Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

[Виктор Сорокин]

Инструмент доказательства: только бином Ньютона.

Допустим, что для натуральных a, b, c и простого n>2
1°) a^n+b^n=c^n
Доказательство основано на простейшей лемме:
2°) Существует столь большое t, что число V=|(A^n+n^{-t})-A^n|<1.

Доказательство Великой теоремы Ферма

Пусть в системе счисления с простым основанием n длина в цифрах натурального числа c равна k. Тогда длина каждого члена разложения бинома Ньютона (c+1)^n будет заведомо меньше числа kn.
3°) Теперь возьмем число C, равное cn^v, где v>kn, и рассмотрим число
4c°) (C+1)^n=C^n+T2C^{n-1}+T3C^{n-2}+...T2C+1,
где Ti – коэффициенты разложения бинома Ньютона. Легко видеть, что значимые части членов разложения отделены друг от друга большими нулевыми интервалами.
Аналогично мы имеем и биномы Ньютона для a и b:
4a°) (A+1)^n=A^n+T2A^{n-1}+T3A^{n-2}+...T2A+1,
4b°) (B+1)^n=B^n+T2B^{n-1}+T3B^{n-2}+...T2B+1, а также число
5°) D=(A+1)^n+(B+1)^n-(C+1)^n, в котором тройные суммы каждой степени от n до 1 являются положительными, причем их значимые части отделены друг от друга большими нулевыми интервалами.

А поскольку, согласно Лемме 2°, при достаточно большом значении числа v значение числа V=D-(A^n+B^n-C^n) относительно числа C^n может быть сколь угодно малым, то целая часть числа D будет отличаться от 0 на бесконечо малую величину. Но тогда и каждая из тройных сумм в 5° будет отличаться от нуля менее чем на 1. Из чего, в частности, следует, что абсолютное значение числа A+B-C не превышает 1. А при этом условии равенство 1° невозможно с полной очевидностью.

P.S. Разумеется, этот экспромтный текст будет еще редактироваться, но его простая идея позволяет читателю самому расставить все точки над «i».

(Мезос, 7/1/2014)

[Виктор Сорокин]

Идея с простым числом m=d+1>C^n (т.е. числа A^n, B^n, C^n однозначны, т.е. цифры ).

Пусть для взаимно простых A, B, C и простых m=d+1>C^n и n>2

1°) A^n+B^n-C^n=0, где:
1a°) все числа записаны в системе счисления по простому основанию m=d+1.
1b°) Если a+b-c=0 mod m, то a^m+b^m-c^m≡0 mod m (следствие из бинома Ньтона),
1c°) A^d≡B^d≡C^d≡1 mod m (малая теорема Ферма).

Доказательство ВТФ

Равенства 1b° и 1c° порождают два числа, кратных m:
A^{nm}+B^{nm}-C^{nm}≡0, или
2°) A^{dn+n}+B^{dn+n}-C^{dn+n}≡0 (mod m), и
A^d*A^n+B^d*B^n-C^d*C^n≡1, или
3°) A^{d+n}+B^{d+n}-C^{d+n}≡0 (mod m).

Сравнивая выражения 2° и 3°, мы видим, что выражение 3° может быть получено иначе: при возведении равенства 1° в степень d/n+1. Из этого следует, что если число d не кратно n, то показатель степени d/n+1, как и числа A^{d+n}, B^{d+n}, C^{d+n}, следовательно и числа A, B, C, являются нецелыми. Из чего следует истинность ВТФ.

Бесконечность множества простых чисел m=d+1, где d не кратно n, может быть доказана многими способами. Один из них был когда-то опубликован.

Доказательство будет совершенствоваться. Интересных вам размышлений!

[Виктор Сорокин]

Итак, окончательно u=1

Действительно, пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n-C^n=0 [и C^n-B^n=(C-B)P, C^n-A^n=(C-A)Q, A^n+B^n=(A+B)R], где:
1a°) A+B>C>0,
1b°) U=A+B-C=abcu, где a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел (A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1c°) числа abc и u взаимно простые.
Лемма. Легко видеть, что:
1d°) При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n и, следовательно, число abc – на 2^3. И при n>3 противоречивость равенства 1b° налицо.
1e°) Кроме того, даже в наихудшем случае (n=3 и a=b) число u>1,4 (в чем легко убедиться не только аналитически, но и на простом числовом примере).

Доказательство ВТФ

Как известно, при условии a+b-c=0 число
2°) D=c^3-a^3-b^3=3abc, т.е. u=3.
А при любом уменьшении значения числа c либо при увеличении чисел a и b число D с полной очевидностью уменьшается, т.е. в равенстве 1b°
3°) 0<u< 3 (где u целочисленно!).
Значение u=2 отпадает по той причине, что в этом случае равенство 1b°
4°) A+B-C=2abc противоречиво по четности (в правой части равенства сомножитель 2 входит в большей степени), а равенство
5°) A+B-C=abc невозможно на основании 1d°-1e°.

Примеч. Если одно из чисел a, b, c кратно n, то в предварительном равенстве 2° оно выражается через сумму или разность двух остальных чисел.

[Виктор Сорокин]

Наконец-то найдено доказательство классическое, не оригинальное и даже скучное, основанное на известной лемме:
Лемма. Если сумма взаимно простых чисел a и b не кратна простому n>2, то сомножитель W в равенстве
0°) a^n+b^n=(a+b)W делится на n и не делится на n^2.

Допустим, что для взаимно простых A, B, C, где A [или B] не кратно простому n>2,
1°) A^n+B^n=C^n, где, как известно:
1a°) целое число 2U=A+(B-C) кратно n.

Доказательство ВТФ

Представим числа A и (B-C) в виде:
2°) A=U+V, B-C=U-V (где V не кратно n!) и рассмотрим равенство
3°) (U+V)^n+(U-V)^n=(2U)W, где числа
4°) U+V и U-V не кратны n, а U кратно n и, следовательно (см. 0°), число W кратно n.

А теперь, раскрыв биномы Ньютона в 3° и приведя подобные члены, мы видим, что в левой части равенства каждый член длится на U, причем последний член – 2UV^{n-1} – лишь на U в первой степени, а все остальные в степени 3 и выше. Поэтому после почленного деления равенства 3° на 2U, мы получаем противоречие:
в левой части каждый член делится на U^2 и, следовательно (см. 1a°), на n^2, а правая часть делится только на n в первой степени (см. 0°).

ВТФ доказана.

(Мезос, 16/02/2014)

=======================
P.S. И все же решающей оказалась теорема: «Кто работает, тот работу, может быть, и сделает, а кто не работает, то не сделает никогда!»

[Виктор Сорокин]

P.P.S. Необходимые дополнения.

1) В Лемму следует добавить фразу:
«Очевидно, Лемма справедлива и для неравных чисел A=da и B=db, где d не кратно n».

2) Соответственно 1a° должно быть уточнено:
1°) целое число 2U=A+(B-C) [>0] кратно n и НОД чисел A и (B-C) не кратен n.

3) Напомню вкратце доказательство Леммы для равенства a^n-b^n=(a-b)W с (a-b) кратным n:
Равноотстоящие от концов члены многочлена W дополняются (с компенсацией) до полного квадрата, после чего сумма компенсирующих слагаемых становится равной n(ab)^{(n-1)/2}, а само число W представимо в виде W=D(a-b)^2+n(ab)^{(n-1)/2}, где a и b не кратны n.

[Виктор Сорокин]

Школьные рассуждения о школьном доказательстве ВТФ (опубл. 17 февраля 2014)

1) Исходной математической базой является счисление по простому основанию n (5-6-й классы средней школы). Суть малой теоремы Ферма можно найти в справочниках: последняя цифра числа A^n равна последней цифре числа A. Отсюда: равенство Ферма должно выполняться по последним цифрам взаимно простых чисел A, B, C, т.е. число 2U=A+B-C должно делиться на n.
При этом число U не равно нулю, поскольку (см. бином Ньютона) (A+B)^n>A^n+B^n.
Кроме этого, если число A не кратно n, то C-B=a^n и A=ap, где числа p и a^{n-1} являются взаимно простыми. Причем число p-a^{n-1} делится на n.

2) Число A^2+B^2 легко преобразуется в (A-B)^2+2AB. С помощью этой операции число W в равенстве A^n-B^n=(A-B)W легко приводится к виду:
W=D(A-B)^2+n(AB)^{(n-1)/2}.
Из этого следует, что если число A-B кратно n (и не равно нулю), но A не кратно n, то W кратно n и не кратно n^2. Это же будет верно и для чисел AD-BD и AD, если D не кратно n.

3) С подстановкой A=U+V и (B-C)=U-V никаких неясностей нет, важно лишь, что V не кратно n. А дальше остается лишь рассмотреть число (U+V)^n+(U-V)^n=2UW. Формулу бинома Ньютона можно найти в справочнике, хотя из нее нам пригодится немногое, а именно:
- каждое слагаемое в каждом из двух биномов содержит сомножитель U в понижающейся степени от n до нуля, а V – в повышающейся степени от нуля до n;
- k-е члены в обоих разложениях равны по абсолютному значению, но четные члены противоположны по знаку. Поэтому в сумме двух разложений останутся лишь удвоенные нечетные члены;
- в результате в сумме разложений последний член будет содержать сомножитель U лишь в первой степени, а предыдущий член уже в третьей степени (!!!).

4) И наконец после почленного деления равенства (U+V)^n+(U-V)^n=2UW на 2U мы видим, что правая часть – число W – на n делится, а левая нет, ибо единственное (последнее) – V^{n-1} на n не делится. Полученное противоречие и доказывает истинность Великой теоремы Ферма.

Интересно, когда великие ученые мужи выскажутся по поводу доказательства?..

[Виктор Сорокин]

Самое краткое доказательство ВТФ, основанное на известной Лемме:
Если число a+b кратно, а число a не кратно простому n>2, то число W в равенстве
0°) a^n+b^n=(a+b)W делится на n и не делится на n^2.

Допустим, что для взаимно простых A, B, C, где A [или B] не кратно простому n>2,
1°) A^n+B^n=C^n, где, как известно, целые числа 2U [=A+(B-C)>0] и U кратны n.

Доказательство ВТФ

Представим числа A и (B-C) в виде:
2°) A=U+V, B-C=U-V (где, как легко видеть, V не кратно n) и рассмотрим равенство
3°) (U+V)^n+(U-V)^n=(2U)W, где
U кратно, а числа U+V и U-V не кратны n и, следовательно (см. 0°), число W кратно n.

Раскрыв биномы Ньютона в 3°, приведя подобные члены и поделив равенство почленно на 2U, мы видим, что правая часть (т.е. число W) делится на n, а левая не делится, ибо представима в виде nZ+V^{n-1}, где V^{n-1} не кратно n.
Полученное противоречие и свидетельствует об истинности Великой теоремы Ферма.

(Мезос, 16/02/2014)

P.S. Автор благодарит все сайты, позволившие опубликовать на их страницах это доказательство.

[Виктор Сорокин]

Ошибка. Это лишнее подтверждение того, что равенство Ферма по цифрам и числам противоречия не проявляет.

[Виктор Сорокин]

ВТФ. Кардинальное изменение направления исследования.
Интереснейшее доказательство с помощью лишь малой теоремы Ферма.
Я привожу его в том виде, которое, как мне представляется, имел в виду сам мэтр.

1°) Допустим, что для взаимно простых A, B, C и n>2 имеет место A^n+B^n=C^n.

Возьмем простое h>(ABC)^n. Тогда, согласно малой теореме Ферма, для любого простого сомножителя m числа (ABC)^n существует такое минимальное число d>2, что число h^d-1 делится на m, а минимальное число

2°) h^D-1, где D=d1*d2*...*dt, делится на каждый сомножитель m1, m2, ... mt числа (ABC)^n и, следовательно, на числа A^n, B^n, C^n, то есть:

3°) h^D-1=xA^n, откуда: A^n=(h^D-1)/x,
h^D-1=yB^n, откуда: B^n=(h^D-1)/y,
h^D-1=zC^n, откуда: C^n=(h^D-1)/z, где числа в парах

4°) (x, A^n), (y, B^n), (z, C^n), (x, y), (x, z), (y, z), взаимно простые*.

После подстановки 3° в 1° мы получаем равенство: xz+yz=xy, или
5°) (x+y)z=xy, где числа z и xy взаимно простые (см. 4°). И следовательно,
равенство 5°, следовательно, и равенство 1° не является целочисленным.
ВТФ доказана.

(Мезос, 30/03/2014)

* Разумеется, работа по оформлению доказательства предстоит еще большая. Собственно, в доказательстве нуждается лишь утверждение 4°.

[Виктор Сорокин]

Главный момент доказательства

Итак, D'<<A'B'C'. Но при этом число D' делится и на A', и на B', и на C'! Как такое может быть?!

Рассмотрим этот случай на примере.
Пусть D'=2*3*7, A'=2*3, B'=2*7.
По отдельности число D' делится и на 6, и на 14, но при этом 42 на 84 не делится!
(То же самое наблюдается и в равенстве Ферма!)

Отметим также, что частные D'/A' и D'/B' ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ!

Таким образом, для завершения доказательства остается лишь «справиться» с двойками при четном числе. Но это уже сущие пустяки.

Полный список инструментов для доказательства ВТФ таков:
- формула малой теоремы Ферма,
- наименьшее общее делимое,
- формула разложения разности степеней.

[Виктор Сорокин]

Улучшение обозначений

Назовем число a, или наименьшее общее делимое чисел (A_1-1), (A_2-1), ...(A_k-1) мтф-показателем нечетного числа A, состоящего из простых сомножителей A_1, A_2, ...A_k, а число A'=h^a-1, где h>1, мтф-аналогом нечетного числа A.

Легко видеть, что, согласно малой теореме Ферма (мтф), число A' делится на A.
Отсюда для чисел A, B, C, ABC (или D), только для их нечетных частей чисел из равенства Ферма, вытекают соотношения:
A'=AE, B'=BF, C'=CG, D'=DT.

Первоначально в качестве h я взял простое число большее (ABC)n.
Однако для удобства сначала попытаюсь поработать со значением h=2.
Таким образом, для нечетных A и B их мтф-аналоги будут A'=2^a-1 и B'=2^b-1.

Очевидно, мтф-аналоги A' и B' не являются взаимно простыми.
Например: для A=3 [a=A1=2] и B=5 [b=B1=4]: A'=3 и B'=15.
Поэтому при формировании мтф-аналога D' числа D общие сомножители чисел A', B', C' в числе D' повторяться не будут, т.е. D'<<A'B'C'.
Например, для A=3 и B=5: a=2, b=4, но их d (для числа D=AB) равен не 2х4, а всего лишь 4: 2^4-1 делится и на 3, и на 5.

[Виктор Сорокин]

Наконец-то, исследование перешло в нетривиальную стадию с очень интересными результатами. Для иллюстрации этого факта я начну с числового примера, с большой убедительностью показывающего, что доказательство ВТФ найдено.

Противоречие равенства Ферма: теоретически целое число H=(q-p):[nc(a-b)] (вытекающее из формул 1d°-1e°) на деле (по расчетам) является нецелым!

Допустим, что для взаимно простых A, B, C, простого n>2
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr [где, как известно,
1c°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые];
1d°) число [U=] A+B-C=uabc (где C>A>B>1), или ap+bq-cr=uabc;
1e°) если A/B/C не делится на n, то C-B=a^n, P=p^n / C-A=b^n, Q=q^n / A+B=c^n, R=r^n;
Если же, например, C делится на n^k и не делится на n^{k+1}, то A+B делится на n^{kn-1} (поскольку одно и только одно n входит в число R) и, следовательно,
1f°) если P/Q/R не кратно n, то в системе счисления по основанию n числа p, q, r оканчиваются на цифру 1 (и даже на 01);
1g°) числа a, b, c содержат простые делители h отличные от n.


Доказательство ВТФ для самого трудного случая: AB не кратно n

Для начала покажем верность гипотезы: «теоретически целое число H=(q-p):[nc(a-b)] целым не является» на числовом примере.

A=15,96; B=12; C=17,95; n=3.
A^3=4065,36; B^3=1728; C^3=5783,53.

C-B=5,95; C-A=1,99; A+B=27,96; P=683,2; Q=868,3; R=206,85.
a=1,81; b=1,26; c=3,03; p=8,81; q=9,54; r=5,91.

И теперь H=(q-p):[nc(a-b)]=(0,73):[3*3,03*(0,55)]=(0,73):[5,00]<<1, т.е. число H не только не целое, но намного меньше 1

И даже если число C кратно n и, следовательно, сомножитель 3 в формулу для H не входит, то и в этом случае H=0,44. Столь большое отклонение от идеала (H – целое) позволяет проводить доказательство с очень грубым округлением чисел.

Легко также видеть, что с укрупнением чисел A, B, C (например, с помощью умножения равенства 1° на большое число g^{nn}) число H стремится к нулю.

Целостность числа H вытекает из формул 1d°-1e° и из разности многочленов Q-P.
Ввиду исключительной простоты расчетов они опускаются и будут приводиться по мере поступления вопросов.

Мезос, 15/06/2014

[Виктор Сорокин]

Мое исследование подходит к концу. Из многих тысяч идей наиболее интересной представляется нижеследующая, основанная на, назову так, S-теореме:
В равенствах a^n-b^n=(a-b)S и (ak+d)^n-(bk+d)^n=(a-b)T, где: натуральные числа a и b взаимно простые, a-b не делится на n и числа a^n-b^n и dk также взаимно простые, числа S и T являются взаимно простыми.

***

Допустим, что для взаимно простых A, B, C (AB и A-B не кратны n) и простого n>2
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr;
1c°) число [U=] A+B-C=uabc, или ap+bq-cr=uabc;
1d°) C-B=a^n, P=p^n, C-A=b^n, Q=q^n.

Доказательство ВТФ, основанное на S-теореме

Из 1c°-1d° вытекают:
2°) A-B=(C-B)-(C-A)=a^n-b^n=(a-b)T и

3°) q-p=(uac+b^{n-1})-(ubc+a^{n-1})=(a-b)V.

А из 1d° и развернутой записи числа Q-P видно (см. формулы разложения), что:
4°) Q-P=q^n-p^n=(q-p)S.

5°) Q-P=(A-B)W.

6°) Из 2°, 4° и из S-теоремы следует, что число S на T не делится. Следовательно, число q-p делится не только на a-b, но и на всё число A-B.

И после почленного умножения равенства 1° на достаточно большое число g^{nn} видно, что число A-B умножается на g^n, а число q-p – на число g^{n-1}, и деление 6° невозможно, поскольку в новых значениях q*-p*<<A*-B*, ибо (A-B)g^n>>(q-p)g^{n-1}.

Мезос, 23/06/2014

P.S. С большой вероятностью S-теорема доказана. Если же нет, то будем ждать ее доказательства.

[Виктор Сорокин]

Краткое изложение сути доказательства ВТФ

Пусть для взаимно простых A, B, C, простого n>2 и, например, AB(A-B) не кратного n
1°) C^n=A^n+B^n, откуда:
2a°) A^n=(C-B)P=a^n*p^n,
2b°) B^n=(C-A)Q=b^n*q^n,
3a°) A-B=a^n-b^n=(a-b)T и
3b°) Q-P= (A-B)W=q^n-p^n=(q-p)S, где, как легко показать,
3c°) q-p=(a-b)V, т.е. q-p делится на a-b (где числа a, b, p, q взаимно простые).

Так вот, представляется, что в 3° числа S и T взаимно простые (см. S-теорему). В таком случае число q-p делится A-B.
Но тогда после умножения равенства 1° на достаточно большое число g^{nn} число q-p умножается на число g^{n-1}, а число A-B – на g^n, и в новом эквивалентном равенстве 1° целое деление числа q*-p* на A*-B* заведомо невозможно (т.к. q*-p*<<A*-B*).

Таким образом, задача нахождения элементарного доказательства ВТФ сводится к доказательству S-теоремы:
Если в равенствах a^n-b^n=(a-b)S и (ak+d)^n-(bk+d)^n=(ak-bk)T числа в парах (a, b) и (a^n-b^n, dk) взаимно простые и a-b не кратно n, то числа S и T являются взаимно простыми.

P.S. Буду признателен тому, кто поместит S-теорему для обсуждениия на форуме dxdy, куда мне доступ закрыт.

[Виктор Сорокин]

Прежде всего хочу напомнить, что вопрос об элементарном доказательстве ВТФ (с помощью М-теоремы) можно считать закрытым. Доказательство полностью соответствует примечанию на полях Четвертой книги Диофанта, сделанному Мэтром. И потому в дальнейшем буду рассматривать лишь S-теорему, хотя с очень большой вероятностью она давно доказана. Так что, возможно, придется открывать «велосипед».

Прежде всего формулировку S=теоремы можно существенно упростить:

S-теорема. Базовый случай.

Числа S и T в равенствах
1°) a^n-b^n=(a-b)S и
2°) (a-1)^n-(b-1)^n=(a-b)T, где
3°) неравные числа a и b есть взаимно простые однозначные числа в системе счисления по простому основанию r сомножителя числа S и a-b не кратно простому n>2,
являются взаимно простыми.

Основной инструмент состоит в следующем:
если числа S и T кратны r, то и числа S* и T* в равенствах
1*) (a+kr)^n-(b+tr)^n=(a-b+kr-tr)S* и
2*) (a-1+kr)^n-(b-1+tr)^n=(a-b+kr-tr)T*
также кратны r.
С помощью умножения этих равенств на некотрое число g^n не кратное r требуется показать, что T не делится на r.