Мои программы ЛМШ-2004

Здесь вы можете задать вопросы и высказать своё мнение по поводу лужской ЛМШ.

Модератор: модераторы

МВД

Мои программы ЛМШ-2004

Сообщение МВД » Пн, 06 мар 2006, 17:09

В.Д.Матвеенко
ЛМШ-2004

1. ОБЯЗАТЕЛЬНЫЕ ЗАНЯТИЯ (9-11 КЛАССЫ)

1.1. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Вводная беседа.
Социологическое исследование о степени распространенности курения среди школьников. Понятие случайной репрезентативной выборки. Понятие доверительного интервала. Роль размера выборки.
Игровой пример, с которого начинается изучение курса, сразу же вводит учеников в круг вопросов, методов и проблем теории вероятностей и математической статистики, показывает практическую направленность этих наук, очерчивает цель, которая будет достигнута в курсе.

Тема 1. Понятие вероятности. Примеры вычисления вероятностей.
Задачи: задача Гюйгенса (белые и черные шары, слова «математика» и «мама», билет на экзамене)
9 кл. – доклад Саши Смирнова.
Задачи (Кемени и др.)
Парадоксы теории вероятностей (Гарднер, гл. 5): парадокс с днями рождения, парадокс со вторым ребенком, петербургский парадокс Даниила Бернулли.
Литература: Дж.Кемени, Дж.Снелл, Дж.Томпсон «Введение в конечную математику», М.Гарднер «Математические головоломки и развлечения»

Тема 2. Некоторые формулы теории вероятностей.
Применение кругов Эйлера. Понятие об алгебре событий. Невозможное и достоверное события. Взаимно исключающие события. Формулы:

если А,В независимые события, то
, Задача (Курант, Роббинс, Дополнение к гл. II). Три цифры 1,2,3 пишутся в каком попало порядке. Какова вероятность того, что по крайней мере одна из трех цифр окажется на своем (в смысле нумерации) месте?
Решение: Всего возможно 6 перестановок. Пусть А – множество перестановок, в которых цифра 1 стоит на первом месте, В - множество перестановок, в которых цифра 2 стоит на втором месте, С - множество перестановок, в которых цифра 3 стоит на третьем месте. Тогда .
Упражнение (Курант, Роббинс, Дополнение к гл. II). Вывести соответствующую формулу для и применить ее к эксперименту, в котором будут участвовать 4 цифры. (Ответ: ).
Задача (Курант, Роббинс, Дополнение к гл. II). Какова вероятность того, что из n натуральных чисел, написанных в каком угодно порядке, по крайней мере одна из цифр находится на своем месте?
(Ответ: . При n=5 это дает )
В математике хорошо известен ряд (Курант, Роббинс, гл. VIII, п. 6)

Отсюда следует, что .
11 кл. –доклад Оли Тетериной.
Литература: Курант, Роббинс «Что такое математика?»

Тема 3. Геометрические вероятности.
11 кл.. – доклад Максима Бауэра.
Задача. Петя живет рядом со станцией «Маяковская». По воскресеньям утром он спускается в метро в случайные моменты времени, садится в первый попавшийся поезд и едет или к бабушке на «Ломоносовскую», или в математический кружок на «Василеостровскую». Спустя полгода он обнаружил, что был в кружке вчетверо чаще, чем у бабушки. Чем это можно объяснить?
Задача о встрече.
Игла Бюффона.
Подсчет вероятности случайного выбора хорды, превышающей сторону вписанного треугольника, при различном понимании «случайного выбора хорды» (Гарднер, гл. 34).
Литература: М.Гарднер «Математические головоломки и развлечения»

Тема.4. Случайное блуждание.
11 кл. – доклад Вовы Богомолова.
Случайное блуждание на прямой. Понятия среднего и среднего квадратического. Применения моделей случайного блуждания в физике и экономике.
Литература: А.Н.Колмогоров, И.Г.Журбенко, А.В.Прохоров. «Введение в теорию вероятностей»

Тема 5. Случайная величина..
Задача о бутербродах: Бутерброд падает маслом вниз с вероятностью p и маслом вверх с вероятностью . учеников проводят эксперимент и бросают свои бутерброды. Какова вероятность того, что ровно k бутербродов упадут маслом вниз? Биномиальное распределение. Гистограмма. Среднее (математическое ожидание) и дисперсия случайной величины. Доверительный интервал. Распределение Пуассона. Нормальное распределение. Плотность распределения случайной величины. Функция распределения.
Задача: Бросается два кубика с числами от 1 до 6. Рассмотрите сумму выпадаемых чисел как случайную величину. Постройте гистограмму. Найдите среднее и дисперсию. Что показывает дисперсия? Является ли распределение биномиальным?
11 кл. – доклад Кирилла Козырева.
Литература: Дж.Кемени, Дж.Снелл, Дж.Томпсон «Введение в конечную математику», А.Н.Колмогоров, И.Г.Журбенко, А.В.Прохоров. «Введение в теорию вероятностей»

Тема 6. О математической статистике.
Задача: на столе лежат апельсин, груша, лимон, мандарин и персик. Выбираются случайным образом 1 или 2, 3, 4 фрукта. Какую информацию о доле цитрусовых среди 5 фруктов можно получить таким образом? Понятия генеральной совокупности, выборки, выборочного среднего и выборочной дисперсии. Выборочное среднее как оценка среднего в генеральной совокупности. Среднее и дисперсия при увеличении размера выборки. Применение неравенства Чебышёва. Анализ данных социологического исследования о степени распространенности курения среди школьников. Центральная предельная теорема (закон больших чисел): выборка независимых одинаково распределенных случайных переменных будет нормально распределенной, если эта выборка достаточно велика. Примеры применения свойств нормального распределения.
Задача (Скворцов, с. 26-27). Компьютер-бухгалтер суммирует 10 000 чисел. Каждое число округлено с точностью до 1 копейки. Оцените накопленную погрешность. (Ответ: 100 рублей). Если слагаемые были округлены то с завышением, то с занижением, на основе теории вероятностей, предложите оценку абсолютной погрешности суммы.
Задача о вычислении среднего, дисперсии и доверительного интервала (Скворцов, с. 50).
Литература: Э.Д.Понарин «Введение в анализ данных», А.Н.Колмогоров, И.Г.Журбенко, А.В.Прохоров. «Введение в теорию вероятностей»,В.В.Скворцов «Нескучные вычисления»

1.2. ВЕКТОРЫ И МАТРИЦЫ

Тема 1. Применения векторов.
Векторы в физике. Пример: закон сохранения импульса – соударение шаров. Отличие «синтетического» и векторного подходоа к решению геометрических задач. Теорема о точке пересечения медиан треугольника.
Теорема об отношении частей, на которые биссектриса делит противоположную сторону треугольника.
Литература: Я.С.Дубнов «Основы векторного исчисления, ч. 1»

Тема 2. Скалярное произведение векторов. Задачи на вычисление скалярных произведений.
Литература: Дж.Кемени, Дж.Снелл, Дж.Томпсон «Введение в конечную математику».

Тема 3. Матрицы. Умножение матрицы на вектор и на матрицу. Собственный вектор и собственное число. Возведение матрицы в степень. Поведение последовательности векторов и последовательности матриц . Приложения:1. Демографическая модель; стабильная структура населения. 2. Цепи Маркова. 3. Решение задачи о трисекции угла. 4. Числа Фибоначчи.
9 кл. – доклад Андрея Матвеенко о связи чисел Фибоначчи и золотого сечения.
Литература: Дж.Кемени, Дж.Снелл, Дж.Томпсон «Введение в конечную математику».

2. ФАКУЛЬТАТИВЫ

2.1. РЕКУРСИИ, ФРАКТАЛЫ И ХАОС

Тема 1. Рекуррентные соотношения.
Пример 1 (Растригин, с. 20-26) . Псевдослучайные числа (где {.} – дробная часть числа, а – достаточно большое положительное число).
Пример 2. Числа Фибоначчи. Линейное разностное уравнение второго порядка – анализ на основе последовательности векторов . Связь чисел Фибоначчи с золотым сечением.
Пример 3. Адаптивные ожидания в макроэкономике.
Пример 4. . Схема «Дом, который построил Джек»
Литература: Л.Растригин «По воле случая», с. 20-26, В.Д.Матвеенко «Макроэкономика: интенсивный курс» (на странице «Дистанционное обучение» на сайте www.eu.spb.ru)

Тема 2. Разностные уравнения первого порядка.
Фазовые диаграммы. Геометрический метод решения разностного уравнения. Частное решение. Стационарное решение. Общее решение. Поведение решений разностных уравнений.
Приложение: модель экономического роста.
Понятия аттрактора и бассейна (области) притяжения.
Литература: В.Д.Матвеенко «Макроэкономика: интенсивный курс» (на странице «Дистанционное обучение» на сайте www.eu.spb.ru)

Тема 3. Итеративные методы решения алгебраических уравнений.
Метод хорд, метод касательных, метод простой итерации, метод вычисления квадратного корня Герона Александрийского (Скворцов, с. 64-68). (Задание в Excel). Связь с разностными уравнениями.
Литература: В.В.Скворцов «Нескучные вычисления»

Тема 4. Фракталы.
Примеры: H-фрактал, двоичное и троичное деревья, ковер Серпинского. пыль Кантора, гребень Кантора, снежинка Коха, фрактал Минковского, кривая дракона. Фрактальная размерность. Общая схема построения конструктивных фракталов. Анализ конструктивных фракталов. Случайность во фракталах. Примеры: броуновская кривая, обдуваемое ветром дерево Пифагора. Приложения: 1. Определение длины западного побережья Британии и испано-португальской границы. 2. Динамический анализ рынков капитала.
Литература: А.Д.Морозов «Введение в теорию фракталов», Р.М.Кроновер «Фракталы и хаос в динамических системах», Э.Петерс «Хаос и порядок на рынках капитала»

Тема 5. Предельные циклы и хаос.
Циклы и бифуркации. Пример: логистическое уравнение . (Задание на Excel). Странные аттракторы и хаос. Понятие о синергетике.
Литература: Э.Петерс «Хаос и порядок на рынках капитала», В.Е.Хиценко «Взаимообусловленность хаотичности и фрактальности» http://lpur.tsu.ru/Public/a0101/a010501.shtm

Тема 6. Динамическое программирование.
Рекуррентное соотношение динамического программирования (уравнение Беллмана). Функция-значение и функция-политика. Примеры: кратчайший путь в графе, Т-шаговый путь максимальной «длины» в графе. Аналогия с последовательностью .
Литература: Е.Вентцель. Динамическое програмирование.

2.2. ЭКОНОМИКА

Тема 1. Микроэкономика
Модель потребительского спроса. Кривая спроса.
Фирма на совершенном конкурентном рынке. Кривая предложения.
Фирма монополист.
Литература: В.Д.Матвеенко «Методические рекомендации по микроэкономике» http://dist-economics.eu.spb.ru

Тема 2. Микрооснования макроэкономики
Модель предложения труда домохозяйством.
Производственная функция.
Литература: Литература: В.Д.Матвеенко «Макроэкономика: интенсивный курс» (на странице «Дистанционное обучение» на сайте www.eu.spb.ru)

Тема 3. Кейнсианская макроэкономика
IS-LM модель. Фискальная (финансово-бюджетная) и монетарная (денежно-кредитная) политика.
Литература: В.Д.Матвеенко «Макроэкономика: интенсивный курс» (на странице «Дистанционное обучение» на сайте www.eu.spb.ru)

Тема 4. Монетаристская макроэкономика
Адаптивные и рациональные ожидания. Монетаристская модель инфляции.
Литература: В.Д.Матвеенко «Макроэкономика: интенсивный курс» (на странице «Дистанционное обучение» на сайте www.eu.spb.ru)

Тема 5. Экономический рост
Примеры . Задачи теории роста. Модель Учет факторов роста. Солоу 1957 г.
Поведение траекторий. Модель Солоу 1956 г. Модели эндогенного роста.
Литература: В.Д.Матвеенко «Макроэкономика: интенсивный курс» (на странице «Дистанционное обучение» на сайте www.eu.spb.ru)


2.3. ЛИТЕРАТУРА И КИНО ПОСТМОДЕРНИЗМА

1. Что такое модернизм?
Диск «Декаданс» группы «Агата Кристи». Футуризм, дадаизм. Маяковский. Кафка. Джойс «Улисс». Дюшан. Пикассо Дали. «Авиньонские девицы».
К/ф «Андалузский пес»

2. Что такое постмодернизм?
Элементы теории постмодернизма (вопрос о вещи, идее и языке, структурализм, де Соссюр, Барт, Даррида, Лиотар). Декодирование текста. «Смерть автора». Эко «Имя розы».
К/ф «Имя розы»

3. Версии
Битов «Пушкинский дом». Акунин «Чайка».
К/ф «День сурка», «Зеркало для героя», «Эффект бабочки».

4. Языковая игра
Соколов «Школа для дураков». Суд над Киркоровым.

5. Шизофрения – болезнь XX века
Соколов «Школа для дураков». Эко «Остров накануне».
К/ф «Психо», «Игры разума»

6. Текст (знаки) и ренальность
Симулякр Бодрийяра. Эко «Маятник Фуко». Эко «Баудолино».
Перес-Реверте «Клуб Дюма».
К/ф «Девятые врата»

7. Разбитое зеркало
К/ф «Зеркало», «Фотоувеличение»

8. Соединение несоединимого
Дзэнское мышление и сюрреализм. Дзэн. Сэлинджер.

9. Гипермодернизм и виртуальная реальность
К/ф «Матрица»

10. Гиперреализм
К/ф «Молчание ягнят», «Убить Билла».

Литература: В.Руднев «Энциклопедический словарь культуры XX
века»
Р.Аппиньянези, К.Гэрретт «Знакомьтесь:
постмодернизм»
М.Герман «Модернизм»
Д.Фриман «История искусства»

Вернуться в «Что такое ЛМШ»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 17 гостей