Виктор Сорокин писал(а):3. Давным давно я выдвинул такую гипотезу:
так как число P-Q делится на A-B и, кроме того, на общий делитель чисел C и A+B, то в числе P-Q= a''^n -b''^n = именно сомножитель a''-b'' делится и на A-B, и на с' (оба эти числа взаимопростые). Но доказать это мне все не удавалось.
=================
Отклонение в доказательстве после формулы 7°.
====================================
Напомню
основные свойства равенства Ферма
(1°) a^n+b^n = c^n, где простое n > 2 и a, b, c взаимопростые.
И пусть пока число abc не кратно n. Тогда:
(2°) c^n-b^n=(c-b)P, где c-b=a_1^n, P=a_2^n,
c^n-a^n=(c-a)Q, где c-a=b_1^n, Q=b_2^n,
a^n+b^n=(a+b)R, где a+b=c_1^n, R=c_2^n,
[это следует из простой леммы: если числа A и B взимопростые и число A+B не кратно n, то числа A+B и R = {A^n+B^n}/{A+B} являются взаимопростыми (ибо R=(A+B)^2D+nAB)];
(3°) числа a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2 попарно взаимопростые,
числа P, Q, R и a_2, b_2, c_2 нечетны;
(4°) a=a_1a_2, b=b_1b_2, b=c_1c_2.
(5°) Из анализа разности многочленов P и Q в их стандартной (школьной) форме видно, что число P-Q делится на a-b.
(6°) Важные равенства:
c_1^n - b_1^n = 2a_1a_2 - a_1^n= 2a - (c-b),
c_1^n - a_1^n = 2b_1b_2 - b_1^n = 2b - (c-a),
a_1^n + b_1^n = 2c_1c_2 - c_1^ n =2c - (a+b),
откуда находим формулу числа [math]g=a_2 - b_2, лежащую в основе данного доказательства ВТФ:
(7°) g= a_2 - b_2 = {(a+b)(b_1-a_1) + (a_1+b_1)( a_1^n-b_1^n)}/{2a_1b_1}, откуда видно, что число g=a_2-b_2 делится на a_1-b_1.
==========================================
А дальше мы сделаем вот что.
Запишем числа P-Q и a-b в виде:
(8°) P-Q= a_2^n-b_2^n=(a_2-b_2)W и
(9°) a-b= a_1^n-b_1^n=(a_1-b_1)V.
И теперь, сравнивая их сомножители по (5°) и (7°), можно сделать интересный вывод:
число a_2^n-b_2^n=(a_2-b_2)W делится на a_1^n-b_1^n(a_1-b_1)V ,
а число a_2-b_2 делится на a_1-b_1.
Следовательно, число W ДОЛЖНО делиться на V.
Однако представляется, что при взаимопростых числах a_1, b_1, a_2, b_2 (что следует из 2°) числа W и V являются
ВЗАИМОПРОСТЫМИ (без учета, конечно, сомножителя n).
(Не исключено, что данное утверждение представляет собою известную теорему из теории дискретных чисел. Кто-то из участников обсуждения моего предыдущего доказательства ВТФ показал глубокое знание в этой узком вопросе. И если эта лемма-теорема известна науке, то элементарное доказательство ВТФ налицо. Жаль только, что школьных знаний недостаточно для доказательства леммы-теоремы.)
Очевидно, что если одно из чисел c, c-b, c-a кратно n, то все рассуждения остаются в силе.
Числовой пример к лемме-теореме. Пусть n=3, a=1, b=4, c=2, d=3, a+b=5, c+d=5, a+b делится на c+d,
но {a^n+b^n}/{a+b}=13 НЕ делится на {c^n+c^n}/{c+c}=7.