решили сделать две отдельные олимпиады. 2 февраля была проведена олимпиада по физике, 3 февраля — по математике.

Условия задач по математике

1.  Десять волейбольных команд сыграли между собой турнир в один круг. За выигрыш давалось одно очко, за проигрыш — ноль. Докажите, что если команда, занявшая $n$-ое место, набрала $x_n$ очков, то выполняется неравенство $x_1+2x_2+3x_3+...+10x_{10}\geqslant 165$.

2.  Четырёхугольник $ABCD$ касается вписанной в него окружности в точках $K$, $L$, $M$, $N$. Точка $P$, лежащая внутри $KLMN$, соединена отрезками с точками $A$, $B$, $C$, $D$. Эти отрезки делят стороны $KLMN$ на 8 частей, которые поочерёдно раскрашены в два цвета — красный и синий. Докажите, что произведение длин красных отрезков равно произведению длин синих.

3.  Последовательность натуральных чисел $x_1$, $x_2$,..., $x_{2006}$ такова, что при $n\geqslant 2$ выполняется равенство $x_n=2x_{n-1}+n$. Найдите все $x_1$, при которых последовательность содержит число 2006.

4.  Можно ли в клетках таблицы $5\times 5$ записать числа от 1 до 25 так, чтобы разность в любых двух соседних (по стороне) клетках была а) не больше 3; б) не меньше 12 ?

5.  На продолжении стороны $BC$ параллелограмма $ABCD$ за точку $C$ взята точка $E$ так, что $BC=CE$. Прямая, параллельная диагонали $AC$, пересекает отрезки $AD$, $CD$, $AE$, $CE$ в точках $K$, $L$, $M$, $N$ соответственно. Докажите, что $KL=MN$.

6.  Возрастающая арифметическая прогрессия состоит из натуральных чисел. Может ли сумма 2005 последовательных членов прогрессии равняться числу а) $n^{2006}$; б) $2006^{n}$  ($n$ — некоторое натуральное число)?

7.  Докажите, что если $a,b,c,d\in\left\lfloor 1;\sqrt{3}\right\rfloor$, то выполняется неравенство
$$\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\leqslant\dfrac{4}{3}(ac+bd)^2.$$

Условия задач по физике

1.  Верёвка длины 20 м переброшена через блок. В начальный момент верёвка висит симметрично относительно вертикальной прямой, пересекающей ось блока, и покоится, затем в результате незначительного толчка начинает двигаться по блоку. Будет ли движение верёвки равномерно ускоренным? Какова будет скорость верёвки, когда она сойдёт с блока? (массой и размером блока пренебречь).

2.  В цепь, состоящую из аккумулятора и сопротивления $R=10$ Ом включают вольтметр: сначала последовательно, затем параллельно $R$. Оба показания вольтметра одинаковы. Сопротивление вольтметра $R_v=1000$ Ом. Каково внутреннее сопротивление аккумулятора?

3.  В сосуд объёмом 10 л, наполненный сухим воздухом при нормальных условиях (давление 1 атм, температура 0 градусов Цельсия), вводят 3 г воды и нагревают сосуд до 100 градусов Цельсия. Определить давление влажного воздуха в сосуде при этой температуре.

4.  Человек с близорукими глазами может читать мелкий шрифт на расстоянии не более 18 см от глаз. Чему равны оптическая сила и фокусное расстояние очков, восполняющих недостаток таких близоруких глаз?

5.  Цилиндрический бак диаметром $d=20$ см и высотой $h=1$ м наполнен водой и посредством невесомой штанги длиной $L=3$ м, неподвижно скреплённой с баком, подвешен к шарниру. Вода вытекает из бокового отверстия площадью $S=2$ кв. см, просверленного в баке около дна, со скоростью $V=4{,}4$ м/сек. На какой угол от вертикали отклонится бак? (Понижением уровня воды в баке вследствие вытекания пренебречь; считать угол отклонения малым.)

6.  Электромотор постоянного тока, включённый в цепь батареи с ЭДС, равной 24 вольта, при полном сопротивлении цепи $R=20$ Ом делает 600 оборотов в минуту при токе в цепи 0,2 ампера. Какую ЭДС разовьёт тот же мотор, работая в качестве динамомашины при 1400 оборотах в минуту?

Результаты участников (математика)

Участникам олимпиады были предложены 7 задач. По условиям, установленным оргкомитетом, любая задача оценивалась в 1 балл, причём, выставляемые оценки могли принимать лишь одно из пяти значений: 0; 0,3; 0,6; 0,9; 1.

Фамилия, имя участника класс школа сумма баллов место, диплом
Елизарова Наталья11 кл.шк. № 65диплом I степени
Самсонов Глеб11 кл.шк. № 34,9диплом I степени
Зубанов Константин10 кл.шк. № 34,8диплом I степени
Ермаков Александр9 кл.шк. № 34,2диплом II степени
Павлов Дмитрий10 кл.шк. № 33,9диплом III степени
Меженько Иван10 кл.шк. № 23,8диплом III степени
Расторгуев Алексей11 кл.шк. № 33,34 место
Широков Станислав11 кл.шк. № 32,55 место
Александров Георгий9 кл.шк. № 326 место
Воробьёв Юрий9 кл.шк. № 31,97 место
Селезнёв Максим10 кл.шк. № 30,98 место
Курченков Антон11 кл.шк. № 30,69–10 место
Харламов Алексей11 кл.шк. № 30,69–10 место
Крючков Денис11 кл.шк. № 30 
Миклушов Никита11 кл.шк. № 30 

* * *

Выражаю глубокую благодарность В. С. Поликарпову, а также студентам мат-меха СПбГУ В. И. Щипцову и В. А. Васильеву, принявшим активное участие в проведении олимпиады и работе жюри, а также администрации средней школы № 3 г. Луги за предоставленное помещение.



  Последнее обновление 6 декабря 2006 года
Главная • Информация • ФотоАльбом • Гостевая • Форум • Письмо
© math.luga.ru, 2002–2017. Все права защищены. При цитировании ссылка обязательна