1. Назовём число красивым, если оно представимо в виде суммы квадратов двух целых чисел. Является ли множество всех красивых чисел замкнутым по отношению к умножению, т. е. является ли произведение любых двух красивых чисел красивым числом?
2. Дан треугольник ABC. Пусть O — центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, а D — центр окружности, проходящей через точки A, B, O. Докажите, что точки A, B, C, D лежат на одной окружности.
3. Все натуральные числа от 1 до 37 расставлены в строку так, что для любого числа, начиная с третьего, на него делится сумма всех стоящих до него чисел. Известно, что на первом месте стоит число 37, на втором — число 1. Какое число стоит на третьем месте?
4. Дан прямоугольник со сторонами 2 и 3. Какое наименьшее число прямолинейных разрезов надо сделать, чтобы из всех полученных частей сложить квадрат?
5.
Натуральные числа 
,
,
,
таковы,
что 
.
Докажите, что 
.
6. Дана доска m×n. Два игрока по очереди расставляют на ней ферзи и пешки. Первый может поставить ферзя на любую свободную клетку. Второй своим ходом на все свободные соседние с этим ферзём клетки (соседние по стороне или по углу) ставит пешки. И так далее. Они играют до тех пор, пока доска не будет полностью заставлена. Для каких m и n первый игрок сможет так ставить ферзей, чтобы в конце игры их число было строго больше одной четверти числа всех клеток доски?
7. Среди четырёх людей нет троих с одинаковым именем, фамилией или отчеством. Может ли при этом у любых двоих совпадать имя, фамилия или отчество?
8. В шахматном турнире участвовали n шахматистов — гроссмейстеры и мастера. После окончания турнира выяснилось, что каждый участник набрал ровно половину своих очков в партиях против мастеров. Докажите, что n — точный квадрат.
9. Существует ли пятиугольник, у которого никакие две диагонали не имеют общих точек, кроме вершин пятиугольника?
10.
Найдите все такие натуральные
и
, что десятичная запись числа
содержит
цифр,
а десятичная запись числа
содержит
цифр.
Команда 1:
Ерёменко Николай (Луга, капитан),
Ларкин Сергей (Луга, зам. капитана),
Косян Давид (Гатчина),
Марков Александр (Гатчина),
Семёнов Денис (луга),
Синюк Евгений (Гатчина),
Фёдорова Наталья (Гатчина),
Шайтан Василий (Гатчина).
Команда 2:
Шалагинов Вячеслав (Луга, капитан),
Белехов Иван (Луга, зам. капитана),
Арефьев Сергей (Луга),
Добровольский Николай (Гатчина),
Захаров Илья (Гатчина),
Измайлова София (Гатчина),
Курицын Михаил (Луга),
Михеев Владислав (Сиверский),