.
* * *
Ферма заметил, что в множестве {1,3,8,120} произведение любых двух чисел, увеличенное на 1, т. е. числа 1*3+1, 1*8+1, 1*120+1, 3*8+1, 3*120+1 и 8*120+1 -точные квадраты. Существуют ли другие такие замечательные множества целых чисел?
Определение. Множество попарно различных целых ненулевых чисел {a[1], a[2], ..., a[n]} называется P(t)-множеством, если n не меньше 2, и для любой пары различных элементов a[i] и a[j] этого множества число a[i]*a[j]+t является квадратом целого числа. Число n называется длиной P(t)-множества, t - его параметром.
Замечание. Вопрос о P(0) -множествах не представляется авторам достаточно интересным, поэтому в дальнейшем будем считать, что параметр отличен от нуля. (Действительно, любое множество из n различных точных квадратов является P(0) -множеством.)
Предлагается найти P(t)-множество как можно большей длины.
Авторам сайта известны много P(t) множеств длины 4, несколько P(t) множеств длины 5. Поэтому большой интерес, конечно, представляют P(t)-множества длины 6 и более.
Сразу хочу предупредить, что все не так просто, как кажется.
Могу от своего имени пообещать, что все те, кто достигнут значительных результатов в решении этой задачи, получат призы (предупреждаю сразу: на вопросы о том, что это за приз, отвечать не буду).
Дерзайте!
