Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Здесь вы можете сформулировать математическую задачу, с которой вам не справиться, или, наоборот, поделиться своим маленьким открытием.
Возможно, другие пользователи помогут вам или порадуются вместе с вами...

Модератор: модераторы

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 08 дек 2011, 23:09

Из равенства Ферма при ABC≠0 mod n в системе счисления по простому основанию m=dn+1 почти сразу (за две простых логических операции) вытекает интересное равенство:

A^n+B^n=A^n*B^n mod m.

Одно решение общеизвестно: A^n=2, B^n=2 mod m.

Вопрос: существует ли другое решение?

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 18 дек 2011, 22:28

Уточненная идея доказательства:

Легко* показать, что числа A, B, C представимы в виде:
A=a^n+U:A', B=b^n+U:B', C=c^n+U:C'
[где: простое n>2, A', B', C' – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел (A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B), a, b, c – последние цифры чисел A, B, C и U=A+B-C=uA'B'C' делится на n^2], из чего следует противоречивость формулы для U:
U=A+B-C=(a^n+b^n-c^n)+U:A'+U:B'-U:C', откуда 1=(a^n+b^n-c^n):U+1:A'+1:B'-1:C', где, после умножения равенства Ферма на достаточно большое число D^{nn}, правая часть по абсолютному значению сколь угодно меньше левой (=1).
===========
* Легко – это когда известно, чтО именно надо доказать. Однако, пока я оформляю текст, предлагаю читателю оценить трудность задачи хотя бы в этом случае.

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 31 дек 2011, 2:21

Идея доказательства ВТФ за две операции «в лобовую»:
Поскольку числа A, B, C имеют (k+1)-окончания [т.е. их (k+1)-значные окончания являются (k+1)-значными окончаниями некоторых степеней a^{n^k}, b^{n^k}, c^{n^k}], то из равенства Ферма следует, что они имеют и (k+2)-окончания. И так до бесконечности, т.е. числа A, B, C бесконечны.

Инструмент доказательства – Теорема о E-числах [т.е. о числах с (k+1)-окончанием]:
Если в системе счисления с простым основанием n>2 число A имеет (k+1)-окончание, то оно имеет вид a^{n^k}+Dn^{k+1}*m^t, где простое m не является делителем числа A, m>n и t сколь угодно велико.

Полагаю, что я нашел фантастическое доказательство этой важной теоремы в теории чисел.

С наступающим Новым годом!

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 06 янв 2012, 0:37

Mezos, 5 января 2012

Великая теорема Ферма

В основе доказательства лежит 2-я Теорема о простых делителях степенного бинома:

Если взаимно простые числа A и B не являются n-ми степенями и AB≠0 mod n, то число R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R имеет простой делитель m=dn+1, где d≠0 mod n и простое n>2. (Эта, пока гипотетическая, Теорема будет рассмотрена позже.)

(Доказательство 1-й Теоремы о простых делителях степенного бинома:
«Если натуральные A и B взаимно простые, A+B≠n mod n, простое n>2, то каждый простой делитель m числа R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R имеет вид m=dn+1», было многократно опубликовано на форумах mathforum и dxdy.)

Идея доказательства ВТФ
В равенстве A^n+B^n=(A+B)R число R не содержит указанных простых делителей m.

Первое доказательство этого факта было представлено на mathforum’е несколько месяцев тому назад. Второе доказательство (1 стр.) будет опубликовано на форумах после публикации в одном математическом журнале.

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 07 янв 2012, 20:59

Странная победа

Итак, с помощью трех простейших формул я во второй раз доказал, что число R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R (в котором AB не кратно простому n>2, а числа A и B не являются степенями) не содержит простых делителей вида m=dn+1 (где d не кратно n). И можно было бы считать проблему ВТФ полностью решенной, если бы не одно «но»: доказательство основано на еще НЕ доказанной Теореме, хотя при всей простоте формулировки теоремы найти ее компьютерное опровержение мне пока не удалось. Так, если хоть одно из чисел A и B не является кубом и AB не кратно 3, то число R в равенстве A^3+B^3=(A+B)R непременно содержит простой делитель 3d+1, где d не кратно 3-м, чего не может быть в равенстве Ферма.

Впрочем, не исключено, что недостающая теорема давно доказана, и тогда остается лишь подшить ее к «делу». Да вот беда: авторитетные математики живут в ином логическом пространстве, и потому получить у них консультацию на «антинаучную» тему невозможно в принципе – это труднее, чем доказать ВТФ...

Однако в любом случае я прекращаю исследование Великой теоремы, ибо иной идеи элементарного доказательства, по моему глубокому убеждению, не существует. Что ж, 2-я Теорема о простых делителях степенного бинома тоже интересная штука...

Итак, сегодняшние итоги.

Доказано:

1) Если A и B взаимно простые и AB не делится на простое n>2, то каждый простой делитель m (кроме, может быть, единственного n) числа R в любом равенстве A^n+B^n=(A+B)R имеет вид m=dn^k+1, где k>0.

2) Если A и B являются n-ми степенями, то в любом равенстве k>1.

3) В равенстве же Ферма A и B не являются n-ми степенями, тем не менее k>1.

Осталось доказать, что если A и B не являются n-ми степенями, то всегда k=1.

Исследование открыто для всех.

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 13 янв 2012, 15:57

Простейшее доказательство Великой теоремы Ферма

Памяти мамы

Идея полного доказательства ВТФ

Число T в равенстве (C-B)^n+(C-A)^n=[(C-B)+(C-A)]T ДЕЛИТСЯ и НЕ ДЕЛИТСЯ на делитель r числа C [=cr], не являющийся делителем числа A+B.

Простейшее (и совсем не интересное) школьное обоснование этого факта (фактически без вычислений!) будет представлено на матфорумах после публикации. (Тот, кто в теме, легко найдет обоснование самостоятельно.)

Итак, до последней встречи.

13 января 2012. Мезос

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 22 янв 2012, 2:55

2-я теорема о делителях степенного бинома.

1-я (доказанная) теорема гласит:
В равенстве A^n+B^n=(A+B)R, где простое n>2 и натуральные A и B взаимнопростые,
каждый простой делитель m (за исключением n) числа R имеет вид m=dn+1.

Также доказано (теорема 1а), что если основания A и B являются n-ми степенями, то
каждый простой делитель m (за исключением n) числа R имеет вид m=dn^2+1.

2-я (возможно, не доказанная) теорема гласит:
если основания A и B не являются n-ми степенями, то
число R содержит простой делитель m вида m=dn+1, где d не делится на n.

Для существования элементарного полустраничного доказательства ВТФ не хватает только 2-й теоремы (возможно, доказанной).

Проблема поставлена. Кто ее решит?

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 25 янв 2012, 1:05

Простейшее доказательство Великой теоремы Ферма

Памяти мамы

К завершению исследования.

Сегодня, 24 января 2012 г., были стыкованы две части элементарного доказательства ВТФ. (Все элементы доказательства были многократно опубликованы на матфорумах.)

Доказательство состоит из двух частей.

1. Лемма: в базовом случае в равенстве Ферма C^n=A^n+B^n [=(A+B)R=C'^n*R'^n=
=(C'R')^n] каждый простой делитель m (за исключением n) числа R' имеет вид m=dn^2+1. Следовательно, двузначное окончание числа R' равно 01 и c^n≡c (mod n^2), где c – последняя цифра значащей части числа C. А из этого следует, что

2. Предпоследние цифры в числах 1^n, 2^n,... (n-1)^n равны 0 и, следовательно, двузначное окончание числа S=1^n+2^n +...+(n-1)^n равно сумме арифметической прогрессии S'=1+2+...+(n-1), т.е числу d0, где цифра d не равна нулю, что противоречит непосредственному вычислению окончания числа S (оно равно 00, что видно из группировки слагаемых в сумме S в пары: S=[1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n]+...).

Виктор Сорокин
(Мезос, Франция)

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 18 фев 2012, 22:21

Великая Теорема Ферма

Памяти мамы

Суть представленного доказательства ВТФ:

Из равенства Ферма для числа, не кратного n, – например, для A – следуют n-1 равенств A^n≡A mod n^2, сумма которых в системе счисления с простым основанием n>2 противоречива по предпоследним цифрам.

* * *

Описание известных свойств равенства Ферма в базовом случае

Допустим, что в системе счисления с простым основанием n>2 (или в базе n)
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B )P], B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q], C^n=A^n+B^n [=(A+B )R], C^n+B^n=(C+B )T, где, как известно [см. также Приложение: L.1-L.10],
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители в парах чисел (A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr;
1c°) если A / B / C не делится на n, то C-B=a^n / C-A=b^n / A+B=c^n [см. L.6];
1d°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые.
1e°) если A / B / C / C+B не делится на n, то P≡ / Q≡ / R≡ / T≡1 mod n^2 [см. L.7 и 3] и
A^{n-1}≡ / B^{n-1}≡ / C^{n-1}≡ 1 mod n^2;
1f°) числа A / B / C не являются n-ми степенями (иначе это будет другая задача).
Откуда для числа, не кратного n, – например, для A – следует равенство
1g°) A^n≡A mod n^2 [см. L.8].

Доказательство ВТФ

Умножим равенство 1° последовательно на числа 1^{nn}, 2^{nn}, … (n-1)^{nn}
с получением n-1 эквивалентных равенств Ферма (с сохранением свойств 1e°), при этом последние цифры a' в числе A (и в числе A^n) составят полное множество всех цифр от 1 до n-1[см. L.1]. Соответственно мы получаем n-1 эквивалентных равенств 1g°.

Поскольку двузначное окончание степени однозначным образом определяется лишь последней цифрой основания [см. L.2], то и двузначное окончание правой части каждого равенства 1g° также определяется лишь последней цифрой a' числа A.

Но, просуммировав почленно n-1 новых равенств 1g°, мы получаем противоречие:
двузначное окончание левой части, или суммы степеней 1^n+2^n+…+(n-1)^n, равно 00 (что видно из группировки слагаемых в сумме в пары: [1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n]+...), а двузначное окончание правой части, или двух суммы арифметической прогрессии 1+2+… +(n-1), равно d0, где цифра d=(n-1)/2.

Таким образом, Великая теорема Ферма полностью доказана.

* * *

ПРИЛОЖЕНИЕ. Леммы (с их доказательствами).

N.B.! Все числа во всех текстах (и в леммах, и в доказательстве ВТФ) записаны в системе счисления с простым основанием n>2 и натуральные числа A, B, C (с последними цифрами a', b', c' и с предпоследними цифрами a'', b'', c'', где a'≠0) являются взаимно простыми.

L.1. В таблице умножения a'g (g=1, 2, … n-1) последние цифры не повторяются.
Допустим обратное: и a'g, и a'd оканчиваются на цифру e. Но тогда число a'g-a'd=a'(g-d), где и 0<a'<n, и 0<g-d<n, делится на простое n, что невозможно (0<|g-d|<n).

L.2. Цифра a'' не участвует в формировании 2-значного окончания числа A^n.
Действительно, представив число A в виде A=Dn+a', мы находим: A^n=(Dn+a')^n=En^2+a'^n, что свидетельствует об истинности утверждения.

L.3. Если в числе A цифра a'=1, то A^n≡01 (mod n^2).
Представив число A в виде A=Dn+1, мы находим: A^n=(Dn+1)^n=Fn^2+1.

L.4. Если число A+B кратно n, то число R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R делится на n и не делится на n^2.
После группировки членов многочлена R (известного вида) в пары слагаемых, равноотстоящих от его концов, мы получаем сумму (n-1)/2 пар и еще одного элемента:

R=[A^{n-1}+B^{n-1}]-AB[A^{n-3}+B^{n-3}]+…-±A^{(n-3)/2}*B^{(n-3)/2}*[A^2+B^2] ±A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}.

Затем сумму квадратов внутри каждых квадратных скобок дополняем (и тут же компенсируем противоположным числом) до квадрата разности [если число (n-1)/2 четно] или суммы [если число (n-1)/2 нечетно] степеней. После перегруппировки членов мы получаем (n-1)/2 пар слагаемых, кратных (A+B)^2, и еще (n-1)/2 равных между собой компенсирующих чисел A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} (или -A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}) , что вместе с одиноким членом A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} дает нам сумму nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} [если число (n-1)/2 четно] (или -nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} [если число (n-1)/2 нечетно]). В итоге сомножитель R представим в виде:

R=D(A+B)^2+nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} либо R=D(A+B)^2-nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} –
в зависимости от четности числа (n-1)/2.

И мы видим, что если A+B делится на n, то число R не делится на n^2.

L.5. Число A^n оканчивается на цифру a' (одна из форм малой теоремы Ферма).

* * *

В равенстве Ферма A^n+B^n=C^n, или
2°) (C-B )P+(C-A)Q=(A+B )R…

L.6. …те из чисел P, Q, R, C-B, C-A, A+B, которые не кратны n, есть n-е степени: P=p^n, Q=q^n, R=r^n, C-B=a^n, C-A=b^n, A+B=c^n.
Из представления, например, числа R (не кратного n) в виде R=D(A+B )^2±n(AB)^{(n-1)/2} [в равенстве A^n+B^n=(A+B )R [см. L.4], в конце] видно, что числа A+B и R являются взаимно простыми. Таким образом, каждое простое основание числа A^n+B^n [равного C^n] входит либо в A+B, либо в R, причем в степени kn (где k>0).

L.7. ...каждое основание p, q, r (для P, Q, R из 1°, являющихся степенями) оканчивается на цифру 1.
Действительно, пусть AB(A+B) не кратно n. Тогда равенство A^n+B^n=(A+B )X по последним цифрам a', b', x' имеет вид: a'+b'≡(a'+b')x' (mod n), откуда (a'+b')(x'-1)≡0 (mod n) и, следовательно, x'=1. Но если степени p^n, q^n, r^n оканчиваются на цифру 1, то и их основания – p, q, r – оканчиваются на цифру 1 (в противном случае они оканчиваются на другую цифру). Но если основания p, q, r оканчиваются на 1, то их степени p^n, q^n, r^n оканчиваются на 01 [см. L.3].

L.8. Из равенства 2° следует равенство
3°) (C-B )+(C-A)≡(A+B ) mod n^2, поскольку, если P, Q, R не кратны n, то их двузначное окончание равно 1, а если – например, P – делится на n, то множитель при нем, т.е. C-B, делится на n^2. Из 3° следует и равенство
4°) A≡C-B mod n^2.
А учитывая, что A^n=C^n-B^n=C-B mod n^2 [см. L.7], мы имеем окончательно:
5°) A^n≡A mod n^2.

L.9. Если P / Q / R кратно n, то первый сомножитель – C-B / C-A / A+B – делится на n^2.
Действительно, если, например, число B кратно n, то даже в наихудшем случае – n=3 –число B^n делится на n^3, где из трех сомножителей n один и только один принадлежит числу P [в равенстве B^n=C^n-A^n=(C-A)P] [см. L.4]. А остальные (как минимум два) сомножители n входят в состав числа C-A.

L.10. Свойства L.4 и L.6-8 сохраняются при умножении равенства 1° на g^{nn} (0>g>n).
Действительно, после почленного умножения, например, равенства A^n+B^n=(A+B)R (1°) на g^{nn} мы имеем: (Ag^n)^n+(Bg^n)^n=(Ag^n+Bg^n)(Rg^{n(n-1)}),
где R≡1 mod n^2 и g^{n(n-1)}≡1 mod n^2, и, следовательно, Rg^{n(n-1)}≡1 mod n^2.

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 02 мар 2012, 23:25

В Фонд Болотных митингов

Простейшее доказательство Великой теоремы Ферма

Памяти мамы

Элементарное доказательство основано на простой Лемме:
В системе счисления по основанию Q=q^n, где отличное от n простое q>2, последние цифры во всех степенях 1^n, 2^n,… (Q-1)^n РАЗЛИЧНЫ, т.е. составляют полный комплект цифр.

Доказательство Леммы
Допустим обратное: степени D^n и E^n, или, после отбрасывания в них наибольшего общего делителя F оснований D и E, числа d^n и e^n (где 0<e<d<Q) оканчиваются на равные цифры. Тогда число d^n-e^n=(d-e)R делится на Q.
Однако число d-e на Q не делится, поскольку d-e<Q, а число d-e не может делиться даже на q, поскольку в этом случае число R (которое, как известно, является взаимно простым с числом d-e) также делится на q.
Из этого следует, что все делители q принадлежат числу R. Но в этом случае целочисленное равенство d^n-e^n=(d-e)R невозможно, ибо d^n-e^n<d^n<Q<(d-e)R.

Доказательство ВТФ (методом от противного).

Допустим, что в системе счисления с простым основанием n>2 (или в базе n)
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], где (очевидно, составное) число A, не кратное n
[в противном случае вместо A возьмем число B], имеет простой делитель q>2 (отличный от n). [Cм. также Приложение: L.1-L.10.]

Запишем числа C и B в базе Q: C=tQ+c и B=sQ+b, где Q=q^n, 0<c<Q, 0<b<Q.

Затем перепишем равенство 1° в виде:
2°) UQ=(TQ+c^n)-(SQ+b^n), где, согласно Лемме, в базе Q числа c^n и b^n оканчиваются на РАЗНЫЕ цифры, и, следовательно, равенство 2°, тождественное равенству 1°, ПРОТИВОРЕЧИВО.

Таким образом, Великая теорема полностью доказана.

(Мезос, 1 марта 2012)

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 04 мар 2012, 0:25

Уточнение

В доказательстве ВТФ (с минимальным значением числа C) в роли рабочего числа берем число A или B, в котором сомножитель C-B или C-A содержит делитель q, отличный от чисел 2, n, dn+1. (Напомню: все простые делители больших сомножителей X, Y, Z в числах A^n+B^n=(A+B)X, C^n-B^n=(C-B)Y, C^n-A^n=(C-A)Z имеют вид dn+1.)
Лемма доказывается с этим значением числа q.

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 04 мар 2012, 13:26

Это просто фантастика!

Простейшее доказательство Великой теоремы Ферма

Памяти мамы

Элементарное доказательство основано на Лемме:
В системе счисления по основанию Q=2^n, где простое n >2, все последние цифры в степенях 1^n, 3^n, 5^n… (Q-2)^n РАЗЛИЧНЫ.

Доказательство Леммы
Допустим, что разные степени D^n и E^n, или, после отбрасывания в них наибольшего общего делителя F^n, числа D'^n [=pQ+d] и E'^n [=rQ+e, где d и e – цифры в базе Q] оканчиваются на равные нечетные [и меньшие Q] цифры: d=e. Тогда число
d^n-e^n=(d-e)R, где R нечетно [поскольку R есть сумма нечетного числа нечетных чисел] делится на Q. Однако это невозможно, поскольку 0<│d-e│<Q.

Доказательство ВТФ (методом от противного).

Случай 1: число A [или B] четное, а два других нечетные.
Тогда, согласно Лемме, в системе счисления с основанием 2^n числа C^n и B^n оканчиваются на разные цифры и равенство
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P] невозможно.

Случай 2. Число C делится на 4 (а числа A и B нечетные).
Тогда вторые (предпоследние) цифры в числах A^n, B^n, C^n четные и, следовательно, равенство
2°) C^n=A^n+B^n по предпоследним цифрам противоречиво:
у числа C^n предпоследняя цифра четна, а у числа A^n+B^n нечетна (поскольку сумма последних цифр производит цифру 1 во втором разряде).

Случай 3. Число C делится на 2 и не делится на 4.

Этот случай был доказан ранее и будет представлен позже.

(Мезос, 4 марта 2012)

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 08 мар 2012, 19:17

Информация

1. Все предыдущие мои доказательства ВТФ, по-видимому, являются ошибочными.
2. Ошибки полезны тем, что они показывают правильную дорогу к решению.

3. Несколько лет тому назад я доказал (и опубликовал на матфорумах) две теоремы:

Теорема о простых делителях степенного бинома:
Если числа A и B взаимно простые и AB≠0 mod n, то каждый простой делитель m≠n числа R в равенстве A^n+B^n=(A+B )R, где простое n>2, имеет вид m=dn+1.

Лемма об m-делителях
Если AB≠0 mod n, то в равенстве A^n+B^n=(A+B )R число R не содержит простых делителей m=dn^t +1, где d≠0 mod n и t=0 или 1.

Сегодня я нашел доказательство этой леммы для t>1, основанное на теореме:

В системе счисления по основанию p=2^{n^k} (n – простое) все последние цифры в числах 1^n, 2^n,… (p-1)^n различны.

Таким образом, число R не содержит простых делителей m=dn^t+1, что противоречит Теореме об m-делителях.

Продолжение следует.

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 08 мар 2012, 23:00

Доказательство Великой теоремы Ферма с помощью простых делителей m=dn+1

Доказательство основано на Теореме о простых делителях степенного бинома:
Если числа A и B взаимно простые и AB≠0 mod n, то число R в равенстве A^n+B^n=(A+B )R, где простое n>2, каждый простой делитель m≠n имеет вид m=dn+1.
(В равенстве Ферма таких делителей нет!)

Описание известных свойств равенства Ферма в базовом случае
Допустим, что в системе счисления с простым основанием n>2 (или в базе n)
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B )P], B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q], C^n=A^n+B^n [=(A+B )R],
где, как известно [см. также Приложение: L.1-L.6],
1a°) натуральные числа A, B, C взаимно простые;
1b°) a, b, c – наибольшие общие делители в парах чисел (A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1c°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr;
1d°) если A / B / C не делится на n, то C-B=a^n / C-A=b^n / A+B=c^n [см. L.3];
1e°) m – простой делитель вида m=dn+1 (d≠0 mod n) и, допустим, AB≠0 mod n.

Ниже я демонстрирую сам механизм доказательства в самом простом случае.

Покажем, что число R не содержит делителей m вида m=dn+1, где d≠0 mod n.

Допустим обратное. Тогда, с одной стороны (см. 1d°),

2°) (C-B)^n+(C-A)^n=0 mod m, т.к. (C-B)^n+(C-A)^n=CX-(A^n+B^n)=CY=mZ, где X, Y, Z – некоторые многочлены.

С другой стороны, согласно малой теореме Ферма для простого m=dn+1 (d≠n mod n),

3°) a^{dn}-b^{dn}=0 mod m, или (C-B)^d-(C-A)^d=0 mod m (где d четно).

Но, согласно Теореме о НОД [см. L.4], из 2°-3° следует, что их НОД

4°) (C-B)+(C-A)=0 mod m, или 2C-(A+B)=0 mod m, что невозможно, ибо 2C на m делится, а A+B не делится. И мы имеем противоречие с допущением.

* * *

Случай, когда m=dn^t+1 (d≠n mod n и t>1), доказывается АНАЛОГИЧНО, но с помощью одной простенькой теоремы, доказательство которой я нашел лишь сегодня.

Продолжение следует.

Более читабельный текст см. здесь: http://mathematics.forum24.ru/?0-3-0

Виктор Сорокин
Сообщения: 502
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 12 мар 2012, 23:34

Когда-то я доказал, что в тождестве A^n+B^n=(A+B)R (A и B взаимно простые, простое n>2) число R содержит простой делитель m вида m=dn+1.
Однако в равенстве Ферма такого делителя нет.
Очень простое доказательство этого факта основано на Лемме:
В системе счисления по основанию M=m^n все числа 1^M, 2^M,… (M-1)^M имеют разные последние цифры.

Однако уже в самом начале доказательства Леммы появилась новая и очень простая идея доказательства ВТФ. Вот его суть.

При ABC не кратном n в равенствах
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B )P], B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q], C^n=A^n+B^n [=(A+B )R]
числа P, Q, R, а тем более числа p, q, r (в P=p^n, Q=q^n, R=r^n) почти РАВНЫ
(вернее: P, Q, R различаются не более чем в 2n раз, а
2°) p, q, r различаются не более чем в (2n)^{1/n} раз). При этом и p>r, и q>r.

Легко подсчитать, что A+B, или ap+bq, приблизительно вдвое больше числа r:
3°) ap+bq=2r [точно: A^{n-1}<r^n<nA^{n-1}]

Но, учитывая 2°, из 3° приблизительно следует:

4°) a+b=2, откуда a=b=1, и невозможность равенства Ферма очевидна (a>1, b>1).

Если R делится на n, то этот факт не оказывает заметного влияния на вывод.

Полагаю, что данное доказательство ВТФ несравненно проще всех предыдущих, а главное: вполне доступно людям, хорошо владеющим школьной математикой.


Вернуться в «Доска математических объявлений»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостя