ещё один предел

[Евгений87]

Помогите пожалуйста решить ещё это: lim(2e^(x-2)-1)^((3x+2)/(x-2))
x->2

[PSP]

(2e^(x-2)-1)^((3x+2)/(x-2)) =
= ((1+(2e^(x-2)-1))^(1/(2e^(x-2)-2)))^(2e^(x-2)-2)*(3x+2)/(x-2)) = f(x).
Поскольку при x->2 величина 2e^(x-2)-2 -> 0, то
((1+(2e^(x-2)-1))^(1/(2e^(x-2)-2)) -> e.
Значит, у f(x) такой же предел, что и у e^(2(e^(x-2)-1)*(3x+2)/(x-2)).
Замена: x-2 = t.
Тогда искомый предел равен пределу g(t) = e^(2*(e^t-1)*(3t+8 )/t) при t->0.
Этот предел можно вычислить либо по правилу Лопиталя, либо воспользоваться известным фактом, что (e^t-1)/t -> 1 при t->0.
В любом случае, g(t) -> e^16. Это и есть ответ на задачу.