math.luga.ru : Форум

Формулировка специально приводится в виде, доступном для понимания школьниками.

Рассмотрим V(k) - множество всех векторов, у которых две координаты, каждая из которых - одно из целых чисел от 0 до k-1, и введём для них понятие суммы следующим образом:
суммой векторов (a, b)+(c, d) будем называть такой вектор (x, y) из V(k), что числа
x-(a+c) и y-(b+d) делятся на k.

Например, если k=10, то (5,9)+(7,1)=(2,0).

Пусть k>2. Обозначим через f(k) наименьшее n, для которого верна теорема:
в любом n-элементном подмножестве V(k) найдутся k векторов, сумма которых равна нулевому вектору (0,0).

Найдите в качестве упражнения f ( 3 ), f ( 4 ), f ( 8 ).

Чему равно f(k), если k=2^m, где m - натуральное число больше 1?

PSP писал(а):Пусть k>2. Обозначим через f(k) наименьшее n, для которого верна теорема:
в любом n-элементном подмножестве V(k) найдутся k векторов, сумма которых равна нулевому вектору (0,0).

Подразумевается ли здесь, что векторы в сумме различны, и в частности, что n >= k ?

Подразумевается, что из множества, состоящего из n элементов, нельзя выбрать более n элементов.