Математика школьная и олимпиадная

[PSP]

Отделять одну от другой - занятие бесполезное и даже вредное.
Где начинается так называемая олимпиадность? Вряд ли кто-нибудь сумеет провести границу. Да и нужно ли это?
Наши предки не делили математику. И мы не будем.
Успехов всем, кто ценит эту древнейшую науку и хочет её познать! vПодробнее...

[PSP]

Решили в Ленинградской области провести олимпиаду (назовём её областной) по математике,
Позвали на неё 6-классников, которые показал лучшие результаты на муниципальных (районных, если по-русски) турах олимпиады.

Давайте посмотрим на результаты.
Ниже указаны 6-классники, их результат на областной (О) олимпиадеи на муниципальной (Мун), и на областной олимпиаде (Обл) было
по 6 задач, за которые можно было набрать 42 балла (каждая задача оценивалась 7 баллами).

Волченкова Маргарита: Мун – 15 из 42, Обл – 14 из 42.
Фетько Константин: Мун – 17 из 42, Обл – 9 из 42.
Боднар Максим: Мун – 24 из 42, Обл – 7 из 42 (полностью не решена ни одна задача).
Фетько Глеб: Мун – 19 из 42, Обл – 6 из 42 (полностью не решена ни одна задача).
Фёдоров Олег: Мун – 24 из 42, Обл – 5 из 42 (полностью не решена ни одна задача).
Алексеева Варвара: Мун – 21 из 42, Обл – 4 из 42 (полностью не решена ни одна задача).

Предвижу реплику: «Наверное, на областной олимпиаде задачи были очень сложые». Однако, участник из Кировского района набрал 32 балла,из Всеволожского – 30, из Выборгского – 28, ещё один из Вс6енволожского и из Выборгского – по 25, …

Почему же лужане с высокими баллами, полученными в Луге на муниципальном этапе, столь слабо выступили
на областной олимпиаде? Ответ давно дал известный исторический персонаж: «... важно, как подсчитывают!»

Путь вниз проще, чем наверх.
Не стоит только забывать, что, карабкаясь вверх, мы оказываемся на вершине, а быстро мчась вниз – в канаве.

[PSP]

МОЖНО и НЕЛЬЗЯ

Довольно часто встречаются в математике задачи, вопрос в которых звучит так:
«Можно ли …?», «Существует ли…?», «Будет ли…?» и т. п.

В плохих школьных учебниках таких вопросов, как правило, нет.
И нередко школьники, «воспитанные» дурными учебниками,
прочитав такой вопрос, пишут: «Можно», «Существуют», «Будет»,
или «Нельзя», «Не существует», «Не будет»
полагая, что они решили задачу. Нет, не решили, а написали только ответ!

В чём же заключается РЕШЕНИЕ подобных задач?

Если ответ «Можно», то необходимо объяснить, как именно
(или привести число с указанным свойством, или изобразить фигуру)
И, возможно, объяснить, почему число или фигура описанным свойствам
удовлетворяет (когда это, конечно, не очевидно).

А если ответ «Нельзя», то никакое количество примеров ничего не докажет.
Ведь нельзя же доказать отсутствие физ-мат лицея в Луге
примерами школ №№ 2, 3. 4, 5, 6 (вдруг физ-мат лицей находится
не в помещении одной из школ!).
Необходимо ДОКАЗАТЬ, что такого числа или фигуры нет.

В ряде задач легко придумать пример и трудно доказать его отсутствие.
В других – нетрудно доказать отсутствие чего-то и очень трудно придумать пример.
Бывает, что проблема и в одном, и в другом.
История математики знает случаи, когда математики всего мира
не могли ни при мер придумать, ни доказать невозможность чего-то.