Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Модератор: модераторы
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Описание доказательства ВТФ 2013-10-ВС
Ошибочность одной из лемм вынуждает меня несколько перестроить доказательство. Но прежде всего я расскажу о его сути.
Противоречие равенства Ферма состоит в том, что число F=Q-P [и, возможно, число Q+P+R] из равенств A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q , C^n=(A+B)R имеет два РАЗНЫХ значения при вычислении его по формулам разложения суммы степеней и по формуле бинома Ньютона. Различие обнаруживается не ранее, чем по четвертым от конца цифрам чисел A, B, C и становится очевидным после умножения равенства Ферма на соответствующее число g^{nn}, в результате чего основания a, b, c умножаются на g, числа A, B, C на g^n, основания p, q, r на g^{(n-1)} и сомножители-«радикалы» P, Q, R на g^{(n-1)n}. Важно, что при этом умножении сохраняются все степенные свойства чисел A, B, C, P, Q, R.
(При этом равенство ферма закономерно соблюдается по трехзначным окончаниям, а потому его «противоречие» НЕ обнаруживаемо никаким математическим аппаратом!)
Для доказательства ВТФ достаточно ограничиться самым простым, но легко обобщаемым Вторым случаем – например, число C оканчивается на два нуля (т.е. кратно n^2). Тогда, как это следует из известной теории равенства Ферма, в системе счисления по простому основанию n>2 число R оканчивается на один ноль, а пятизначные окончания чисел A и B по абсолютному значению равны даже в наихудшем случае (n=3).
И теперь нам остается лишь подсчитать третьи и четвертые цифры числа F=P-Q двумя способами. (Забегая вперед, скажу, что согласно формулам разложения 4-я цифра числа F не равна нулю, а согласно биному Ньютона равна нулю.)
До скорого!
Ошибочность одной из лемм вынуждает меня несколько перестроить доказательство. Но прежде всего я расскажу о его сути.
Противоречие равенства Ферма состоит в том, что число F=Q-P [и, возможно, число Q+P+R] из равенств A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q , C^n=(A+B)R имеет два РАЗНЫХ значения при вычислении его по формулам разложения суммы степеней и по формуле бинома Ньютона. Различие обнаруживается не ранее, чем по четвертым от конца цифрам чисел A, B, C и становится очевидным после умножения равенства Ферма на соответствующее число g^{nn}, в результате чего основания a, b, c умножаются на g, числа A, B, C на g^n, основания p, q, r на g^{(n-1)} и сомножители-«радикалы» P, Q, R на g^{(n-1)n}. Важно, что при этом умножении сохраняются все степенные свойства чисел A, B, C, P, Q, R.
(При этом равенство ферма закономерно соблюдается по трехзначным окончаниям, а потому его «противоречие» НЕ обнаруживаемо никаким математическим аппаратом!)
Для доказательства ВТФ достаточно ограничиться самым простым, но легко обобщаемым Вторым случаем – например, число C оканчивается на два нуля (т.е. кратно n^2). Тогда, как это следует из известной теории равенства Ферма, в системе счисления по простому основанию n>2 число R оканчивается на один ноль, а пятизначные окончания чисел A и B по абсолютному значению равны даже в наихудшем случае (n=3).
И теперь нам остается лишь подсчитать третьи и четвертые цифры числа F=P-Q двумя способами. (Забегая вперед, скажу, что согласно формулам разложения 4-я цифра числа F не равна нулю, а согласно биному Ньютона равна нулю.)
До скорого!
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
В связи с тем, что у данной темы много читателей, приведу несколько фактов для любителей напряженных размышлений.
В итоге моих многолетних исследований по ВТФ вырисовываются всего два обещающих направления поисков. Нужно показать, что:
1) либо число u в равенстве U=A+B-C=abcu,
2) либо число (A+B )(A-B )
не содержит простого делителя m вида m=dn+1.
Если бы это удалось, то ВТФ доказывается в несколько строк.
Отсюда у меня такой большой интерес к системе счисления с простым основанием n. К тому же любые размышления на эту тему изобилуют массой удивительных открытий (о которых я не рассказываю как не имеющих убедительного значения для доказательства ВТФ).
В итоге моих многолетних исследований по ВТФ вырисовываются всего два обещающих направления поисков. Нужно показать, что:
1) либо число u в равенстве U=A+B-C=abcu,
2) либо число (A+B )(A-B )
не содержит простого делителя m вида m=dn+1.
Если бы это удалось, то ВТФ доказывается в несколько строк.
Отсюда у меня такой большой интерес к системе счисления с простым основанием n. К тому же любые размышления на эту тему изобилуют массой удивительных открытий (о которых я не рассказываю как не имеющих убедительного значения для доказательства ВТФ).
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Одна давняя ни на что не похожая идея с числом U=A+B-C=abcu
Сначала, как всегда, канонические свойства равенства Ферма:
Пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>3 (случай n=3 доказывается отдельно)
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где,
1c°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые;
1d°) если A / B / C не кратно n, то C-B=a^n / C-A=b^n / A+B=c^n;
1e°) если A / B / C кратно n, то один сомножитель n из числа C-B / C-A / A+B забирает к себе соможитель P / Q / R;
1f°) U=A+B-C=abcu, где
1g°) числа abc и u взаимно простые и
1h°) U есть функция от аргумента v: U=f(v), где v=abc.
Осмысление момента (или доказательство ВТФ?)
Лемма. При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n, числа P, Q, R – на 2^{n(n-1)}, числа p, q, r – на 2^{n-1}, число abc – на 2^3 и, следовательно, число u – на 2^{n-3}.
Но поскольку число u есть результат ТОЛЬКО сложения и умножения каких-то чисел, то оно должно являться суммой (n-3)-х степеней некоторого основания v', равного a'b'c'.
И теперь мы имеем одно из двух:
Либо все три числа a', b', c' целые, и тогда числа abc и u НЕ взаимно простые, что противоречит 1g°, либо какие-то из них НЕЦЕЛЫЕ, и тогда решение {A, B, C} нецелое,
что и свидетельствует об истинности Великой теоремы ферма.
Сначала, как всегда, канонические свойства равенства Ферма:
Пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>3 (случай n=3 доказывается отдельно)
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где,
1c°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые;
1d°) если A / B / C не кратно n, то C-B=a^n / C-A=b^n / A+B=c^n;
1e°) если A / B / C кратно n, то один сомножитель n из числа C-B / C-A / A+B забирает к себе соможитель P / Q / R;
1f°) U=A+B-C=abcu, где
1g°) числа abc и u взаимно простые и
1h°) U есть функция от аргумента v: U=f(v), где v=abc.
Осмысление момента (или доказательство ВТФ?)
Лемма. При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n, числа P, Q, R – на 2^{n(n-1)}, числа p, q, r – на 2^{n-1}, число abc – на 2^3 и, следовательно, число u – на 2^{n-3}.
Но поскольку число u есть результат ТОЛЬКО сложения и умножения каких-то чисел, то оно должно являться суммой (n-3)-х степеней некоторого основания v', равного a'b'c'.
И теперь мы имеем одно из двух:
Либо все три числа a', b', c' целые, и тогда числа abc и u НЕ взаимно простые, что противоречит 1g°, либо какие-то из них НЕЦЕЛЫЕ, и тогда решение {A, B, C} нецелое,
что и свидетельствует об истинности Великой теоремы ферма.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
ВТФ и число U [=A+B-C=abcu]. Часть 2. Основной ход.
Напомню простую лемму из Первой (предыдущей) части доказательства:
Лемма. При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n, числа P, Q, R – на 2^{n(n-1)}, числа p, q, r – на 2^{n-1}, число abc – на 2^3 и, следовательно, число u – на 2^{n-3}.
Из нее видно, что если число u есть константа (вида n^k), то противоречивость равенства A+B-C=abcu (и, следовательно, равенства Ферма) налицо: левая часть умножается на на 2^n (n>3), а правая – всего лишь на 2^3.
Для завершения доказательства ВТФ остается лишь показать, что число u не содержит сомножителей отличных от n.
(Продолжение следует)
Напомню простую лемму из Первой (предыдущей) части доказательства:
Лемма. При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n, числа P, Q, R – на 2^{n(n-1)}, числа p, q, r – на 2^{n-1}, число abc – на 2^3 и, следовательно, число u – на 2^{n-3}.
Из нее видно, что если число u есть константа (вида n^k), то противоречивость равенства A+B-C=abcu (и, следовательно, равенства Ферма) налицо: левая часть умножается на на 2^n (n>3), а правая – всего лишь на 2^3.
Для завершения доказательства ВТФ остается лишь показать, что число u не содержит сомножителей отличных от n.
(Продолжение следует)
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Среди двух десятков известных мне математических публик наиболее интересны две: ЗДЕШНЯЯ и на ВМК в МГУ. (К сожалению, форум на ВМК закрыли...) Хочу напомнить формулу Большой науки: понимание должно опережать знание. Успехов вам!
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
абалдеть!
Я верю Пьеру Ферма обоснованно: его доказательство ВТФ сказочное, ибо неожиданно простое, и краткое, ибо не намного превышает площадь полей в книге. И потому ошибочность его доказательства маловероятно. Поэтому я ищу лишь такие идеи доказательства, которые содержат одно-три вычисления (не считая известных фактов и рассуждений). Пока эти идеи рождаются, как из рога изобилия. Вот очередная, в бинарной системе счисления для простого n:
Пусть для взаимно простых A, B, C (A=A'2^k, где A' нечетно и k>0) и простого n>2, где n=1+m2^t, где m нечетно,
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], где, как известно,
1a°) (C-B) делится на 2^{nk} и заведомо на 8; C+B заведомо делится на 2;
1b°) P нечетно и
1c°) P=p^n, если A не кратно n, и
1d°) P=np^n (где p не кратно n), если A кратно n.
Число P [=C^{n-1}+…+CB^{n-2}+B^{n-1}] представимо в двух видах:
1e°) P=D(C-B)^2+n(BC)^{(n-1)/2} и
1f°) P=E(C+B)^2+(BC)^{(n-1)/2}, где D и E целые.
1g°) n=m2^t+1, где m нечетно,
Доказательство проводится в бинарной (двоичной) системе счисления.
Доказательство ВТФ
Для t=1 (т.е. для n=...11 – в двоичной системе, или для n=3, 7, 11, 19, 23 и т.д. – в десятичной) и при P не кратом n истинность ВТФ просто очевидна: с учетом 1a°, в формуле 1e° число P=...11, а в формуле 1f° ЭТО ЖЕ САМОЕ ЧИСЛО P=...01!
При P кратом n противоречие совершенно аналогично!
Таким образом, ВТФ доказана для огромного и бесконечного класса простых степеней.
Для t>1 теорема доказывается совершенно аналогично, с тем лишь отличием, что формулы 1e° и 1f° несколько уточняются (удваиваются степени). Но об этом в другой раз.
Я верю Пьеру Ферма обоснованно: его доказательство ВТФ сказочное, ибо неожиданно простое, и краткое, ибо не намного превышает площадь полей в книге. И потому ошибочность его доказательства маловероятно. Поэтому я ищу лишь такие идеи доказательства, которые содержат одно-три вычисления (не считая известных фактов и рассуждений). Пока эти идеи рождаются, как из рога изобилия. Вот очередная, в бинарной системе счисления для простого n:
Пусть для взаимно простых A, B, C (A=A'2^k, где A' нечетно и k>0) и простого n>2, где n=1+m2^t, где m нечетно,
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], где, как известно,
1a°) (C-B) делится на 2^{nk} и заведомо на 8; C+B заведомо делится на 2;
1b°) P нечетно и
1c°) P=p^n, если A не кратно n, и
1d°) P=np^n (где p не кратно n), если A кратно n.
Число P [=C^{n-1}+…+CB^{n-2}+B^{n-1}] представимо в двух видах:
1e°) P=D(C-B)^2+n(BC)^{(n-1)/2} и
1f°) P=E(C+B)^2+(BC)^{(n-1)/2}, где D и E целые.
1g°) n=m2^t+1, где m нечетно,
Доказательство проводится в бинарной (двоичной) системе счисления.
Доказательство ВТФ
Для t=1 (т.е. для n=...11 – в двоичной системе, или для n=3, 7, 11, 19, 23 и т.д. – в десятичной) и при P не кратом n истинность ВТФ просто очевидна: с учетом 1a°, в формуле 1e° число P=...11, а в формуле 1f° ЭТО ЖЕ САМОЕ ЧИСЛО P=...01!
При P кратом n противоречие совершенно аналогично!
Таким образом, ВТФ доказана для огромного и бесконечного класса простых степеней.
Для t>1 теорема доказывается совершенно аналогично, с тем лишь отличием, что формулы 1e° и 1f° несколько уточняются (удваиваются степени). Но об этом в другой раз.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Ошибка в паре 1e°-1f°: вторые члены в них имеют противоположные знаки.
Так что возвращаюсь к анализу числа u в предыдущей идее.
==================
P.S. В моем исследовании есть два самостоятельных уровня: чисто исследовательский, математический, и нравственно-управленческий. Для математической составляющей не важно, будет ли найдено элементарное доказательство ВТФ или нет, важно лишь, чтобы интерес к исследованию не угасал. Нравственно-управленческая составляющая говорит об отношении людей к исследованию как таковому, к науке вообще. И здесь очень интересный позитивный результат обнаруживается в каждый момент. Армия противников исследования ВТФ впечатляет...
Так что возвращаюсь к анализу числа u в предыдущей идее.
==================
P.S. В моем исследовании есть два самостоятельных уровня: чисто исследовательский, математический, и нравственно-управленческий. Для математической составляющей не важно, будет ли найдено элементарное доказательство ВТФ или нет, важно лишь, чтобы интерес к исследованию не угасал. Нравственно-управленческая составляющая говорит об отношении людей к исследованию как таковому, к науке вообще. И здесь очень интересный позитивный результат обнаруживается в каждый момент. Армия противников исследования ВТФ впечатляет...
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Идея с числом U=A+B-C=abcun^k представляется завершающей. Вот ее описание.
Сначала, как всегда, известные канонические свойства равенства Ферма:
Пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>3 (случай n=3 доказывается отдельно)
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B )R и A^n=(C-B )P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где,
1c°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые;
1d°) если A / B / C не кратно n, то C-B=a^n / C-A=b^n / A+B=c^n;
1e°) U=A+B-C=abcun^k, где
1f°) числа abcn^k и u взаимно простые.
1g°) Лемма. При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n, числа P, Q, R – на 2^{n(n-1)}, числа p, q, r – на 2^{n-1}, число abc – на 2^3 и, следовательно, число u – на 2^{n-3}.
1h°) m – простое число вида m=dn+1, где d кратно или не кратно числу n.
Проект доказательства ВТФ
Невозможность равенства u=1 вытекает из 1g°.
Допустим теперь, что целое u>1 и m – простой делитель числа u.
Тогда вот последние цифры чисел в системе счисления по основанию m:
2a°) [U=] A+B-C≡0;
2b°) [равенство 1°] A^n+B^n-C^n≡0 [и A^{n^k}+B^{n^k}-C^{n^k}≡0];
2c°) [из 2a° и бинома Ньютона] A^m+B^m-C^m≡0 [и A^{m^t}+B^{m^t}-C^{m^t}≡0].
Полагаю, что существует решение диофантова уравнения
3°) n^k-m^t=2 [и m^t-n^k=2].
[Не эту ли теорему П.Ферма искал в 4-й книге «Арифметики» Диофанта?]
Из 3° и 2c° должно следовать равенство
4°) A^2+B^2-C^2≡0, или
5°) A^2+2AB+B^2-C^2-2AB≡0, или (A+B)^2-C^2-2AB≡0, или
6°) (A+B-C)(A+B+C)-2AB≡0, где
первое слагаемое (A+B-C)(A+B+C) делится на m, а второе – 2AB на m не делится. И противоречивость равенства 6° налицо!
Таким образом, для завершения доказательства ВТФ остается лишь показать строгий вывод равенств 3°-4°. До скорого!
Сначала, как всегда, известные канонические свойства равенства Ферма:
Пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>3 (случай n=3 доказывается отдельно)
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B )R и A^n=(C-B )P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где,
1c°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые;
1d°) если A / B / C не кратно n, то C-B=a^n / C-A=b^n / A+B=c^n;
1e°) U=A+B-C=abcun^k, где
1f°) числа abcn^k и u взаимно простые.
1g°) Лемма. При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n, числа P, Q, R – на 2^{n(n-1)}, числа p, q, r – на 2^{n-1}, число abc – на 2^3 и, следовательно, число u – на 2^{n-3}.
1h°) m – простое число вида m=dn+1, где d кратно или не кратно числу n.
Проект доказательства ВТФ
Невозможность равенства u=1 вытекает из 1g°.
Допустим теперь, что целое u>1 и m – простой делитель числа u.
Тогда вот последние цифры чисел в системе счисления по основанию m:
2a°) [U=] A+B-C≡0;
2b°) [равенство 1°] A^n+B^n-C^n≡0 [и A^{n^k}+B^{n^k}-C^{n^k}≡0];
2c°) [из 2a° и бинома Ньютона] A^m+B^m-C^m≡0 [и A^{m^t}+B^{m^t}-C^{m^t}≡0].
Полагаю, что существует решение диофантова уравнения
3°) n^k-m^t=2 [и m^t-n^k=2].
[Не эту ли теорему П.Ферма искал в 4-й книге «Арифметики» Диофанта?]
Из 3° и 2c° должно следовать равенство
4°) A^2+B^2-C^2≡0, или
5°) A^2+2AB+B^2-C^2-2AB≡0, или (A+B)^2-C^2-2AB≡0, или
6°) (A+B-C)(A+B+C)-2AB≡0, где
первое слагаемое (A+B-C)(A+B+C) делится на m, а второе – 2AB на m не делится. И противоречивость равенства 6° налицо!
Таким образом, для завершения доказательства ВТФ остается лишь показать строгий вывод равенств 3°-4°. До скорого!
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
КОММЕНТАРИЙ к доказательству ВТФ от 08.11.2013
Как видно из проекта доказательства ВТФ, главным (и по существу единственным) инструментом доказательства является решение степенного диофантова уравнения
3°) n^x-m^y=2, где n и m взаимно простые числа.
Простейшим примером такого решения для n=3 и m=5 является x=3 и y=2. (И противоречивость системы равенств 2b°-2c° доказывается без труда.)
Разрешимость уравнения 3° очевидна, но, тем не менее, она требует довольно сложного (и интересного) доказательства. Информацию о разрешимости П.Ферма скорее всего нашел в 4-й книге «Арифметики» Диофанта, на полях которой он и сделал свою знаментую фразу о сказочном доказательстве ВТФ. И действительно, считая этот факт известным, доказательство ВТФ занимает всего несколько строк.
Не исключено, что Теорема о разрешимости уравнения 3° известна специалистам, но, к сожалению, у меня нет доступа к хорошей математической библиотеке. И мне не остается ничего иного, как попытаться найти доказательство этой Теоремы самому. Доказательство самой же ВТФ можно считать завершенной.
Как видно из проекта доказательства ВТФ, главным (и по существу единственным) инструментом доказательства является решение степенного диофантова уравнения
3°) n^x-m^y=2, где n и m взаимно простые числа.
Простейшим примером такого решения для n=3 и m=5 является x=3 и y=2. (И противоречивость системы равенств 2b°-2c° доказывается без труда.)
Разрешимость уравнения 3° очевидна, но, тем не менее, она требует довольно сложного (и интересного) доказательства. Информацию о разрешимости П.Ферма скорее всего нашел в 4-й книге «Арифметики» Диофанта, на полях которой он и сделал свою знаментую фразу о сказочном доказательстве ВТФ. И действительно, считая этот факт известным, доказательство ВТФ занимает всего несколько строк.
Не исключено, что Теорема о разрешимости уравнения 3° известна специалистам, но, к сожалению, у меня нет доступа к хорошей математической библиотеке. И мне не остается ничего иного, как попытаться найти доказательство этой Теоремы самому. Доказательство самой же ВТФ можно считать завершенной.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Вычисление числа u при n=3.
Напомню известные канонические свойства равенства Ферма:
Пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n-A^n=0 [и A^n=(C-B )P, B^n=(C-A)Q и C^n=(A+B )R,],, где:
1a°) U=A+B-C=abcun^k, где
a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) числа abcn^k и u взаимно простые.
1c°) Лемма 1. При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n, числа P, Q, R – на 2^{n(n-1)}, числа p, q, r – на 2^{n-1}, число abc – на 2^3 и, следовательно, число u – на 2^{n-3}.
1d°) Малая теорема Ферма.
Обозначения:
1e°) Все числа записаны в системе счисления по простому основанию m, где m – делитель числа u (если u>1).
Доказательство равенства u=1 для n=3
Допустим, что B [или A] не кратно n и целое число u имеет простой делитель m>1.
Прежде всего с помощью умножения равенства 1° на соответствующее число g^{nn} преобразуем последнюю цифру числа B в 1. (Важно, что при этой операции все степенные свойства равенства 1° сохраняются.)
И теперь мы имеем следующую систему равенств:
2a°) A+1-C≡0 (mod m),
2b°) A^n+1-C^n≡0 (mod m)
Вычитая из первого равенства второе, мы имеем:
3a°) (C^n-A^n)-(C-A)≡0 (mod m), или
3b°) (C-A)(P-1)≡0 (mod m), где число C-A не кратно n (см. 2a°) и его можно отбросить.
При n=3 число P-1 равно:
4°) P-1=C^2+AC+A^2-1=(C^2-2AC+A^2)-1-3AC=(C-A)^2-1-3AC≡
≡(C-A-1)(C-A+1)-3AC≡0, где (C-A-1)≡0 и, следовательно, 3AC≡0, что неверно (см. 1b°).
Напомню известные канонические свойства равенства Ферма:
Пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n-A^n=0 [и A^n=(C-B )P, B^n=(C-A)Q и C^n=(A+B )R,],, где:
1a°) U=A+B-C=abcun^k, где
a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) числа abcn^k и u взаимно простые.
1c°) Лемма 1. При почленном умножении равенства 1° на 2^{nn} числа a, b, c умножаются на 2, числа A, B, C, U – на 2^n, числа P, Q, R – на 2^{n(n-1)}, числа p, q, r – на 2^{n-1}, число abc – на 2^3 и, следовательно, число u – на 2^{n-3}.
1d°) Малая теорема Ферма.
Обозначения:
1e°) Все числа записаны в системе счисления по простому основанию m, где m – делитель числа u (если u>1).
Доказательство равенства u=1 для n=3
Допустим, что B [или A] не кратно n и целое число u имеет простой делитель m>1.
Прежде всего с помощью умножения равенства 1° на соответствующее число g^{nn} преобразуем последнюю цифру числа B в 1. (Важно, что при этой операции все степенные свойства равенства 1° сохраняются.)
И теперь мы имеем следующую систему равенств:
2a°) A+1-C≡0 (mod m),
2b°) A^n+1-C^n≡0 (mod m)
Вычитая из первого равенства второе, мы имеем:
3a°) (C^n-A^n)-(C-A)≡0 (mod m), или
3b°) (C-A)(P-1)≡0 (mod m), где число C-A не кратно n (см. 2a°) и его можно отбросить.
При n=3 число P-1 равно:
4°) P-1=C^2+AC+A^2-1=(C^2-2AC+A^2)-1-3AC=(C-A)^2-1-3AC≡
≡(C-A-1)(C-A+1)-3AC≡0, где (C-A-1)≡0 и, следовательно, 3AC≡0, что неверно (см. 1b°).
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Великая теорема Ферма
Идея доказательства: число W=(C-B)^n+(C-A)^n делится И не делится на r.
Пусть для взаимно простых A, B, C, где A и B не кратны n, и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B )R и A^n=(C-B )P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где,
1c°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые (числа P, Q, R могут иметь не более одного сомножителя n);
1d°) если A / B / C не кратно n, то C-B=a^n / C-A=b^n / A+B=c^n;
1e°) U=A+B-C=abcu, где
1f°) числа U и pqr (не кратное n!) взаимно простые.
1g°) Лемма 1. Если взаимно простые числа A и B не являются n-ми степенями и простое n>2, то каждый простой делитель (не равный n) числа R в равенстве A^n+B^n=(A+B )R имеет вид: m=dn+1, где d не кратно n.
1h°) Лемма 2. Если A=a^{n^k} и B=a^{n^k}, где простое n>2 и взаимно простые числа A и B не являются n-ми степенями, то каждый простой делитель (не равный n) числа R в равенстве A^n+B^n=(A+B )R имеет вид: m=dn^{k+1}+1, где d не кратно n.
Доказательство ВТФ
Легко видеть, что число
2°) W=(C-B)^n+(C-A)^n=CT-C^n [=(2C-A-B)V] делится на r (ибо C=cr) и, следовательно (см. 1d°), число W можно записать в виде:
3°) W=(a^n)^n+(b^n)^n=(a^n+b^n)V, где согласно Лемме 2 (см. 1h°) каждый простой делитель (не равный n, коих не больше одного) числа V имеет вид: m=dn^2+1,
в то время как каждый простой делитель (не n) числа R имеет вид: m=dn^1+1. Следовательно, числа V и R взаимно простые (не считая n) и число V на r не делится.
Но не делится на r и первый сомножитель числа W:
4°) (a^n+b^n) [=(2C-A-B), или C-U] – см. 1f°.
И мы пришли к противоречию с 2°: число W делится И не делится на r.
ВТФ доказана.
(Мезос, 13/12/2013)
P.S. Доказательства Лемм 1 и 2 будут рассмотрены позже (они были опубликованы лишь частично).
Идея доказательства: число W=(C-B)^n+(C-A)^n делится И не делится на r.
Пусть для взаимно простых A, B, C, где A и B не кратны n, и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B )R и A^n=(C-B )P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где,
1c°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые (числа P, Q, R могут иметь не более одного сомножителя n);
1d°) если A / B / C не кратно n, то C-B=a^n / C-A=b^n / A+B=c^n;
1e°) U=A+B-C=abcu, где
1f°) числа U и pqr (не кратное n!) взаимно простые.
1g°) Лемма 1. Если взаимно простые числа A и B не являются n-ми степенями и простое n>2, то каждый простой делитель (не равный n) числа R в равенстве A^n+B^n=(A+B )R имеет вид: m=dn+1, где d не кратно n.
1h°) Лемма 2. Если A=a^{n^k} и B=a^{n^k}, где простое n>2 и взаимно простые числа A и B не являются n-ми степенями, то каждый простой делитель (не равный n) числа R в равенстве A^n+B^n=(A+B )R имеет вид: m=dn^{k+1}+1, где d не кратно n.
Доказательство ВТФ
Легко видеть, что число
2°) W=(C-B)^n+(C-A)^n=CT-C^n [=(2C-A-B)V] делится на r (ибо C=cr) и, следовательно (см. 1d°), число W можно записать в виде:
3°) W=(a^n)^n+(b^n)^n=(a^n+b^n)V, где согласно Лемме 2 (см. 1h°) каждый простой делитель (не равный n, коих не больше одного) числа V имеет вид: m=dn^2+1,
в то время как каждый простой делитель (не n) числа R имеет вид: m=dn^1+1. Следовательно, числа V и R взаимно простые (не считая n) и число V на r не делится.
Но не делится на r и первый сомножитель числа W:
4°) (a^n+b^n) [=(2C-A-B), или C-U] – см. 1f°.
И мы пришли к противоречию с 2°: число W делится И не делится на r.
ВТФ доказана.
(Мезос, 13/12/2013)
P.S. Доказательства Лемм 1 и 2 будут рассмотрены позже (они были опубликованы лишь частично).
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Не так страшен черт...
Идея: равенство Ферма порождает невозможное равенство a^n+2^n-c^n=0.
Пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n, где C>A>B>0.
Все числа записаны в системе счисления по основанию n.
1a°) Лемма 1. При неограниченном увеличении сомножителя d число
V=[(N2)e^{n-1}*(db)+(N3)e^{n-2}*(db)^2+(N4)e^{n-3}*(db)^3+…
…+(N(n-1))e*(db)^{n-2}]/(db)^{n-1}, где e и Ni (это коэффициенты разложения бинома Ньютона) – константы, стремится к нулю.
1b°) Лемма 2. При неограниченном увеличении сомножителя d число
V=[(N2)e^{n-1}*(db)+(N3)e^{n-2}*(db)^2+(N4)e^{n-3}*(db)^3+…
…+(N2)e*(db)^{n-2}+(db)^{n-1}, где e и и Ni – константы и b<c, становится меньше (dc)^{n-1}. [Ключ доказательства ВТФ.]
Доказательство ВТФ
Прежде всего с помощью умножения равенства 1° на подходящее число g^n преобразуем цифру наивысшего разряда числа B в 2 [при n=2 это невозможно!].
2°) Затем умножим равенство 1° на довольно большое число n^{tn}.
Это означает, что к числам A, B, C мы просто приписали по k нулей.
Пусть в новом равенстве число B имеет k+1 разрядов.
Запишем числа A, B, C в виде:
3°) A=an^k+a*, B=bn^k+b*, C=cn^k+c*, где b=2. Тогда
4a°) (an^k+a*)^n=a^n*n^{kn}+Va (см. 1b°),
4b°) (bn^k+b*)^n=b^n*n^{kn}+Vb (см. 1b°),
4c°) (cn^k+c*)^n=c^n*n^{kn}+Vc (см. 1b°),
где выражения Va, Vb, Vc (при достаточно большом t в 2°) будут меньше n^{kn}+1, т.е. ни одно из этих выражений не произведет цифру {kn+1}-го разряда.
И, следовательно, числа a^n, b^n, c^n [в операции 2° они константы!] образуют
5a°) либо равенство a^n+2^n-c^n=0,
5b°) либо равенство a^n+2^n-c^n=1, если сумма трех выражений в квадратных скобках в 4a°-4c° все же произведет единицу {kn+1}-го разряда.
Невозможность равенства 5a° следует из 1a°.
Невозможно и равенство 5b°. Действительно, оно имеет единственное решение:
c=2 и a=1 (иное невозможно!) и, следовательно, B>A, что противоречит 1°.
Мезос, 22/12/2013
Идея: равенство Ферма порождает невозможное равенство a^n+2^n-c^n=0.
Пусть для взаимно простых A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n, где C>A>B>0.
Все числа записаны в системе счисления по основанию n.
1a°) Лемма 1. При неограниченном увеличении сомножителя d число
V=[(N2)e^{n-1}*(db)+(N3)e^{n-2}*(db)^2+(N4)e^{n-3}*(db)^3+…
…+(N(n-1))e*(db)^{n-2}]/(db)^{n-1}, где e и Ni (это коэффициенты разложения бинома Ньютона) – константы, стремится к нулю.
1b°) Лемма 2. При неограниченном увеличении сомножителя d число
V=[(N2)e^{n-1}*(db)+(N3)e^{n-2}*(db)^2+(N4)e^{n-3}*(db)^3+…
…+(N2)e*(db)^{n-2}+(db)^{n-1}, где e и и Ni – константы и b<c, становится меньше (dc)^{n-1}. [Ключ доказательства ВТФ.]
Доказательство ВТФ
Прежде всего с помощью умножения равенства 1° на подходящее число g^n преобразуем цифру наивысшего разряда числа B в 2 [при n=2 это невозможно!].
2°) Затем умножим равенство 1° на довольно большое число n^{tn}.
Это означает, что к числам A, B, C мы просто приписали по k нулей.
Пусть в новом равенстве число B имеет k+1 разрядов.
Запишем числа A, B, C в виде:
3°) A=an^k+a*, B=bn^k+b*, C=cn^k+c*, где b=2. Тогда
4a°) (an^k+a*)^n=a^n*n^{kn}+Va (см. 1b°),
4b°) (bn^k+b*)^n=b^n*n^{kn}+Vb (см. 1b°),
4c°) (cn^k+c*)^n=c^n*n^{kn}+Vc (см. 1b°),
где выражения Va, Vb, Vc (при достаточно большом t в 2°) будут меньше n^{kn}+1, т.е. ни одно из этих выражений не произведет цифру {kn+1}-го разряда.
И, следовательно, числа a^n, b^n, c^n [в операции 2° они константы!] образуют
5a°) либо равенство a^n+2^n-c^n=0,
5b°) либо равенство a^n+2^n-c^n=1, если сумма трех выражений в квадратных скобках в 4a°-4c° все же произведет единицу {kn+1}-го разряда.
Невозможность равенства 5a° следует из 1a°.
Невозможно и равенство 5b°. Действительно, оно имеет единственное решение:
c=2 и a=1 (иное невозможно!) и, следовательно, B>A, что противоречит 1°.
Мезос, 22/12/2013
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Если это открытие, то это феноменальное открытие. А суть его состоит в следующем:
В системе счисления по простому основанию n число A^n, где натуральное число A=an^k+a*, начинается с числа a^n.
И то обстоятельство, что на базе этой теоремы Великая теорема Ферма доказывается в шесть строк:
«Если числа A, B, C обрезать на длину ранга без единицы наименьшего числа B, то из равенства Ферма следует одно из двух равенств a°) a^n+2^n-c^n=0, b°) a^n+2^n-c^n=1 (если отброшенные окончания произвели единицу высшего разряда числа B).
Невозможность равенства a° следует из того факта, что все числа A, B, C составные, а равенство b° имеет единственное решение: c=2 и a=1 (иное невозможно!), из чего следует противоречивое неравенство B>A. И... ВТФ доказана!» –
еще не самое интересное...
Так что поживем – увидим!
В системе счисления по простому основанию n число A^n, где натуральное число A=an^k+a*, начинается с числа a^n.
И то обстоятельство, что на базе этой теоремы Великая теорема Ферма доказывается в шесть строк:
«Если числа A, B, C обрезать на длину ранга без единицы наименьшего числа B, то из равенства Ферма следует одно из двух равенств a°) a^n+2^n-c^n=0, b°) a^n+2^n-c^n=1 (если отброшенные окончания произвели единицу высшего разряда числа B).
Невозможность равенства a° следует из того факта, что все числа A, B, C составные, а равенство b° имеет единственное решение: c=2 и a=1 (иное невозможно!), из чего следует противоречивое неравенство B>A. И... ВТФ доказана!» –
еще не самое интересное...
Так что поживем – увидим!
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Моя последняя идея интересна, но ошибочна – на радость врагам.
Моя последняя идея ошибочна, но интересна – на радость друзьям.
В.С.
Моя последняя идея ошибочна, но интересна – на радость друзьям.
В.С.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Yes! Развитие одной старой идеи. (Для новогодних размышлений.)
Обозначения:
A'=k означает, что нечетное число A=1+g2^k, где, как и во всем тексте ниже, g нечетно.
A''=k означает, что четное число A=g2^k. Абсолютное значение числа g в расчет не принимается. Число k назовем показателем четности четного/нечетного числа.
Итак, пусть в бинарной системе счисления для взаимно простых A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n, где C>A>B>0 и, допустим, число C четно, а его C''=t,
2°) U=A+B-C с U''=k.
Лемма: Если (A+B)'=C', то и (A^n+B^n)'=(C^n)'. И наоборот: Если (A+B)'≠C', то и (A^n+B^n)'≠(C^n)'. (Доказательство это простой Леммы будет представлено позже.)
Доказательство ВТФ
3°) Возьмем нечетное число A-U [=a], у которого (A-U)'=s. Если s меньше или равно t, то умножим равенство 1° на такое число A=1+g2^v, что в новом равенстве 1° будет иметь место неравенство s>t. (Обозначения чисел оставим прежними.) При этой операции показатели четности C'' [=t] и U'' измениться, очевидно, не могут. А теперь
4°) представим числа A, B, C в виде: A=a+U, B=b+U, C=c+U, где, как легко видеть,
5°) a=b-c [поскольку a-b+c=0, ибо A+B-C=U] и, следовательно, a'=(b-c)'.
Однако после прибавления к числам a, b, c по числу U, показатель четности левой части (a+U)' станет равным t (поскольку t<s – см. 3°), а показатель четности правой части, т.е. число (b+U-c-U)', не изменится. Но в таком случае, согласно Лемме,
6°) [(a+U)^n]' ≠ {[(c+U)^n]-[(b+U)^n]}', или [A^n]' ≠ {[C^n]-[B^n]}', т.е. равенство 1°, является неверным. Что и требовалось доказать.
Мезос, 29/12/13
Обозначения:
A'=k означает, что нечетное число A=1+g2^k, где, как и во всем тексте ниже, g нечетно.
A''=k означает, что четное число A=g2^k. Абсолютное значение числа g в расчет не принимается. Число k назовем показателем четности четного/нечетного числа.
Итак, пусть в бинарной системе счисления для взаимно простых A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n, где C>A>B>0 и, допустим, число C четно, а его C''=t,
2°) U=A+B-C с U''=k.
Лемма: Если (A+B)'=C', то и (A^n+B^n)'=(C^n)'. И наоборот: Если (A+B)'≠C', то и (A^n+B^n)'≠(C^n)'. (Доказательство это простой Леммы будет представлено позже.)
Доказательство ВТФ
3°) Возьмем нечетное число A-U [=a], у которого (A-U)'=s. Если s меньше или равно t, то умножим равенство 1° на такое число A=1+g2^v, что в новом равенстве 1° будет иметь место неравенство s>t. (Обозначения чисел оставим прежними.) При этой операции показатели четности C'' [=t] и U'' измениться, очевидно, не могут. А теперь
4°) представим числа A, B, C в виде: A=a+U, B=b+U, C=c+U, где, как легко видеть,
5°) a=b-c [поскольку a-b+c=0, ибо A+B-C=U] и, следовательно, a'=(b-c)'.
Однако после прибавления к числам a, b, c по числу U, показатель четности левой части (a+U)' станет равным t (поскольку t<s – см. 3°), а показатель четности правой части, т.е. число (b+U-c-U)', не изменится. Но в таком случае, согласно Лемме,
6°) [(a+U)^n]' ≠ {[(c+U)^n]-[(b+U)^n]}', или [A^n]' ≠ {[C^n]-[B^n]}', т.е. равенство 1°, является неверным. Что и требовалось доказать.
Мезос, 29/12/13
Вернуться в «Доска математических объявлений»
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 85 гостей