ТЕМЫ
для размышления к занятию 19 января:
СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"1. Выпишите все замки для
N = 6 (теперь вы знаете, сколько их должно быть, и не должны ошибиться)
и проверьте, все ли они открываются связкой ключей, придуманной на занятии 17 ноября.
2. Попробуйте решить задачу для
N = 7.
Как было сообщено, Ушков Даниил достиг интересных результатов, К сожалению, на занятии 12 января времени для того, чтобы его выслушать, не хватило. Будем слушать 19 января.
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!
ИСТОРИИ О КВАДРАТАХСюжет 3. АРИФМЕТИКА.
- Царица_.jpg (31.06 КБ) 16655 просмотров
На занятии 12 января была обнародована формула, найденная Москалёвым Андреем. По его мнению, формула позволяет получать
все без исключения Пифагоровы тройки. Так ли это?
Постарайтесь придумать либо тройку, которая не получается по формуле Москалёва, либо найти контрпример (указать случай, в котором
формула Москалёва даёт тройку чисел, не являющуюся Пифагоровой. Если же вы считаете, что "убить" формулу Москалёва нельзя, попробуйте доказать её истинность и универсальность.
Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?
Задачи3.1. Найти все натуральные
n, при которых число
n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3
x2 + 1 = 5
y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение
n! + 6
n + 11 =
k2.
3.5. Решите в целых числах уравнение
n! + 5
n + 18 =
k2.
3.6. Решите в целых числах уравнение
m4 - 2
n2 = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение
m2 - 2
n2 = 1.
Примечание:
-
синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.
Комментарий к задачам 3.6 и 3.7Уравнения так похожи... Но они коварно похожи!
На занятии 22 декабря уравнение 3.6 было сведено к другому уравнению, над решением которого и предлагается подумать "целый год". Коварство уравнения 3.7 уже ощутил на себе Лукашов Никита, который заявил нечто по поводу этого уравнения на занятии 22 декабря и пообещал принести 1 килограмм конфет, если его утверждение окажется неверным. И тут Лязева Катя привела контрпример к утверждению Никиты! Конфеты 12 января были принесены и УСПЕШНО разобраны (по карманам).
- Конфеты_50.jpg (39.38 КБ) 16655 просмотров
Сюжет 4. ШАХМАТЫ Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).
АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИАлгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)! ЕЩЁ ЗАДАЧИ1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!
СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:20)
Для разговора о нём 12 января времени тоже не хватило. Поговорим 19 января!
ТРЁШЕЧКИБудем называть три различных натуральных числа
трёшечкой, если одно из них равно полусумме двух других.
Может ли оказаться, что произведение чисел какой-либо трёшечки является
а) квадратом натурального числа;
б) 2016-й степенью натурального числа?
Справиться с этой задачей вам поможет книга "Учимся, думаем, решаем". На стр. 56-57 прочитайте о Международном математическом Турнире городов, а затем на стр. 58 обратите внимание на задачу № 4 для 8-9 классов.
АРХИМЕД И ОЗЕРО
- Архимед_20.jpg (42.19 КБ) 16647 просмотров
К сожалению, начавшийся Турнир Архимеда - соревнование для 6-7 классов, а потому участвовать в нём 8- и 9-классники не могут. Но, по крайней мере, одну из задач
XXV Турнира Архимеда мы всё же попробуем решить ( правда, в облегчённом варианте
).
Путешественнику требуется обследовать горное озеро, вокруг которого проходит дорога длиной в 60 км. Ежедневно он проезжает 20 км (именно на столько хватает полностью залитого бака) и дополнительно может вести одну канистру топлива (канистры хватает тоже на 20 км, т. е. на день пути). За какое наименьшее число дней путешественник сможет объехать озеро и вернуться на базу?На занятии 12 января Тимофеев Михаил сказал, что за 4 дня. Будем считать это шуткой...
ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
(самостоятельная работа)
- Крайний_40.jpg (45.17 КБ) 16655 просмотров
Найдите в Интернете, что в математике называют принципом крайнего. Посмотрите задачи на эту тему, их решения.
12 января до принципа крайнего руки не дошли, но 19 января проверим, кто и как с этим разобрался.
На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем"
и условия задач районной олимпиады, состоявшейся 21 ноября.