math.luga.ru : Форум

Всем, кто силен в анализе! Найдите ошибку в док-ве правила Лопиталя. Я ее найти не могу, уж больно просто все получается.
предел (при x стрем к а) f(x)/g(x)=
=предел (при x стрем к а) (x-a)f(x)/(x-a)g(x)=
=предел (при x стрем к а) (x-a)(f(a)+f'(a)(x-a))/
(x-a)(g(a)+g'(a)(x-a))=
=предел (при x стрем к а) ((x-a)f(a)+(x-a)f'(a))/
((x-a)g(a)+(x-a)g'(a))=
=(предел (при x стрем к а)(x-a)f(a)+предел (при x стрем к а)(x-a)f'(a))/
(предел (при x стрем к а)(x-a)g(a)+предел (при x стрем к а)
(x-a)g'(a))=
=(предел (при x стрем к а)(x-a)f'(a))/(предел (при x стрем к а)(x-a)g'(a)=
=предел (при x стрем к а)f'(a)/g'(a)
Переход в третьей строчке в силу известного равенства, все остальное в силу непрерывности (сокращение на (x-a), переход к частному пределов и т.д.
Заранее спасибо!

А неопределенность какого вида 0/0 или \infty / \infty?

Herotank писал(а):А неопределенность какого вида 0/0 или \infty / \infty?

Без разницы, лишь бы эти функции были дифференцируемы в некоторой проколотой окрестности точки а.

ну если \infty / \штаен то Вы не имеете права писать f(a), а если 0/0, то нет смысла писать f(a).

А что, и правда ничего странного не замечаете?

Видимо автора удивило, что у него вместо положенной импликации " ... если при этом предел отношения производных существует, то он равен пределу исходного отношения" появилось само это отношение. На самом деле, ничего удивительного нет - в доказательстве неявно использованы условия не совсем те, которые, которые предполагает правило Лопиталя. В результате получается лишь слабая версия, которая не допускает повторного применения этого правила.

Ну а само доказательство можно назвать так:
Ни шагу без ошибки ...

Прежде чем что-то доказывать, надо это что-то сформулировать. На это верно указывали - какая неопределённость имеется в виду.

Ну, предположим 0/0, причём а - это не символ бесконечности со знаком или без оного.
Закроем глаза на то, что функции в числителе и знаменатели не обязаны быть определены в точке а, более того предел функции и её предел разные вещи за исключением точек непрерывности. В конце концов всё равно в доказательстве числитель и знаменатель доопределяют в точке а по непрерывности, полагая их равными нулю.
Но по какому такому известному равенству получается f(x)=f(a)+f'(a)(x-a) и аналогично для g? Будь это так, то и огород городить было нечего, так как f и g были бы линейными. Далее, коль скоро появились f'(a) и g'(a), то подразумевается, что f и g не только определены в точке а, но и дифференцируемы в этой точке. Но ведь нет этого в условии правила Лопиталя.

А далее идёт безграмотный переход в пределе частного и сокращение чистых нулей в числителе и знаменателе. Зачем, спрашивается, было домножать на x-a?

Если заменить "известное равенство" на формулу Тейлора с остатком в форме Пеано, убрать домножение на x-a, и правильно перейти к пределу отношения, моментально получается равенство lim (f(x)/g(x))=f'(a)/g'(a) в условиях, когда f(a)=g(a)=0 и существуют f'(a), g'(a), причём g'(a) не 0.

bot писал(а):Но по какому такому известному равенству получается f(x)=f(a)+f'(a)(x-a) и аналогично для g?

Это же формула для приближенных вычислений. В пределе как раз и получается равенство и вблизи точки а функции действительно стремятся к линейным. Или я не прав?
Конечно, в точке а функции нужно доопределить до непрерывности, т.е. считать равными нулю.
Пожалуйста, посмотрите на еще одно док-во (или "док-во").
Пусть неопределенность вида 0/0 и а - не символ бесконечности с любым знаком. Доопределим каждую ф-цию, считая f(a)=g(a)=0. Тогда f(x) и g(x) непрерывные в точка а. Тогда по теореме Коши f(x)/g(x)=f'(c)/g'(c) (с - между а и x). Если x стрем. к а , то и с стрем. к а. Получим, предел (при x стрем. к а) (f(x)/g(x))=
=предел (при c стрем. к а) (f'(x)/g'(x))=
=предел (при x стрем. к а) (f'(x)/g'(x)). Заранее спасибо!

Баш Кир писал(а):Это же формула для приближенных вычислений. В пределе как раз и получается равенство и вблизи точки а функции действительно стремятся к линейным. Или я не прав?

Во-первых, приближенные вычисления годятся для физики, а здесь это неуместно. Грамотнее написать $f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+o(x)$

Получим, предел (при x стрем. к а) (f(x)/g(x))=
=предел (при c стрем. к а) (f'(x)/g'(x))=
=предел (при x стрем. к а) (f'(x)/g'(x)). Заранее спасибо!

ИМХО не "предел (при c стрем. к а) (f'(x)/g'(x))", а "предел (при x стрем. к а) (f'(c)/g'(c))", хотя это вроде бы не важно.

Баш Кир писал(а):Пожалуйста, посмотрите на еще одно док-во (или "док-во").
Пусть неопределенность вида 0/0 и а - не символ бесконечности с любым знаком. Доопределим каждую ф-цию, считая f(a)=g(a)=0. Тогда f(x) и g(x) непрерывные в точка а. Тогда по теореме Коши f(x)/g(x)=f'(c)/g'(c) (с - между а и x). Если x стрем. к а , то и с стрем. к а. Получим, предел (при x стрем. к а) (f(x)/g(x))=
=предел (при c стрем. к а) (f'(x)/g'(x))=
=предел (при x стрем. к а) (f'(x)/g'(x)). Заранее спасибо!

Теперь уже лучше, однако надо расставить точки над ё.
1) Пусть f и g определены в некоторой окрестности (односторонней или двусторонней) точки а, за исключением самой точки а.
2) f и g имеют нулевые пределы в точке а
3) f и g имеют производные в этой окрестности, причём g' не обращается в этой окрестности в ноль
4) Существует предел L отношения f'/g' в точке а.
Тогда предел отношения f/g существует и равен L.

Предел в п.4 и в заключительном предложении подразумевается односторонним или двусторонним, в зависимости от п.1

Игнорирование любого из п.п. 1-4 чревато печальными последствиями. Особенно часто игнорируют п.4 и в случае, когда предела отношения производных нет, начинают утверждать, что нет и предела отношения функций, что не есть правильно.
Для примера возьмите f(x)=(1-cos x)*sin (1/x), g(x)=x, a=0.

Herotank писал(а):ИМХО не "предел (при c стрем. к а) (f'(x)/g'(x))", а "предел (при x стрем. к а) (f'(c)/g'(c))", хотя это вроде бы не важно.

Это всё равно, если существует предел f'(x)/g'(x) при х -> a, в противном случае теорема Коши может нам подсунуть "специально выбранные" точки с.