Центр "Успех", Гатчина

[PSP]

После занятия 17 декабря картина посещаемости такая:

Фамилия, имя	Класс	Школа	17.09	24.09	30.09	08.10	15.10	22.10	29.10	12.11	19.11	26.11	03.12	10.12	17.12
Батчев Никита	7 А	9	+	-	+	+	+	+	-	-	+	+	+	+	-
Доронин Даниил	7 А	9	-	-	-	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+
Земский Сергей	7 Б	гимн. Ушинского	-	+	-	+	+	+	+	-	+	+	+	+	-
Калинин Адриан	7 А	9	-	+	-	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+
Карпетов Кирилл	7-2	8	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+
Козьяков Сергей	7 А	1	+	+	+	+	+	+	-	-	+	-	+	-	-
Новиков Дмитрий	7 А	9	+	+	-	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+
Павлов Илья	7-2	8	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+	-	+	+
Сергеева Людмила	7	гимн. Ушинского	-	-	-	-	+	+	+	+	-	+	+	+	-
Соловьёв Виктор	7-2	8	-	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	-
Степанов Андрей	7-1	4	+	+	+	-	+	+	-	+	+	-	-	+	+
Асриянц Глеб	8 А	лицей 3	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+
Гажа Артём	8-1	4	+	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-
Годунова Виктория	8-2	2	+	+	+	-	+	+	+	-	+	-	+	+	+
Демидова Жанна	8 А	2	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
Ёжикова Ольга	8 Б	гимн. Ушинского	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+
Жилов Андрей	8 А	9	+	-	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+
Иванов Владислав	8 А	9	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	-	-	-
Крылов Даниил	8 А	9	+	+	-	+	+	+	+	-	-	+	+	-	+
Ломакин Артемий	8 А	лицей 3	+	-	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	+
Мотуз Екатерина	8-1	8	+	+	+	+	-	-	+	+	+	-	+	+	-
Нагин Артём	8-1	4	+	-	-	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+
Пантин Андрей	8-1	8	+	+	+	+	+	-	+	+	-	+	+	+	-
Пупынина Ольга	8 А	9	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	-	+
Скерсь Екатерина	8-1	8	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	+	-
Сокоулин Иван	8 А	лицей 3	-	+	+	+	-	+	+	+	+	-	+	+	+
Танченко Яна	8 А	лицей 3	+	-	+	+	-	+	+	+	+	-	+	-	-
Цветков Андрей	8-1	8	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+	+	+	-
Шуляк Дарина	8 Б	гимн. Ушинского	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+

Следующее занятие состоится 24 декабря с 15.00 до 16.30.

[PSP]

ТЕМЫ
для размышления к занятию 24 декабря:

СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"

Замочек и ключик_30.jpg (29.37 КБ) 17166 просмотров

1. Выпишите все замки для N = 6 (теперь вы знаете, сколько их должно быть, и не должны ошибиться)
и проверьте, все ли они открываются связкой ключей, придуманной ранее на занятии.

2. Попробуйте решить задачу для N = 7.

ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ

Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.

Царица_.jpg (31.06 КБ) 17166 просмотров

При каких k верна теорема: "Если квадрат числа делится на k, то он делится на k²" ?
Версии о выполнении теоремы при всех k, не являющимися точными квадратами и кубами, лопнули.

Обсуждённая на занятии формула не даёт возможности получения ВСЕХ пифагоровых троек (даже основных).
Постарайтесь придумать формулу, которая позволяет получить ВСЕ пифагоровы тройки.

Какими свойствами (кроме установленных на занятии 19 ноября) обладают все пифагоровы тройки?

Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x² + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6ⁿ + 11 = k².
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k².
3.6. Решите в целых числах уравнение m⁴ - 2n² = 1.

Примечания:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.


Сюжет 4. ШАХМАТЫ.

Конь_20.jpg (45.53 КБ) 17166 просмотров

Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд прошлых занятий).

АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ

Папирус_40.jpg (45.18 КБ) 17166 просмотров

Так математики называют дроби, в числителях которых стоит единица, а в знаменателе - натуральное число.
Мы уже научились представлять единицу суммой трёх, четырёх, пяти различных аликвотных дробей, а также заменять одну аликвотную дробь на сумму двух других (различных) аликвотных дробей. И поверили, что любое положительное рациональное число можно представить суммой нескольких различных аликвотных дробей (не доказали это).

Задание: самостоятельно изучите алгоритм Фибоначчи.

Фибоначчи_50.jpg (67.94 КБ) 17160 просмотров

ЕЩЁ ЗАДАЧИ

1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 2, 3, 5.
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!


На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем"
и условия задач районной олимпиады, состоявшейся 21 ноября.

[PSP]

Для учеников 7-8 классов, занимающихся в Центре "Успех" в Гатчине

Приз_3_30.jpg (33.54 КБ) 17164 просмотра

Приближается Новый 2016-й год, в котором мы, конечно, продолжим изучение квадратов.
Назовём фрагментом числа идущие в его записи подряд несколько цифр.
Например, в числе 29063056 есть фрагмент 6305, есть фрагмент 063, есть 63056, есть 29.

Призовая задача
Напишите все квадраты, не превосходящие 1 миллиарда, в записи которых есть фрагмент 2016.

Желающие могут прислать решение этой задачи, отправив электронное письмо Сергею Павловичу
не позднее 20 часов 23 декабря.
Вручение приза произойдёт на занятии 24 декабря.

[PSP]

Итоговая картина 1-го полугодия (после занятия, прошедшего 24 декабря) такова:

Фамилия, имя	Класс	Школа	17.09	24.09	30.09	08.10	15.10	22.10	29.10	12.11	19.11	26.11	03.12	10.12	17.12	24.12
Батчев Никита	7 А	9	+	-	+	+	+	+	-	-	+	+	+	+	-	+
Доронин Даниил	7 А	9	-	-	-	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+
Земский Сергей	7 Б	гимн. Ушинского	-	+	-	+	+	+	+	-	+	+	+	+	-	-
Калинин Адриан	7 А	9	-	+	-	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+
Карпетов Кирилл	7-2	8	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+	-
Новиков Дмитрий	7 А	9	+	+	-	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+
Павлов Илья	7-2	8	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+	-	+	+	-
Сергеева Людмила	7	гимн. Ушинского	-	-	-	-	+	+	+	+	-	+	+	+	-	+
Степанов Андрей	7-1	4	+	+	+	-	+	+	-	+	+	-	-	+	+	+
Асриянц Глеб	8 А	лицей 3	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+
Гажа Артём	8-1	4	+	-	-	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+
Годунова Виктория	8-2	2	+	+	+	-	+	+	+	-	+	-	+	+	+	+
Демидова Жанна	8 А	2	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
Ёжикова Ольга	8 Б	гимн. Ушинского	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	+
Жилов Андрей	8 А	9	+	-	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+	+
Иванов Владислав	8 А	9	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	-	-	-	+
Крылов Даниил	8 А	9	+	+	-	+	+	+	+	-	-	+	+	-	+	+
Ломакин Артемий	8 А	лицей 3	+	-	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	+	+
Мотуз Екатерина	8-1	8	+	+	+	+	-	-	+	+	+	-	+	+	-	+
Нагин Артём	8-1	4	+	-	-	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+	+
Пантин Андрей	8-1	8	+	+	+	+	+	-	+	+	-	+	+	+	-	+
Пупынина Ольга	8 А	9	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	-	+	+
Скерсь Екатерина	8-1	8	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	+	-	+
Сокоулин Иван	8 А	лицей 3	-	+	+	+	-	+	+	+	+	-	+	+	+	-
Цветков Андрей	8-1	8	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+	+	+	-	+
Шуляк Дарина	8 Б	гимн. Ушинского	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+

Пропускающие занятия без уважительных Козьяков Сергей, Соловьёв Виктор, Танченко Яна отчислены из списков.

24 декабря ряду школьников, пропустивших по несколько занятий, была предложена письменная работа (она же была дана и троим ученикам школы № 9, ранее отчисленным и претендующим на восстановление). По результатам проверки список претерпит изменения - будут также отчислены, видимо, ещё ряд школьников.
Новый список будет выложен сегодня позднее.

[PSP]

ОБ ИТОГАХ ПРОВЕРОЧНОЙ РАБОТЫ

Проверка работ показала, что чудес в Гатчине не бывает, как и вообще на свете.
Те школьники, которые пропустили много занятий, к сожалению, не сочли нужным разобраться самостоятельно в материале, и в своих работах показали почти нулевой уровень знаний по материалу, который изучался в первом полугодии на математических занятиях Центра "Успех".

Отчислены из списка занимающихся: Степанов Андрей, Гажа Артём, Иванов Владислав, Крылов Даниил, Мотуз Екатерина.


Что касается тех, кто ранее был отчислен за пропуски занятий, но пожелал восстановиться, то
Сорокин Георгий и Шереметов Егор не восстановлены,
решение вопроса о восстановлении Бабанина Глеба (его работа оказалась лучше, чем у других) отложен до 14 января 2016 г.,
когда ему будет предложена ещё одна проверочная работа, по результатам которой и будет принято окончательное решение.

Таким образом, после занятия 24 декабря список участников таков:

Фамилия, имя	Класс	Школа	17.09	24.09	30.09	08.10	15.10	22.10	29.10	12.11	19.11	26.11	03.12	10.12	17.12	24.12
Батчев Никита	7 А	9	+	-	+	+	+	+	-	-	+	+	+	+	-	+
Доронин Даниил	7 А	9	-	-	-	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+
Земский Сергей	7 Б	гимн. Ушинского	-	+	-	+	+	+	+	-	+	+	+	+	-	-
Калинин Адриан	7 А	9	-	+	-	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+
Карпетов Кирилл	7-2	8	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+	-
Новиков Дмитрий	7 А	9	+	+	-	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+
Павлов Илья	7-2	8	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+	-	+	+	-
Сергеева Людмила	7	гимн. Ушинского	-	-	-	-	+	+	+	+	-	+	+	+	-	+
Асриянц Глеб	8 А	лицей 3	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+
Годунова Виктория	8-2	2	+	+	+	-	+	+	+	-	+	-	+	+	+	+
Демидова Жанна	8 А	2	-	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+
Ёжикова Ольга	8 Б	гимн. Ушинского	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	+
Жилов Андрей	8 А	9	+	-	+	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+	+
Ломакин Артемий	8 А	лицей 3	+	-	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	+	+
Нагин Артём	8-1	4	+	-	-	-	+	+	+	-	+	+	+	+	+	+
Пантин Андрей	8-1	8	+	+	+	+	+	-	+	+	-	+	+	+	-	+
Пупынина Ольга	8 А	9	+	+	+	+	+	+	+	+	-	-	+	-	+	+
Скерсь Екатерина	8-1	8	+	+	+	-	-	+	+	+	+	+	+	+	-	+
Сокоулин Иван	8 А	лицей 3	-	+	+	+	-	+	+	+	+	-	+	+	+	-
Цветков Андрей	8-1	8	+	+	+	+	+	-	+	+	+	+	+	+	-	+
Шуляк Дарина	8 Б	гимн. Ушинского	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	+	-	+	+

[PSP]

ИТОГИ ТЕСТОВОЙ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ (задания с 1 по 5)
(Верный ответ +1, неверный ответ -1,
ради справедливости, результат тех, кто пропустил это занятие, принят равным -5)

Фамилия, имя	Класс	Школа	верно	неверно	результаты
Батчев Никита	7 А	9	2	2	0
Доронин Даниил	7 А	9	1	4	-3
Земский Сергей	7 Б	гимн. Ушинского	-	-	-5
Калинин Адриан	7 А	9	0	4	-4
Карпетов Кирилл	7-2	8	-	-	-5
Новиков Дмитрий	7 А	9	0	3	-3
Павлов Илья	7-2	8	-	-	-5
Сергеева Людмила	7	гимн. Ушинского	2	3	-1
Асриянц Глеб	8А	лицей 3	1	2	+1
Годунова Виктория	8-2	2	1	4	-3
Демидова Жанна	8-2	2	1	4	-3
Ёжикова Ольга	8Б	гимн. Ушинского	1	4	-3
Жилов Андрей	8 А	2	2	3	-1
Ломакин Артемий	8 А	лицей 3	3	2	+1
Нагин Артём	8-1	4	2	3	-1
Пантин Андрей	8-1	8	2	3	-1
Пупынина Ольга	8 А	9	2	3	-1
Скерсь Екатерина	8-1	8	1	4	-3
Цветков Андрей	8-1	8	2	3	-1
Шуляк Дарина	8 Б	гимн. Ушинского	3	2	+1

Проценты верных ответов (по каждой задаче; общий):
50%, 13%, 63%;, 50%, 0%; 35%.

[PSP]

ТЕМЫ
для размышления к занятию 14 января:

СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"

1. Выпишите все замки для N = 6 (теперь вы знаете, сколько их должно быть, и не должны ошибиться)
и проверьте, все ли они открываются связкой ключей, придуманной на занятии 17 ноября.

2. Попробуйте решить задачу для N = 7.

ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ

Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.

Царица_.jpg (31.06 КБ) 17116 просмотров

Постарайтесь придумать формулу, которая позволяет получить ВСЕ пифагоровы тройки.

Какими свойствами (кроме установленных ранее на занятиях) обладают все пифагоровы тройки?

Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x² + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6ⁿ + 11 = k².
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k².
3.6. Решите в целых числах уравнение m⁴ - 2n² = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m² - 2n² = 1.

Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.

Комментарий к задачам 3.6 и 3.7
Уравнения так похожи... Но они коварно похожи!
На занятии 24 декабря уравнение 3.6 было сведено к другому уравнению, над решением которого можно думать "целый год".

Сюжет 4. ШАХМАТЫ.

Рассмотрим возможность обхода шахматным конём квадратной доски.
Какого размера доски конь может обойти?
В частности, можно ли при обходе квадратной доски со стороной 4 посетить все 16 полей?? Если нельзя, то это, разумеется, надо доказать.
Каково максимальное число полей можно обойти на квадратной доске со стороной 6? В частности, можно ли обойти более 33 полей (это рекорд занятия 13 октября).

АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ

Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!

ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!

ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
(самостоятельная работа)

Крайний_40.jpg (45.17 КБ) 17116 просмотров

Найдите в Интернете, что в математике называют принципом крайнего. Посмотрите задачи на эту тему, их решения.
14 января проверим, кто и как с этим разобрался.

На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем"
и условия задач районной олимпиады, состоявшейся 21 ноября.

[PSP]

ПРИЗОВАЯ ЗАДАЧА
(для учащихся 7-8 классов, занимающихся в Гатчине)

Приз_4_80.jpg (62.22 КБ) 17115 просмотров

Как мы уже знаем, любое положительное рациональное число можно представить суммой нескольких различных аликвотных дробей.
Например, 1= 1/6 + 1/3 + 1/2.
Но этот пример интересен ещё и тем, что числа 1/6, 1/3, 1/2 образуют арифметическую прогрессию (каждое следующее больше предыдущего на одну и ту же величину - на 1/6).
Найдите как можно больше других примеров трёх различных аликвотных дробей, которые образуют арифметическую прогрессию и в сумме дают число не менее 1/10.

Желающие отправляют свои примеры Сергею Павловичу по эл. почте не позднее 20 часов 13 января 2016 г.

[PSP]

А на этот вопрос может отвечать кто угодно.

Треугольник_PSP_80.jpg (71.25 КБ) 16771 просмотр

[PSP]

На смешной вопросик от PSP поленились ответить все без исключения ученики 7-х и 8-х классов, занимающиеся в Центре "Успех" в Гатчине.

Снова было лень...

Пендель.jpg (22.39 КБ) 16748 просмотров

[PSP]

ВНИМАНИЕ!

Турнир Архимеда_20.jpg (48.15 КБ) 16738 просмотров

Мы приступаем к решению задач Заочного тура XXV Турнира Архимеда.
До конца февраля нужно определиться: будут ли отдельные учащиеся 7-го класса отправлять свои работы самостоятельно или же мы отправим одну коллективную работу всей группы.

В любом случае РЕШАЙТЕ ЗАДАЧИ! (их условия здесь).
Если что-то в условиях задач непонятно, спрашивайте (задавайте вопросы по эл. почте).

На занятии 14 января выясним, кто какие задачи решил.

[PSP]

Сегодня прошло первое занятие второго полугодия:

Фамилия, имя	Класс	Школа	14.01
Батчев Никита	7 А	9	+
Доронин Даниил	7 А	гимн. Ушинского	+
Земский Сергей	7 Б	гимн. Ушинского	+
Калинин Адриан	7 А	9	-
Карпетов Кирилл	7-2	8	+
Новиков Дмитрий	7 А	9	+
Павлов Илья	7-2	8	-
Сергеева Людмила	7	гимн. Ушинского	+
Асриянц Глеб	8 А	лицей 3	+
Годунова Виктория	8-2	2	+
Демидова Жанна	8 А	2	+
Ёжикова Ольга	8 Б	гимн. Ушинского	+
Жилов Андрей	8 А	9	+
Ломакин Артемий	8 А	лицей 3	-
Нагин Артём	8-1	4	+
Пантин Андрей	8-1	8	+
Пупынина Ольга	8 А	9	+
Скерсь Екатерина	8-1	8	-
Цветков Андрей	8-1	8	+
Шуляк Дарина	8 Б	гимн. Ушинского	+

Павлов Илья и Ломакин Артемий за многочисленные пропуски занятий представлены к отчислению.
Бабанин Глеб в списках учащихся НЕ ВОССТАНОВЛЕН.

Следующее занятие состоится 21 января с 15.00 до 16.30.

[PSP]

ИТОГИ ТЕСТОВОЙ РАБОТЫ ПО ГЕОМЕТРИИ (задания с 6 по 10)
(Верный ответ +1, неверный ответ -1,
ради справедливости, результат тех, кто пропустил это занятие, принят равным -5)

Фамилия, имя	Класс	Школа	верно	неверно	результаты
Батчев Никита	7 А	9	0	5	-5
Доронин Даниил	7 А	9	4	1	+3
Земский Сергей	7 Б	гимн. Ушинского	2	3	-1
Калинин Адриан	7 А	9	-	-	-5
Карпетов Кирилл	7-2	8	1	3	-2
Новиков Дмитрий	7 А	9	4	1	+3
Павлов Илья	7-2	8	-	-	-5
Сергеева Людмила	7	гимн. Ушинского	3	1	+2
Асриянц Глеб	8А	лицей 3	3	1	+2
Годунова Виктория	8-2	2	2	3	-1
Демидова Жанна	8-2	2	2	3	-1
Ёжикова Ольга	8 Б	гимн. Ушинского	1	3	-2
Жилов Андрей	8 А	2	3	2	+1
Ломакин Артемий	8 А	лицей 3	-	-	-5
Нагин Артём	8-1	4	1	3	-2
Пантин Андрей	8-1	8	1	1	0
Пупынина Ольга	8 А	9	4	1	+3
Скерсь Екатерина	8-1	8	-	-	-5
Цветков Андрей	8-1	8	3	2	+1
Шуляк Дарина	8 Б	гимн. Ушинского	3	1	+2

Проценты верных ответов (по каждой задаче; общий):
75%, 25%, 44%;, 38%, 50%; 46%.

[PSP]

ТЕМЫ
для размышления к занятию 20 января:

СУПЕР-ЗАДАЧА "ЗАМКИ И КЛЮЧИ"

1. Выпишите все замки для N = 6 (теперь вы знаете, сколько их должно быть, и не должны ошибиться)
и проверьте, все ли они открываются связкой ключей, придуманной на занятии 17 ноября.

2. Попробуйте решить задачу для N = 7.

Ушков Даниил (Сиверская гимназия) достиг интересных результатов...
Разумеется, другим учащимся не возбраняется получить свои результаты!

ИСТОРИИ О КВАДРАТАХ

Сюжет 3. АРИФМЕТИКА.

Царица_.jpg (31.06 КБ) 16697 просмотров

Москалёв Андрей (Сиверская гимназия) нашёл формулу, которая, по его мнению, позволяет получать все без исключения Пифагоровы тройки. А вам слабо найти такую формулу?

Какими свойствами (кроме ранее установленных на занятиях) обладают все Пифагоровы тройки?

Задачи
3.1. Найти все натуральные n, при которых число n! + 57 является точным квадратом.
3.2. Найдите все целочисленные решения уравнения 3x² + 1 = 5y.
3.3. Квадрат числа оканчивается двумя одинаковыми цифрами. Что это за цифры?
3.4. Решите в целых числах уравнение n! + 6ⁿ + 11 = k².
3.5. Решите в целых числах уравнение n! + 5n + 18 = k².
3.6. Решите в целых числах уравнение m⁴ - 2n² = 1.
3.7. Решите в целых числах уравнение m² - 2n² = 1.

Примечание:
- синим цветом выделены номера задач, решённых на занятиях.

Комментарий к задачам 3.6 и 3.7
Уравнения так похожи... Но они коварно похожи!
На занятии 24 декабря уравнение 3.6 было сведено к другому уравнению, над решением которого и предлагается подумать ещё в прошлом году.

АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ

Алгоритм Фибоначчи.
Мы выяснили, чем он (алгоритм) хорошо, а чем плох.
И все поверили в сказ о том, что этот алгоритм всегда сходится (т. е. всегда количество его шагов и, значит, дробей, будет конечным).
Докажите это (или опровергните)!

ЕЩЁ ЗАДАЧИ
1) Постарайтесь решить задачи 1-го традиционного тура олимпиады им. Л. Эйлера (см. стр. 77-78 книги "Учимся, думаем, решаем"). Остались нерешёнными задачи №№ 3, 5.
2) В конце решения задачи № 3 для 9 класса (см. стр. 18 книги "Учимся, думаем, решаем"), в последнем абзаце сформулирован вопрос.
Подумайте над ним!

СМЕШНОЙ ВОПРОСИК ОТ PSP (условие задачи см. в посте 5 января 2016 г, 16:21)
Поговорим об этом 21 января!

ТРЁШЕЧКИ
Будем называть три различных натуральных числа трёшечкой, если одно из них равно полусумме двух других.
Может ли оказаться, что произведение чисел какой-либо трёшечки является
а) квадратом натурального числа;
б) 2016-й степенью натурального числа?
Справиться с этой задачей вам поможет книга "Учимся, думаем, решаем". На стр. 56-57 прочитайте о Международном математическом Турнире городов, а затем на стр. 58 обратите внимание на задачу № 4 для 8-9 классов.

ТУРНИР АРХИМЕДА

Турнир Архимеда_20.jpg (48.15 КБ) 16697 просмотров

РЕШАЙТЕ ЗАДАЧИ ТУРНИРА!
К сожалению, начавшийся Турнир Архимеда - соревнование для 6-7 классов, а потому участвовать в нём 8-классники не могут. Но могут помочь 7-классникам в решении задач XXV Турнира Архимеда.
На занятии 14 января был предложен облегчённый вариант задачи № 4:
Путешественнику требуется обследовать горное озеро, вокруг которого проходит дорога длиной в 60 км. Ежедневно он проезжает 20 км (именно на столько хватает полностью залитого бака) и дополнительно может вести одну канистру топлива (канистры хватает тоже на 20 км, т. е. на день пути). За какое наименьшее число дней путешественник сможет объехать озеро и вернуться на базу?
На занятии 12 января Тимофеев Михаил сказал, что за 4 дня. Будем считать это шуткой...

ПРИНЦИП КРАЙНЕГО
(самостоятельная работа)

Крайний_40.jpg (45.17 КБ) 16697 просмотров

Найдите в Интернете, что в математике называют принципом крайнего. Посмотрите задачи на эту тему, их решения.
14 января выяснилось, что за три недели этого никто не нашёл - все поленились. 21 января проверим, кто и как с этим разобрался.

На занятие берите книгу "Учимся, думаем, решаем"
и условия задач районной олимпиады, состоявшейся 21 ноября.

[PSP]

См. также информацию об олимпиаде.