ЗМШ. 7-8, 8-9 классы

Модератор: модераторы

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6447
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: ЗМШ. 7-8, 8-9 классы

Сообщение PSP » Вс, 10 мар 2019, 13:35

Тема 6. "Принцип Дирихле"
Срок отправки работы - 25 апреля 2019 г.

Условия задач контрольной работы

№ 1 (3.1).В классе 40 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в
котором отмечают свой день рождения не меньше чем 4 ученика этого класса?
№ 2 (3.2). В первенстве по футболу участвует 10 команд. Каждые две из них должны сыграть между собой один матч. Доказать, что в любой момент состязаний имеются две команды, сыгравшие одинаковое число матчей.
№ 3 (3.3). Доказать, что из любых пяти целых чисел можно выбрать четыре, сумма которых чётна.
№ 4 (3.4). Доказать, что из любых 5 целых чисел можно выбрать 3, сумма которых делится на 3.
№ 5 (3.5). В узлах клетчатой бумаги выбрано 5 различных точек. Доказать, что из них всегда можно найти две такие, что отрезок, соединяющий эти точки, содержит еще по крайней мере один узел.
№ 1 доп. (3.6). В 18 точках, обозначенных на рисунке, расставлены числа от 1 до 18. Доказать, что найдется ребро (отрезок, соединяющий две соседние точки), на концах которого стоят числа с разностью больше трёх.
1 доп (3.6)_30.jpg
1 доп (3.6)_30.jpg (19.85 КБ) 526 просмотров
№ 6 (3.7). Можно ли увезти 50 камней, массы которых 370, 372, ..., 468 кг, на семи трёхтонках?
№ 7 (3.8 ). В доме 123 жильца, им вместе 3813 лет. Всегда ли можно выбрать 100 из них, которым вместе не меньше 3100 лет?
№ 2 доп. (3.9). В таблице 9×9 расставлены числа 1, 2, 3,...,81. Доказать, что при любой расстановке найдутся две соседние клетки, такие что разность между числами, стоящими в этих клетках, не меньше 6 (соседние – имеющие общую сторону).
№ 3 доп. (3.10). Доказать, что среди чисел, записываемых только единицами, есть число, которое делится на 1989.
№ 8 (3.11). Ha шашечной 16-клеточной доске произвольно расставлены 6 шашек. Доказать, что всегда можно указать два горизонтальных и два вертикальных ряда, такие что все 6 шашек стоят в этих четырёх рядах.
№ 9 (3.12). Доказать, что среди любых 6 человек найдутся либо трое попарно знакомых, либо трое незнакомых друг с другом.
№ 4 доп. (3.13). На международной конференции присутствует 17 учёных. Каждые два из них беседуют друг с другом на определённом языке: при этом все 17 человек знают всего три языка. Доказать, что среди участников конференции найдутся трое, которые говорят друг с другом на одном и том же языке.
[b]№ 5 доп. (3.14). 18 несовпадающих точек плоскости попарно соединены либо красными, либо синими отрезками. Доказать, что всегда найдётся четырёхугольник, стороны и диагонали которого одного цвета.
[b]№ 10 (3.15).
Цифры 1, 2, ... , 9 разбили на три группы. Доказать, что по крайней мере в одной из групп произведение чисел не меньше 72.
№ 11 (3.16). Доказать, что всегда среди 5 острых углов найдутся три угла А, В, С, такие что все их попарные суммы А + В, А + С, В + С одновременно либо больше 90°, либо не больше 90°.
№ 12 (3.17). В городе Лиссе 10 000 телефонов, номера которых задаются четырёхзначными числами. В центральном районе установле¬но более половины всех телефонов и нет телефона с номером 0000. Доказать, что хотя бы один из номеров центральных телефонов равен сумме номеров двух других центральных телефонов.
№ 13 (3.18). Шахматная доска 4×100 квадратов покрыта 200 пластинками домино размером 2×1. Доказать, что при всяком расположении пластинок домино можно разрезать доску по вертикали или по горизонтали на две части, не повредив ни одной пластинки.
№ 14 (3.19). Известно, что шесть кругов имеют общую точку. Доказать, что хотя бы один из них содержит центр некоторого другого круга.
№ 6 доп. (3.20). Можно ли в клетках квадратной таблицы п × п расставить числа 1, –1, 0 так, чтобы все суммы – в каждом столбце, в каждой строке и в каждой из двух диагоналей – были различными?
№ 7 доп. (3.21). Сосновый лес растет на участке, имеющем форму квадрата со стороной 1 км. Зная, что весь этот лес состоит из 4500 деревьев диаметром 50 см, доказать, что в лесу можно выбрать прямоугольную площадку 10×20 м, на которой не растёт ни одного дерева.
№ 8 доп. (3.22). Из чисел 1, 2, 3, ... , 200 произвольно выбрали 101 число. Доказать, что среди выбранных чисел всегда найдётся два таких числа, из которых одно делится на другое.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6447
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: ЗМШ. 7-8, 8-9 классы

Сообщение PSP » Сб, 30 мар 2019, 13:04

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕРКИ
контрольной работы по теме № 5 "Комбинаторика и вероятность-1"


Оценки "+" за все задачи, кроме задачи № 13 (за неё оценка "-+").

Оценка: 5.


Из рецензии на работу

№ 6 (39). На шахматную доску ставят: а) белую и чёрную ладьи; б) белого и чёрного короля. Какова вероятность того, что они будут «бить» друг друга?
К п.а). Обратите внимание на нерациональность ваших расчетов. Стоило ли перемножать 64 и 63, да еще вдобавок 64 и 14, а потом делить одно на другое, если искомая вероятность - это дробь 64*14/64/63. Здесь нужно просто сократить общие множители числителя и знаменателя: 64 и 7, и готов ответ. Это замечание можно отнести и к некоторым другим вашим решениям, в частности, к п.б) этой задачи.

№ 7(40). Надо послать 6 различных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трЁх курьеров, и каждое письмо можно дать любому из курьеров?
В этой задаче результат зависит от того, считаем ли мы курьеров и письма отличимыми друг от друга. Вы считали, что все письма и все курьеры – различны (можно представить себе, что курьеров мы различаем, в лицо, а письма – по адресам на конвертах). А если курьеры – в масках? А если конверты – без адресов?
Таким образом, эта задача включает в себя по существу 4 разных задачи.
1) курьеры – разные, письма – разные;
2) курьеры – разные, письма – одинаковые;
3) курьеры – одинаковые, письма – разные;
4) курьеры – одинаковые, письма – одинаковые.
Ваше решение – для первого толкования.

№ 8 (41). Из колоды в 36 карт выбирают две карты. Какова вероятность того, что они окажутся разных мастей?
У Вас исходом считается пара карт, что отвечает данному сюжету: из колоды берётся две карты. Но здесь возможен и следующий упрощенный подход.
Какую бы карту мы ни взяли из колоды первой, в колоде всегда остается 35 карт, из которых 8 карт той же масти и 27 – других мастей. Значит, можно считать, что первая карта уже изъята, и испытание состоит в изъятии одной карты из усеченной колоды (в которой 35 карт). Испытание считается успешным, если вынутая карта отличается мастью от той, которой в колоде недостает. Понятно, что всего исходов 35, благоприятных среди них – 27. Вероятность равна 27/35.
Здесь мы можем считать исходом только вторую карту, так как ситуация, возникающая после изъятия первой карты, не зависит от того, какая именно карты была изъята.
Так же обстоит дело в п. а. задачи 6 (о ладьях). Где бы ни стояла первая ладья, у нее всегда одно и то же число битых полей. Поэтому можно считать, что первая ладья уже стоит на доске, и испытание заключается в установке ещё одной ладьи на доску, одно поле которой занято. Испытание считается успешным, если эта (вторая) ладья попала под бой первой.
С королями этот приём не пройдет, так как число битых полей короля зависит от его положения. В данной задаче так обстояло бы дело, если бы разные масти содержали разное число карт.

продолжение ниже.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6447
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: ЗМШ. 7-8, 8-9 классы

Сообщение PSP » Сб, 30 мар 2019, 13:20

Продолжение. Начало см. выше.

№ 13 (46). Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга: а) две белые ладьи; – верный результат б) два белых короля; ваш результат вдвое занижен в) два белых слона; ваш результат вдвое занижен
г) два белых коня; неверный результат д) два белых ферзя? неверный результат
1. Ошибка, общая для всех пунктов, кроме п.а. – лишнее (повторное) деление результата на 2. Возьмём для примера случай королей.
Пусть для начала короли нумерованные. Это как в задаче 6, где один белый (можно считать его первым), другой чёрный. Тогда каждому способу расстановки отвечает упорядоченная пара полей.
Эти пары бывают трёх сортов (см. ваше решение). Первый сорт – когда первый король – в углу. Углов 4, для каждого битых полей – 3, значит, небитых – 60. Итого, 4*60 упорядоченных пар первого сорта. Аналогично подсчитываются пары 2-го и 3-го сортов, все складывается, и сумма даёт число упорядоченных пар. Неупорядоченных пар вдвое меньше, так как число перестановок двух элементов это 2! = 2. Таким образом, одно из ваших делений на 2 – лишнее.
2. Помимо этого в пп. про коней и ферзей вкралась еще дополнительная путаница. Здесь нужно просто тщательно проверить расчёты. Приведём расчёт для коней. Заодно представим для нехитрых приёма, облегчающие этот подсчёт – использование симметрии и «дополнительности» (то есть, подсчет битых полей вместо небитых с итоговым пересчётом).
В силу очевидной симметрии, вместо полной доски можно изучать её четвертушку. на четверти доски есть 4 поля, стоя на которых конь бьёт 8 полей, 4 поля, с которых он бьёт 6 полей, с 5-и полей он бьёт 4 поля, с двух – 3 поля, с одного – 2 поля. Значит, способов поставить на доску двух нумерованных коней, чтобы они били друг друга, столько:
4(4*8+4*6+5*4+2*3+2)=4*2(4*4+4*3+10+3+1)=4*2(4*4+4*3+10+4)=4*4(2*4+2*3+5+2)=16*21.
Всех способов поставить на доску двух разноцветных коней столько: 64*63. Значит, способов поставить на доску двух разноцветных коней, чтобы они не били друг друга, столько: 64*63–16*21=16*21(4*3–1). Для одноцветных коней – вдвое меньше, то есть, 8*21*11=1848.
3. Независимо от происхождения ошибок их можно было бы заметить, так как не все ответы удовлетворяют следующему почти очевидному требованию, удобному для самоконтроля. Из смысла вопроса этой задачи ясно, что чем сильнее фигура, тем меньшим должен быть для нее результат, ведь если фигуры бьют много полей, их трудно расставить так, чтобы они друг друга не били. Не всякие две фигуры можно уверенно сравнить по силе, но несомненно, что ферзь сильнее всех остальных, так как у него при любом положении на доске больше битых полей, чем у любой другой фигуры.
Эти соображения можно дополнить. Почти столь же очевидно, что второй по силе является ладья. У неё при любом положении 14 битых полей, то есть, не меньше, чем у любой другой фигуры, не считая ферзя. Сравнивая так же диаграммы битых полей слона, короля и коня, можно, ничего не вычисляя, увидеть, что по убыванию силы они расположены именно в этом порядке, в каком они выше перечислены. (Разумеется, говоря о силе фигуры, мы учитываем лишь количество битых полей, и не принимаем в расчёт специальные свойства коня – возможность перепрыгивать через фигуры – и особую роль короля в шахматной партии). Итак, если расположить ответы этой задачи в порядке убывания, то последовательность должна быть такой: конь, король, слон, ладья, ферзь. Ваши результаты выбиваются из этой закономерности.
4. Ещё одно соображение, интересное и само по себе. Заметьте, что ферзь совмещает роли ладьи и слона, причем ни одно поле ферзь не бьёт и "по-ладейному", и "по-слоновьи". Точнее говоря, множество битых полей ферзя есть объединение таких же множеств ладьи и слона, причём пересечение двух последних пусто. Это обстоятельство можно использовать для упрощения расчёта. Можно чисто теоретически установить связь между результатами для ферзя, слона и ладьи, с тем чтобы, зная два из них, третий можно было получить, уже не глядя на доску.

Окончание см. ниже.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6447
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: ЗМШ. 7-8, 8-9 классы

Сообщение PSP » Сб, 30 мар 2019, 13:23

Окончание. Начало см. выше.

№ 16(49). Из колоды в 36 карт последовательно выбирают две карты. Какова вероятность того, что вторая карта по достоинству больше первой?
Это тот случай, когда подсчёт благоприятных исходов рациональнее начать с подсчёта неблагоприятных.
Всего исходов (то есть, упорядоченных пар карт 36•35). Найдём, в каком числе пар две карты одинаковы по достоинству. Очевидно, таких пар 36•3 (первая карта – любая, вторая – одна из трёх, имеющих то же достоинство, что первая). Значит, пар, в которых карты различны по достоинству, столько: 36•35–36•3=36•32. В одних парах первая карта младше второй, в других наоборот. Каких пар больше? Нетрудно сообразить, что тех и других поровну (для каждой пары первого сорта существует ровно одна соответствующая ей пара второго сорта, получаемая из первой перестановкой карт). Значит, из 36•32 пар, в которых карты различны по достоинству, ровно половина таких, в которых первая карта младше второй, то есть, 36•16. Это и есть число благоприятных исходов. Разделив его на число всех исходов 36•35, получим 16/35.

№ 19(52). Каких семизначных чисел больше: тех, в записи которых есть 1, или остальных?
Заметьте, что в задаче не просят подсчитать те и другие числа. Нужно лишь сказать, каких больше. А чтобы сравнить количество тех и других не обязательно подсчитывать их «в лоб». Достаточно получить выражения: 8•96 (количество чисел без единицы) и 9•106 8•96 (количество чисел с единицей).
Запишем неравенство, которое нужно доказать: 9•106 8•96>8•96 . Подвергнем его равносильным преобразованиям. Перенесём 8•96 из левой части в правую: 9•106>16•96. Извлечём из обеих частей квадратный корень: 3•103>4•93 и разделим обе части на 3•4. Тогда получим неравенство 250>3•92=243. Значит, и исходное неравенство верно.
Самое сложное арифметическое действие, которое нам пришлось выполнить, это умножение 3 на 81.

№ 21(54). Наугад выписывают девятизначное число. Какова вероятность того, что сумма его цифр чётна?
Более простые подходы.
1 способ. Расположим ряд девятизначных чисел от 100000000 до 999999999 в порядке возрастания и разобьём его на десятки: от числа, оканчивающегося нулём, до ближайшего к нему большего числа (первый десяток – от 100000000 до 100000009). В каждом таком десятке 5 чисел с чётной суммой цифр и 5 – с нечётной.
2 способ. Рассмотрим всевозможные восьмизначные числа. Приписывая к каждому из них любую цифру справа, можно получить все девятизначные числа, причём никакое девятизначное число не будет получено дважды (из разных восьмизначных). Из каждого восьмизначного числа получается 10 девятизначных. Пять из них имеют ту же четность, что исходное восьмизначное число (те, которые получились приписыванием четной цифры), пять – противоположную.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6447
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: ЗМШ. 7-8, 8-9 классы

Сообщение PSP » Чт, 16 май 2019, 10:36

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕРКИ
контрольной работы по теме № 5 "Линейные и кусочно-линейные функции-1"


Оценки "+" за все задачи, кроме задачи № 9 доп. (за неё оценка "?").

Оценка: 5.


Из рецензии на работу
*************************************************************************************************
9 доп. (3.9к). Изобразите множество x + |y| ≠ |x| + y.
По-видимому, решение не закончено, или часть его не попала в скан-копию.
– Нет рисунка,
– в одном неравенстве пропущен символ (x≥…)
– концы некоторых строк оказались «за кадром»

**************************************************************************************************
СКОЛЬКО УЖ РАЗ Я ОБРАЩАЛ ВНИМАНИЕ НА НЕОБХОДИМОСТЬ СОБЛЮДЕНИЯ ПРАВИЛ ОФОРМЛЕНИЯ!

Пламенный привет тому, кто оформлял решение этой задачи, и тому, кто проверял решение!

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6447
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: ЗМШ. 7-8, 8-9 классы

Сообщение PSP » Пн, 27 май 2019, 12:57

РЕЗУЛЬТАТЫ ПРОВЕРКИ
контрольной работы по теме № 6 "Принцип Дирихле"


Оценки "+" за все задачи, кроме задач № 5 (за неё оценка "+-") и № 11 (за неё оценка "-").

Оценка: 5.


Из рецензии на работу

№ 5(3.5). В узлах клетчатой бумаги выбрано 5 различных точек. Доказать, что из них всегда можно найти две такие, что отрезок, соединяющий эти точки, содержит еще по крайней мере один узел.

Рассмотрим ваше утверждение (дословная цитата, добавлены только запятые):
Для того, чтобы отрезок, соединяющий две точки, содержал еще по крайней мере один узел, нужно:
x1- x2 = 2k
y1 - y2 = 2m
Как понимать «нужно»? Если это синоним точного термина «необходимо», то это утверждение неверно. Пример: точки (0;0) и (3:3). Соединяющий их отрезок содержит узлы (1;1) и (2:2), однако разности координат здесь нечётные. А вот «достаточно» здесь было бы к месту. С ним утверждение будет верным, и пригодным для данной задачи. У отрезка, концы которого удовлетворяют вашей системе, искомым узлом является середина.
Таким образом, фактически у Вас доказано несколько более сильное утверждение, чем требуется в задаче: найдется отрезок, чья середина (а не какая-то вообще точка) совпадает с узлом.

11(3.16). Доказать, что среди 5 острых углов найдутся три угла А, В и С, такие, что все их попарные суммы А+В, А+С,В +С одновременно либо больше 90º, либо не больше 90º.

С самого начала непонятно правило рассадки зайцев по клеткам, поэтому дальше продвинуться невозможно. По вашим словам, в первой клетке находятся такие углы для которых
Все попарные суммы не больше 90º.
Допустим, даны четыре угла: 11º, 12º, 13º и 80º. Существует три варианта рассадки, удовлетворяющие вашему принципу:
1) 11º, 12ºи 13º, 80º;
2) 11º, 13º и 12º, 80º;
3) 12º, 13º и 11º, 80º.
Вообще, довольно странно, что принадлежность угла той или другой клетке зависит не только от величины самого угла, но и от остального населения клетки. Правило такого рода не гарантирует, вообще говоря, существования подходящей рассадки (а то, что для вашего правила нет единственности, показывает приведённый выше пример). Правда, здесь было бы достаточно и существования, можно попробовать его доказать, но это практически равносильно «нормальному» решению задачи (где принадлежность зайца клетке определяется индивидуальными свойствами самого зайца, а потому существование подходящей рассадки сомнений не вызывает).
Рекомендация. Понятно, что нужны две клетки – для малых углов и для больших. Что значит «малые» и «большие»? Как перенести это понятие с попарных сумм на сами слагаемые? Согласитесь, что если каждое из двух слагаемых меньше половины некоторой величины, то сумма меньше самой этой величины. Значит, в первую клетку нужно поместить углы, не большие ??º.

ИТОГОВАЯ ОЦЕНКА ГРУППЕ ЗА ПЕРВЫЙ КУРС - 5.


Вернуться в «Новости»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостя