Доказательство Великой теоремы Ферма (просто новогодняя сказ

Здесь вы можете сформулировать математическую задачу, с которой вам не справиться, или, наоборот, поделиться своим маленьким открытием.
Возможно, другие пользователи помогут вам или порадуются вместе с вами...

Модератор: модераторы

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 17 сен 2007, 10:00

Виктор Сорокин писал(а):И …что скажут школьники о – по существу пятистрочном – доказательстве ВТФ?

Когда исчерпаны все разумные попытки, остается думать неразумно.
Вот:
Полное ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Итак, пусть
(1°) a^n+b^n = c^n, где простое n > 2, a, b, c взаимно простые и число
(2°) a+b-c=un^k, где u НЕ КРАТНО n.

Возведем равенство 2°, или
(3°) (a+n^t)+(b-n^t )=c+un^k, где t>k в степень n и после раскрытия биномов Ньютона становится очевидным, что число u ДЕЛИТСЯ на n.

Противоречие с 2° ПОЛНОСТЬЮ доказывает ВТФ для БАЗОВОГО случая.
================
Если бы!...

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 20 сен 2007, 22:03

Виктор Сорокин писал(а):Когда исчерпаны все разумные попытки, остается думать неразумно.
Прошу у читателей прощения за задержку. Зато надеюсь порадовать результатом.
Суть найденного противоречия: числа a, b, c НЕ взаимно простые.

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Итак, допустим, что
(1°) a^n+b^n = c^n, где простое n >2, a, b, c взаимно простые, [d=] c+a>c+b>a+b>c>a>b>u >0, a+b>2u (u=a+b-c).
Тогда, как известно,
(2°) (a+b)R-(c-b)P-(c-a)Q=0, где
(3°) R=a^{n-1}+… + ab^{n-2}+ b^{n-1},
P=c^{n-1}+… + cb^{n-2}+ b^{n-1},
(3a) Q=c^{n-1}+…+(ca)^{(n-1)/2}+… + ca^{n-2}+ a^{n-1}=(c+a)^2T+(ca)^{(n-1)/2}, c+a=d (обозначение). [Но: Q=(c-a)^2q плюс минус n(ca)^{(n-1)/2}].

Доказательство

Рассмотрим числа R, P, Q в базе d [d=c+a] (нас интересуют только остатки по модулю d, или последние цифры).
Поскольку – как следует из 3°, – число R-P делится на d, то
(4°) R=rd+e, P=pd+e, где d>e>0.
А из 3a° мы видим, что
(5°) Q=qd+(ca)^{(n-1)/2}.

С помощью умножения равенства 1° на некоторое число в степени n числа e и (ca)^{(n-1)/2} легко преобразуются в 1 (что будет показано в следующий раз – дабы дать возможность любителям головоломок попытаться самим сообразить, как это делается).

Ну а затем на однозначных окончаниях в равенстве 2° мы приходим либо к равенству
(a+b)-2(c-b)=0, либо к равенству a+b=0, что противоречит 1°.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 24 сен 2007, 20:04

Виктор Сорокин писал(а):Ну а затем на однозначных окончаниях...

ГИПОТЕТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА,
основанное на следующих двух леммах-теоремах

Лемма 1:
Для любого нечетного числа a существует бесконечное множество таких простых чисел q>a, что числа a и q-1 [=m] являются взаимно простыми.
Лемма 2:
Все последние цифры у чисел a^t в базе q, где t=1, 2, … q-1, различны, т.е. составляют полный набор позитивных цифр в базе q.
[Сейчас нет времени вспоминать доказательства этих лемм – это можно отложить на будущее. Но стоит посмотреть комментарии форумчан shwedka и tolstopuz на странице http://lib.mexmat.ru/forum/viewtopic.ph ... &start=150.]

Суть найденного противоречия ВТФ: в базе q число a^n+b^n -c^n=1, а не 0.

Итак, допустим, что
(1°) a^n+b^n = c^n, где нечетное n >2 и число a либо c также нечетно.

Доказательство ВТФ
(2°) Для нечетного числа 3na^n (либо для nc^n) возьмем простое число q>3na^n >c^n, удовлетворяющее условию Леммы 1.
Составим линейное диофантово уравнение со взаимно простыми параметрами n и m=q-1:
(3°) n(x+tm)-m(y+tn)=1 с общим решением (x+tm; y+tn).
(4°) Так как согласно Лемме 2 (поскольку однозначное a и m взаимно простые), все однозначные окончания у t-1 чисел a^t – следовательно, и чисел a^x+tm – различны, то существуют такие значения x+tm=r и x+tm=s, что однозначные окончания у чисел a^r и a^s равны b и c.
Но согласно малой теореме Ферма, однозначные окончания у чисел a^n, a^rn и a^sn в базе q равны 1, и тогда однозначное окончание числа
(5°) a^n+a^rn-a^sn, то есть a^n+b^n-c^n=1, а не a^n+b^n-c^n=0.

ВТФ доказана.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 30 сен 2007, 10:56

Виктор Сорокин писал(а): ГИПОТЕТИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА...

Ну а теперь – самый существенный КОМПЬЮТЕРНЫЙ факт в деле элементарного доказательства ВТФ:
На множестве N последних цифр в числах q^n, где q – простое, а n [>2] является сомножителем числа q-1, равенство A+B=C ВОЗМОЖНО только при A=1 (или B=1) и/или при A=B.
(Очевидно, при простом q>c^n равенство Ферма – на множестве N – невозможно.)
Нам остается только объяснить компьютерный факт.


============

Смотрите вторую, более новую, тему.


Вернуться в «Доска математических объявлений»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостя