предел

[Евгений87]

Не могу найти предел.Помогите пожалуйста.lim(a^(x+h)+a^(x-h)-2a^x)/h^2 при h->0

[PSP]

Ответ на Ваш вопрос зависит от того, что Вы "проходили".

- Если в Ваш "арсенал" входит правило Лопиталя, то
lim(a^(x+h)+a^(x-h)-2a^x)/h^2 =
= lim((a^(x+h)-a^(x-h))*ln(a)/2h =
= lim((a^(x+h)+a^(x-h))*(ln(a))^2/2 =
= a^x*(ln(a))^2.

- Если же это правило у Вас пока "вне закона", то сначала надо записать данное выражение в виде
(((a^((x+h)/2)-a^((x-h)/2))/h)^2 = Y^2, где
Y = ((a^((x+h)/2)-a^((x-h)/2))/h.
Для дальнейшего надо знать, какие из пределов, содержащих логарифмические и показательные функции, Вам известны.
Например, если Вам известен предел выражения (t-1)/ln(t) при t->1
(или, что то же самое, t/ln(t+1) при t->0), то задача дорешивается так:
заменим a^(1/2) на b,
тогда Y = ((b^(x+h)-b^(x-h))/h = b^x*(b^(2*h)-1)/(h*b^h).
Пусть b^h = t, тогда t ->1 и Y = b^x*(t-1)(t+1)*ln(b)/(ln(t)*t).
Поскольку (t-1)/ln(t) ->1 при t->1, то Y ->2*b^x*ln(b), а
Y^2 -> 4*b^(2*x)+(ln(b))^2 = a^x*(ln(a))^2.