Math.luga.ru  :  г. Луга Ленинградской области. Математический сайт
ГлавнаяИнформацияФотоАльбомГостеваяФорумПисьмо
Система Orphus
Математический бой между сборными командами СОШ № 8 г. Гатчины и Лужскими группами ЗМШ (г. Гатчина, МОУ «СОШ № 8», 23 декабря 2009 г.)

Задачи

1.  У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены 4 одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка — либо головой вверх, либо головой вниз, но где как — не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до 4 штук) и переворачивает их. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки были перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все 4 селёдки будут расположены головами в одну сторону. Сможет ли Али-Баба за несколько ходов открыть пещеру?

2.  Существует ли число из 10 различных цифр, которое после умножения на 2 даёт число, у которого тоже все цифры различны?

3.  Во вписанном четырёхугольнике $ABCD$  точка $K$ — середина стороны $AD$, $\angle ABK=\angle DCK$. Докажите, что $AB=CD$.

4.  В зале сидят 100 человек, каждый из которых знаком не менее чем с 66 из 99 остальных присутствующих. Может ли оказаться, что среди любых четверых есть двое, не знакомых друг с другом?

5.  Дано уравнение $2x(x+1)=y(5x+3y-1)$. Сколько оно имеет таких целых решений, что оба неизвестных принадлежат числовому отрезку $[-2009; 2009]$ ?

6.  Имеются 66 яблок, любые два из которых отличаются по массе не более чем в 2 раза. Обязательно ли все эти яблоки удастся разложить в 33 пакета по 2 яблока так, чтобы массы любых двух пакетов отличались не более чем в 1,5 раза?

7.  Дан остроугольный треугольник $ABC$  и три квадрата, диагоналями которых являются отрезки  $AB$, $BC$, $CA$  соответственно. Может ли оказаться, что эти три квадрата не полностью накрывают треугольниктреугольник $ABC$ ?

8.  Можно ли $\dfrac{1}{2009}$  представить в виде суммы трёх обыкновенных дробей, числители которых — единицы, а знаменатели — различные натуральные числа?

9.  Докажите, что если $a$, $b$ — ненулевые числа, то


$$a^4 + b^4 \geqslant \frac{ab(a^4+b^4)}{a^2+b^2}+a^2b^2$$

.

10.  В строку выписали три целых числа: $a,\ b,\ c$. Под ними, строчкой ниже, записываются разности: сначала от первого числа отнимается второе, потом от второго — третье, затем от третьего — первое, т. е. получают строку$a-b,\ b-c,\ c-a$. Аналогично получают из второй строки третью, из третьей — четвёртую и т. д. Может ли в 2010-ой строке оказаться число 2009 ?

Команды

Команда 1:
Курицын Михаил (ЗМШ, капитан), Михеев Владислав (Сиверская гимназия, зам. капитана), Добровольский Николай (8), Измайлова София (8), Ларкин Сергей (ЗМШ), Марков Александр (8), Синюк Евгений (8), Фёдорова Наталья (8).

Команда 2:
Шалагинов Вячеслав (ЗМШ, капитан), Белехов Иван (ЗМШ, зам. капитана), Арефьев Сергей (ЗМШ), Безымянных Ольга (8), Захаров Илья (8), Ерёменко Николай (ЗМШ), Косян Давид (8), Ляпара Анастасия (8).

Примечания:
8 — МОУ «СОШ № 8 „Центр образования“» г. Гатчины,
ЗМШ — Лужские группы Заочной математической школы.

Итог боя:

55:14 в пользу команды 2.

Фотографии

См. в фотоальбоме.

  Последнее обновление 27 декабря 2009 года
ГлавнаяИнформацияФотоАльбомГостеваяФорумПисьмо