Задача про оси симметрии.

[PSP]

Предлагаю желающим подумать над весьма интересным вопросом:
из какого наименьшего числа точек может состоять конечное множество точек на плоскости, если у него ровно N осей симметрии?

(Частный случай, когда N=100, был предложен на олимпиаде ЮМШ. Так что, сначала можно разобраться именно с ним.)

[PSP]

Вчера на занятии ЗМШ школьники пришли к выводу, что
если N=1, то миним. число точек равно 3;
если N=2, то миним. число точек равно 2;
если N=3, то миним. число точек равно 3.
Это верно?
Продолжайте список!
Только будьте добросовестны и отвечайте за свои утверждения.

[Влад]

а тут призы будут?

[МЕНЯ]

если N=1, то миним. число точек равно 3;
если N=2, то миним. число точек равно 2;
если N=3, то миним. число точек равно 3.
И это верно!!!
А сегоня на занятии 10-11 классов ЗМШ, получилось ентое безобразие:
N=4 то миним. число точек равно 4;
N=5 то миним. число точек равно 5;
N=6 то миним. число точек равно 6;
И енто правильное БЕЗОБРАЗИЕ!!!!
АВТОРЫ: Поликарпов Василий, Бауэр Максим, Меньшиков Александр, а ещё MINYA, OMATICK, BATTja...все ученики 11 "М" класса...
Отдельное спасибо они выразили...Демьяновой Любовь Сергеевне...
Ну там ещё один есть учитель, ну енто как его : PSP!!!

[PSP]

если N=1, то миним. число точек равно 3;
если N=2, то миним. число точек равно 2;
если N=3, то миним. число точек равно 3.
И это верно!!!
А сегоня на занятии 10-11 классов ЗМШ, получилось ентое безобразие:
N=4 то миним. число точек равно 4;
N=5 то миним. число точек равно 5;
N=6 то миним. число точек равно 6;

Замечу, что всё это НЕ ДОКАЗАНО.

[Мегатрон]

Вот, кажется, так:

(1) у системы из одной точки бесконечное число осей симметрии - все прямые, проходящие через неё. У системы из двух точек ровно 2 оси симметрии - прямая, проходящая через них, и серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему их. При N=1 ответ 3: вершины равнобедренного, но не равностороннего треугольника. Соответствующая ось симметрии - прямая, содержащая высоту к основанию.

Итак, при N=1 ответ 3, при N=2 ответ 2.

(2). Если у конечного множества точек более 2-х осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке. Действительно, пусть это не так. Тогда есть три оси симметрии L1, L2, L3, "образующие треугольник". Возьмем любую внутреннюю точку А этого треугольника и рассмотрим ту точку Х системы, которая наиболее удалена от А (если их несколько, то возьмем любую из них). Ясно, что точки А и Х находятся по одну сторону от одной из этих трех осей, например, от L1. Но тогда точка, симметричная X относительно L1, удалена от А дальше, чем Х - противоречие выбору Х.

(3). Если L1 и L2 - две оси симметрии системы точек, то прямая L3, симметричная L2 относительно L1, тоже является осью симметрии этой системы точек (т.к., грубо говоря, справа от L1 все устроено так же, как и слева от неё).

(4). Итак, у нас N осей симметрии, N>2, все они пересекаются в одной точке. Они делят плоскость на 2N углов. Докажем, что все эти углы равны. Рассмотрим наименьший из них. Предположим, он меньше, чем 360/2N. Пусть это угол между осями L1 и L2. По пункту (3), мы можем двигаться по часовой стрелке, откладывая прямую L3, симметричную L1 относительно L2, затем L4, симметричную L2 относительно L3, и так далее. И все они будут осями симметрии нашей системы точек. Так как угол между L1 и L2 меньше 360/2N, то таких осей будет хотя бы N+1 - противоречие.

Значит, все эти 2N углов равны.

(5). Назовем эти N осей L1, L2, L3,...,Ln., каждая из них - это два луча Li1 и Li2, начало всех лучей - общая точка этих осей. Если есть точка из нашей системы, лежащая на луче, например, Li1, то есть точка и на луче L(i+2)1 - в силу симметрии относительно прямой L(i+1) и так далее. Тогда всего точек будет хотя бы N.

Если есть точка из нашей системы, лежащая внутри одного из 2N углов, то есть точки и во всех остальных углах (все по той же симметрии).

Итак, при N осях симметрии точек будет не меньше N. А пример с N точками реализуется - это вершины правильного N-угольника. Соответственные оси симметрии в случае четного N - это N/2 диаметров N-угольника и N/2 "средних линий" - прямых, соединяющих середины противолежащих сторон. В случае нечетного N - N прямых, соединяющих вершины с серединой противолежащих сторон. А других осей смметрии у правильных N-угольников нет.

[Влад]

Правильно??? ПРИЗЫ ГДЕ???? =) 22_13 уже три задачи решила! =)

[PSP]

ПРИЗЫ ГДЕ???? =) 22_13 уже три задачи решила! =)

Комитет по награждению рассматривает этот вопрос. Правда, есть одно обстоятельство, которое смущает членов Комитета, - число 2213 является простым...
Помнишь любимое развлечение в поездах метро?

[Влад]

Помнишь любимое развлечение в поездах метро?

До сих пор им страдаю... Такие числа встречаются... =) 3885 , 7447 ...

[Мегатрон]

Комитет по награждению рассматривает этот вопрос. Правда, есть одно обстоятельство, которое смущает членов Комитета...

Хорошо хоть, что не "административный ресурс"

[Влад]

Помнишь любимое развлечение в поездах метро?

Кстати, недавно ехал в вагоне метро с номером 6123. Это число само по себе примечательно, так к тому же у электрички, отправляющейся ежедневно с Балтийского вокзала в Лугу в 15:02, точно такой же номер =)

[Мегатрон]

Ура, нам наконец-то вручили приз
20 октября на приуроченной к вручению УКОЛе Сиверский-Луга нам за активное участие презентовали 1000 рубликов Мы теперь сможем покушать

[Влад]

Ура, нам наконец-то вручили приз
20 октября на приуроченной к вручению УКОЛе Сиверский-Луга нам за активное участие презентовали 1000 рубликов Мы теперь сможем покушать

Чем в данный момент и занимаимси .. =)