Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Здесь вы можете сформулировать математическую задачу, с которой вам не справиться, или, наоборот, поделиться своим маленьким открытием.
Возможно, другие пользователи помогут вам или порадуются вместе с вами...

Модератор: модераторы

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 11 сен 2011, 22:55

Мой земляк Пьер Ферма и его Великая теорема

Пьер Ферма сделал мне поистине сказочный подарок: он поленился записать доказательство своей Великой, или Последней, теоремы. На протяжении 23-х лет время от времени я имел возможность поломать голову и получать ни с чем не сравнимую радость от найденных (разумеется, ошибочных) идей ее доказательства. И вот 8 сентября сего года лафа кончилась – необычайно простое, но в то же время и необычайно красивое доказательство было найдено. Вот его суть:

Если равенство Ферма существует, то по простому основанию счисления n>2 предпоследние цифры в числах 1^n, 2^n,... (n-1)^n равны 0 и, следовательно, двузначное окончание числа S=1^n+2^n+…+(n-1)^n равно d0, где цифра d не равна нулю, что противоречит непосредственному вычислению окончания числа S (оно равно 00, что видно из иной группировки слагаемых: S=[1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n] +...).

Великая Теорема Ферма

Суть представленного доказательства ВТФ:

Если равенство Ферма существует, то по простому основанию счисления n>2 предпоследние цифры в числах 1^n, 2^n,... (n-1)^n равны 0 и, следовательно, двузначное окончание числа S=1^n+2^n+…+(n-1)^n равно d0, где цифра d не равна нулю, что противоречит непосредственному вычислению окончания числа S (оно равно 00, что видно из иной группировки слагаемых: S=[1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n] +...).

Простые леммы из теории счисления с простым основанием:

N.B.! Все числа во всех текстах (и в леммах, и в доказательстве ВТФ) записаны в системе счисления с простым основанием n>2 и
натуральные числа A, B, C (с последними цифрами a, b, c) являются взаимно простыми и число A не кратно n.

L.1. Для любой положительной цифры d и любой заданной положительной цифры e существует такая цифра g, что число dg оканчивается на цифру e.

L.2. В таблице умножения ag (g=1, 2, … n-1) последние цифры не повторяются.

L.3. Вторая цифра (от конца) числа A не участвует в формировании 2-значного окончания числа A^n (следствие из бинома Ньютона для простой степени n).

L.4. Если число A+B кратно n, то число R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R делится на n и не делится на n^2.

Известно (с 17 в.), что в равенстве Ферма

1°) A^n+B^n=C^n, или (C-B)P+(C-A)Q=(A+B)R

L.5. те из чисел C-B, C-A, A+B, P, Q, R, которые не кратны n, есть n-е степени, а

L.6. их 2-значные окончания являются 2-значными окончаниями чисел a^n, b^n, c^n, p^n, q^n, r^n.

L.7. 2-значные окончания чисел P, Q, R, не кратных n, равны 01, а числа, кратного n, равно 10.

L.8. Свойства L.5, L.6, L.7 не меняются при умножении равенства 1° на g^{n^3} (0>g>n).

L.9. Если в числе A цифра a=1, то 2-значное окончание числа A^n равно 01.

L.10. Число a^n оканчивается на цифру a (одна из форм малой теоремы Ферма).

=================

Доказательство ВТФ

Лемма. Вторые (от конца) цифры в числах A^n, B^n, C^n есть нули.

Действительно, поскольку в формировании 2-значных окончаний чисел A^n, B^n, C^n участвуют лишь последние цифры a, b, c чисел A, B, C, то равенство C^n-B^n=(C-B)P по 2-значным окончаниям имеет вид:

2°) c^n-b^n=(c-b)P (mod n^2), где P, согласно L.7, оканчивается на 01, и, следовательно, по 2-значным окончаниям равенство 2° имеет вид:

3°) c^n-b^n=c-b (mod n^2).

Если оба числа c-a и a+b не кратны n, то существует также равенства

3a°) c^n-a^n=c-a и a^n+b^n=a+b, которые вместе с равенством 3° образуют систему линейных уравнений с условными неизвестными a, b, c, с параметрами a^n, b^n, c^n и с простым решением:

4°) a=a^n, b=b^n, c=с^n (mod n^2), или a^n=a, b^n=b, с^n=c (mod n^2).

5°) Но вторые цифры в однозначных числах a, b, c есть нули. Следовательно, и вторые цифры в числах a^n, b^n, с^n также есть нули.

Если же, например, число B кратно n, то для него равенство 2° имеет вид:

2a°) c^n-a^n=(c-a)Q,

где число (c-a)Q является 2-значным окончанием числа (C-A)Q, которое даже в самом плохом случае – при n=3 – делится на n^3, а число C-A делится на n^2. И по 2-значным окончаниям мы опять-таки имеем равенство:

3b°) c^n-a^n=c-a, и решение 4° системы уравнений 3°-3a° остается тем же самым,
что свидетельствует об истинности Леммы.

Следствие из Леммы

Поскольку от умножения равенства 1° на числа g^{n^3}, где g=1, 2, … n-1 (с получением n-1 эквивалентных равенств Ферма, в которых последние цифры в каждой новой степени A^n составляют полный набор всех цифр в простой базе n – см. L.2), степенные свойства не меняются, то, согласно Лемме, в каждой степени 1^n, 2^n, … (n-1)^n вторая цифра есть ноль и, следовательно, сумма S=1^n+2^n+...+(n-1)^n оканчивается на d0, где цифра d=(n-1)/2. Однако непосредственное вычисление дает двузначное окончание 00 (что видно из суммы S=[1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n] +...).

Полученное противоречие говорит об истинности Великой теоремы Ферма.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 21 сен 2011, 20:39

Великая Теорема Ферма

Суть представленного доказательства ВТФ:

Если равенство Ферма существует, то в счислении с простым основанием n>2 предпоследние цифры в числах 1^n, 2^n,... (n-1) ^n равны 0 и, следовательно, двузначное окончание числа S=1^n +2^n +…+(n-1) ^n равно сумме арифметической прогрессии S'=1+2+…+(n-1), т.е числу d0, где цифра d не равна нулю, что противоречит непосредственному вычислению окончания числа S (оно равно 00, что видно из группировки слагаемых в сумме S в пары: S=[1^n +(n-1) ^n]+[2^n+(n-2) ^n] +...).

Простые леммы из теории счисления с простым основанием:

N.B.! Все числа во всех текстах (и в леммах, и в доказательстве ВТФ) записаны в системе счисления с простым основанием n>2 и натуральные числа A, B, C (с последними цифрами a, b, c, где a не равно нулю) являются взаимно простыми.

L.1. Для любой положительной цифры d и любой заданной положительной цифры e существует такая цифра g, что число dg оканчивается на цифру e.

L.2. В таблице умножения ag (g=1, 2, … n-1) последние цифры не повторяются.

L.3. Вторая (от конца) цифра числа A не участвует в формировании 2-значного окончания числа A^n (что видно из бинома Ньютона A=(Dn+a)^n =En^2+a^n).

L.4. Если в числе A цифра a=1, то 2-значное окончание числа A^{kn}, где k>0, равно 01.

L.5. Если число A+B кратно n, то число R в равенстве A^n +B^n =(A+B)R делится на n и не делится на n^2.

L.6. Число a^n оканчивается на цифру a (одна из форм малой теоремы Ферма).

Известно (с 17 в.), что в равенстве Ферма

1°) A^n +B^n =C^n, или (C-B )P+(C-A)Q=(A+B )R

L.7. те из чисел P, Q, R, которые не кратны n, есть n-е степени: P=p^n, Q=q^n, R=r^n, где

L.8. каждый простой сомножитель (за исключением, может быть, единственного n) чисел p, q, r оканчивается на цифру 1.

L.9. Если P, Q или R кратно n, то первый сомножитель C-B, C-A или A+B делится на n^2.

L.10. Свойства L.7, L.8, L.9 не меняются при умножении равенства 1° на g^{n^3} (0>g>n).

Доказательства всех выше перечисленных известных лемм будут представлены позже.

=================

Доказательство ВТФ

Из равенства A^n+B^n =C^n (1°) следует и равенство по двузначным окончаниям

2°) a^n +b^n =b^n (mod n^2), где предпоследние цифры чисел A, B, C НЕ фигурируют (см. L.3) и, следовательно, могут быть приравнены нулю.

При этом двузначные окончания чисел P', Q', R', не кратных n, в равенствах,
3°) c^n-b^n =(c-b)P', C^n-A^n=(c-a)Q', A^n+B^n=(a+b)R' (mod n2) ОСТАЮТСЯ равными 01, поскольку (см. L.4) каждое их простое основание оканчивается на цифру 1 и каждое простое основание входит в числа P, Q, R в степени kn.

Поэтому равенства 3°, в которых P', Q', R' не кратны n, могут быть записаны в виде:

4°) C^n-B^n=c-b, C^n-A^n=c-a, A^n+B^n=a+b, (mod n^2).

Если же какое-либо из чисел P, Q, R оканчивается на 0, то первый сомножитель (выражение в скобках) делится на n^2 даже при n=3 (см. L.5) и соответствующее ему равенство в 4° остается верным и в этом случае.

Но из системы равенств 4° мы легко находим:

5°) A^n=a, B^n=b, C^n=c (mod n^2), т.е. предпоследние цифры в степенях A^n, B^n, C^n равны нулю, которые не меняются и после почленного умножения равенства 1° на любое однозначное число g в степени n^3 (см. L.10). Это означет, что у каждой степени 1^n, 2^n, … (n-1)^n предпоследние цифры равны нулю.

И теперь, вычисляя двузначное окончание числа S=1^n+2^n+…+(n-1)^n двумя способами – а) по формуле арифметической прогрессии, суммируя лишь последние цифры (ибо предпоследние равны нулю), и б) с помощью бинома Ньютона, группируя слагаемые в пары [1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n] +..., мы получаем РАЗНЫЕ вторые цифры в числе S: в первом случае – (n-1)/2, во втором – ноль. И мы пришли к противоречию.

Таким образом, ВТФ доказана.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 24 сен 2011, 0:12

Простые леммы из теории счисления с простым основанием:

N.B.! Все числа во всех текстах (и в леммах, и в доказательстве ВТФ) записаны в системе счисления с простым основанием n>2 и натуральные числа A, B, C (с последними цифрами a, b, c, где a не равна нулю) являются взаимно простыми.

L.1. В таблице умножения ag (g=1, 2, … n-1) последние цифры не повторяются.
Допустим обратное: и ag, и ad оканчиваются на цифру e. Но тогда число ag-ad=a(g-d), где и 0<a<n, и 0<g-d<n, делится на простое n, что, очевидно, невозможно.

L.2. Для любой положительной цифры d и любой заданной положительной цифры e существует такая цифра g, что число dg оканчивается на цифру e.
Прямое следствие из Леммы 1.

L.3. Вторая (от конца) цифра числа A не участвует в формировании 2-значного окончания числа A^n. Действительно, представив число A в виде A=Dn+1, мы находим: A^n=(Dn+a)^n=En^2+a^n. И мы видим, что вторая цифра в числе A, равная последним цифрам d и e чисел D и E, в числе A^n участвует в формировании лишь третьей (от конца) цифры.

L.4. Если в числе A цифра a=1, то 2-значное окончание числа A^{kn}, где k>0, равно 01.
Действительно, представив число A в виде A=Dn+1, мы находим: A^{kn}=[(Dn+1)^n]^k=(En^2+1)^k=Fn^2+1.

L.5. Если число A+B кратно n, то число R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R делится на n и не делится на n^2.
После группировки членов многочлена R (известного вида) в пары слагаемых, равноотстоящих от его концов, мы получаем сумму (n-1)/2 пар и еще одного элемента:

R=[A^{n-1}+B^{n-1}]+AB[A^{n-3}+B^{n-3}]+…+A^{(n-2)/2}*B^{(n-2)/2}*[A^{n-3}+B^{n-3}]+A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}.

Затем сумму квадратов внутри каждой квадартной скобки дополняем (и тут же компенсируем противоположным числом) до квадрата разности степеней. После перегруппировки членов мы получаем (n-1)/2 пар слагаемых, кратных (A-B)^2, и еще (n-1)/2 равных равных между собой компенсирующих чисел A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}, что вместе с единственным членом A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} дает нам сумму nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}. В итоге сомножитель R представим в виде:

R=D(A-B)^2+nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}.

И мы видим, что если A-B делится на n, то число R не делится на n^2.

L.6. Число a^n оканчивается на цифру a (одна из форм малой теоремы Ферма).
Поскольку число a^{n-1} оканчивается на цифру 1, то число aa^{n-1} оканчивается на цифру a.

Известно (с 17 в.), что в равенстве Ферма

1°) A^n+B^n=C^n, или (C-B)P+(C-A)Q=(A+B)R

L.7. те из чисел P, Q, R, которые не кратны n, есть n-е степени: P=p^n, Q=q^n, R=r^n.
Из представления числа R=D(A-B)^2+nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}, не кратного n, в равенстве A^n-B^n=(A-B)R (см. L.5, в конце) видно, что числа A-B и R являются взаимно простыми. Таким образом, каждое простое основание числа A^n-B^n (равного C^n) входит либо в A-B, либо в R, причем в степени, кратной n.

L.8. Каждый простой сомножитель (за исключением, может быть, единственного n) чисел P, Q, R оканчивается на цифру 1, т.е. имеет вид m=dn+1.
Допустим, что R в равенстве A^n-B^n=(A-B)R содержит сомножитель m=d+1, где d не делится на n. Число (A^{nx}-B^{nx}), где nx=dy+1 и (x,y) есть решение диофантова уравнения nx-dy=1, делится на m. И тогда в системе счисления по основанию m числа A^{nx-1} и B^{nx-1} оканчиваются на цифру 1. И, следовательно, число A-B делится на m, а число R не делится.

L.9. Если P, Q или R кратно n, то первый сомножитель C-B, C-A или A+B делится на n^2.
Действительно, если, например, число B кратно n, то даже в наихудшем случае – n=3 –число Bn делится на n^3 и из трех сомножителей n один и только один принадлежит числу P в равенстве B^n=C^n-A^n=(C-A)P. А остальные как минимум два сомножителя n входят в состав числа C-A.

L.10. Свойства L.7 и L.9 не меняются при умножении равенства 1° на g^{n^3} (0>g>n).
Действительно, после почленного умножения равенства 1° на g^{n^3} мы имеем:
(Ag^{n^2})^n+(Bg^{n^2})^n=(Cg^{n^2})^n, или
(Cg^{n^2}-Bg^{n^2})Pg^{nn(n-1)}+(Cg^{n^2}-Ag^{n^2})Qg^{nn(n-1)}=
=(Ag^{n^2}+Bg^{n^2})Rg^{nn(n-1)} и [(C-B)g^{n^2}][(pg^{n(n-1)}]^n+
+[(C-A)g^{n^2}][(qg)^{nn(n-1)}]^n=[(A+B)g^{n^2}][(rg)^{n-1}]^n, или A'^n+B'^n=C'^n, или (C'-B')P'+(C'-A')Q'=(A'+B')R', где двузначные окончания чисел A', B', C' являются двузначными окончаниями степеней a'^n, b'^n, c'^n, а числа p', q', r' равны числам p, q, r, умноженным на число g^{(n-1)n} с двузначным окончанием 01.
Следовательно, двузначные окончания чисел P', Q', R', не кратных n, в равенствах
c^n-b^n=(c-b)P', c^n-a^n=(c-a)Q', a^n+b^n=(a+b)R' (mod n^2) равны 01.

=====================

На этом публикация доказательства ВТФ завершена. Выражаю свою благодарность Администрации сайта.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 25 сен 2011, 1:22

Для легкого чтения

Блок-схема доказательства ВТФ.

Поскольку в системе счисления с простым основанием n>2 двузначное окончание степени есть однозначная функция лишь последней цифры, то по двузначным окончаниям равенство A^n+B^n=C^n (1°) имеет вид

2°) c^n-b^n=(c-b)P', c^n-a^n=(c-a)Q', a^n+b^n=(a+b)R' (mod n2) где a, b, c последние цифры чисел A, B, C и двузначные окончания чисел P', Q', R', не кратных n, равными 01 (это возможно ТОЛЬКО в равенстве Ферма); а если P', Q' или R' кратно n, то первый сомножитель (выражение в скобках) делится на n^2 даже при n=3, и в любом случае из равенств

3°) c^n-b^n=(c-b), c^n-a^n=(c-a), a^n+b^n=(a+b), (mod n2) мы находим
в равенствах,

4°) a^n=a, b^n=b, c^n=c (mod n^2).

Это означает, что предпоследние цифры в степенях a^n, b^n, c^n равны нулю. Этот факт не меняется и после почленного умножения равенства 1° на любое однозначное число g в степени n^3. Таким образом, у каждой степени 1^n, 2^n, … (n-1)^n предпоследние цифры равны нулю.

И теперь, вычисляя двузначное окончание числа S=1^n+2^n+…+(n-1)^n двумя способами мы получаем РАЗНЫЕ вторые цифры в числе S.

Как видим, самое трудное в доказательстве это понять, почему у однозначного числа нет второй цифры?

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 27 сен 2011, 23:51

Доказательство в ином стиле на той же базе

Доказательство ВТФ

Возьмем предполагаемое решение (A, B, C) уравнения
1°) A^n +B^n=C^n и оставим в основаниях A, B, C только последние цифры a, b, c.

Тогда, согласно Лемме L.3, по двузначным окончаниям существует равенства

2°) a^n+b^n=b^n и c^n-b^n=(c-b)(p')^n, c^n-a^n=(c-a)(q')^n, a^n+b^n=(a+b)(r')^n (mod n^2),
где a, b, c есть однозначные числа и основания p', q', r' оканчиваются (за исключением, может быть, одного) на цифру 1, поскольку их степени оканчиваются, как известно, на цифру 1. Но если основания p', q', r' оканчиваются на 1, то их степени (p')^n, (q')^n, (r')^n оканчиваются на 01 (см. L.4) и, следовательно, могут быть удалены из формул 2°:

3°) c^n-b^n=c-b, c^n-a^n=c-a, a^n+b^n=a+b, (mod n^2).

Если же какое-либо из чисел C-B, C-A или A+B делится на n, то даже в случае n=3 оно делится и на n^2 (см. L.5) и соответствующее ему равенство в 3° остается верным и в этом случае. Но из системы равенств 3° мы легко находим:

4°) a^n=a, b^n=b, b^n=c (mod n^2), т.е. предпоследние цифры в степенях a^n, b^n, b^n равны нулю, которые, заметим, не меняются и после почленного умножения равенства 1° на любое однозначное число g в степени n^3 (см. L.10). Это означает, что у каждой степени 1^n, 2^n,... (n-1)^n предпоследние цифры равны нулю.

И теперь, вычисляя двузначное окончание числа S=1^n+2^n+…+(n-1)^n двумя способами – а) по формуле арифметической прогрессии, суммируя лишь последние цифры (ибо предпоследние равны нулю), и б) с помощью бинома Ньютона, группируя слагаемые в пары [1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n] +..., мы получаем РАЗНЫЕ вторые цифры в числе S: в первом случае – (n-1)/2, во втором – ноль. И мы пришли к противоречию.

Таким образом, ВТФ доказана.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 28 сен 2011, 22:37

Неразрешимый парадокс

Вряд ли есть математик, который полагал бы, что у однозначного числа есть и вторая значащая цифра. Но найдется ли математик, который осмелится признать это вслух? Ведь признав это, он тем самым признаёт и существование элементарного доказательства Великой теоремы Ферма, которое, как известно, не существует!

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 29 сен 2011, 21:03

По сути, последний вопрос. Кому вы больше деверяете:
- чужому дяде, уверяющему, что простого доказательства ВТФ не существует, или
- своим собственным глазам, что у однозначного числа второй значащей цифры нет?

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 08 окт 2011, 22:23

Положение дел.

За прошедший месяц на 7 нормальных математических форумах доказательство просмотрело 2.500 человек. Никто из них на ошибку не указал. И не удивительно: для опровержения моего доказательства ВТФ нужно доказать лемму: «Однозначное число имеет и вторую значащую цифру» (ну не ставить же под сомнение формулы суммы арифметической прогрессии и бинома Ньютона, а НИЧЕГО другого в моем доказательстве нет).
Гении, которые знают доказательство этой леммы, тусуются на привилегированных матфорумах МГУ и НГУ, но они стесняются привести доказательство леммы. А жаль – это доказательство было бы самым крупным научным открытием в истории!

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 11 окт 2011, 0:15

Доказательство ВТФ для n=3.
В базе n=3 2^3=22. Однако в равенстве Ферма, как следует из теории (никем еще не опровергнутой) для общего случая, 2^3=02. Теорема доказана.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 16 окт 2011, 21:43

Виктор Сорокин (Мезос, Франция)

Великая Теорема Ферма (с учетом замечаний Jacques Sauloy)

N.B.! Все числа во всех текстах (и в леммах L.1 – L.10 (см. ПРИЛОЖЕНИЕ), и в доказательстве ВТФ) записаны в системе счисления с простым основанием n>2 и целые положительные числа A, B, C (с последними цифрами a, b, c, где a≠0) являются взаимно простыми.

Доказательство ВТФ (методом от противного)

Возьмем предполагаемое решение (A, B, C) уравнения
1°) A^n+B^n=C^n, а также эквивалентных уравнений C^n-B^n=(C-B)P [=(C-B)(P')^n],
C^n-A^n=(C-A)Q [=(C-A)(Q')^n – если b≠0], A^n+B^n=(A+B)R [=(A+B)(R')^n – если c≠0] и оставим в основаниях A, B, C лишь последние цифры a, b, c. Тогда, поскольку они однозначным образом определяют двузначные окончания чисел C^n, B^n [и A^n], следовательно и чисел C^n-B^n и (C-B)P (см. L.3), равенство C^n-B^n=(C-B)(P')^n порождает на своих двузначных окончаниях левой и правой частей равенство

2°) c^n-b^n≡(c-b)(p')^n (mod n^2), где (p')^n≡01 (mod n^2) (см. L.8 ). Откуда

2a°) c^n-b^n≡c-b (mod n^2).

Аналогично: если числа c-a и a+b не кратны n, то равенства 1° порождают равенства

2b°) c^n-a^n≡c-a (mod n^2).
2c°) a^n+b^n≡a+b (mod n^2).

Если же какое-либо из чисел C-A или A+B делится на n, то даже в случае n=3 оно делится также на n^2 (см. L.5) и соответствующее ему равенство 2b° или 2c° остается верным.

Система уравнений {2a°, 2b°, 2c°} относительно «неизвестных» a^n, b^n, с^n дает решение

3°) a^n≡a, b^n≡b, b^n≡c (mod n^2).

Это означает, что предпоследние цифры в степенях a^n, b^n, b^n равны нулю, которые, заметим, не меняются и после почленного умножения равенства 1° на любое однозначное число g в степени n^2 (см. L.10, L.1, L.2). Таким образом, у каждой степени 1^n, 2^n,... (n-1)^n предпоследняя цифра равна нулю.

И теперь, вычисляя двузначное окончание числа S=1^n+2^n+…+(n-1)^n двумя способами – а) по формуле арифметической прогрессии, суммируя лишь последние цифры (ибо предпоследние равны нулю), и б) с помощью бинома Ньютона, группируя слагаемые в пары [1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n]+..., мы получаем РАЗНЫЕ вторые цифры в числе S: в первом случае – (n-1)/2, во втором – ноль. И мы пришли к противоречию.

Таким образом, ВТФ доказана.

(09.09.2011)


* * *

ПРИЛОЖЕНИЕ. Леммы (с их доказательствами).

N.B.! Все числа во всех текстах (и в леммах, и в доказательстве ВТФ) записаны в системе счисления с простым основанием n>2 и натуральные числа A, B, C (с последними цифрами a, b, c, где a не равна нулю) являются взаимно простыми.

L.1. В таблице умножения ag (g=1, 2, … n-1) последние цифры не повторяются.
Допустим обратное: и ag, и ad оканчиваются на цифру e. Но тогда число ag-ad=a(g-d), где и 0<a<n, и 0<g-d<n, делится на простое n, что, очевидно, невозможно.

L.2. Для любой положительной цифры d и любой заданной положительной цифры e существует такая цифра g, что число dg оканчивается на цифру e.
Прямое следствие из Леммы 1.

L.3. Вторая (от конца) цифра числа A не участвует в формировании 2-значного окончания числа A^n. Действительно, представив число A в виде A=Dn+a, мы находим: A^n=(Dn+a)^n=En^2+a^n. И мы видим, что вторая цифра в числе A, равная последним цифрам d и e чисел D и E, в числе An участвует в формировании лишь третьей (от конца) цифры.

L.4. Если в числе A цифра a=1, то A^{kn}≡01 (mod n^2), где k>0.
Действительно, представив число A в виде A=Dn+1, мы находим: A^{kn}=[(Dn+1)^n]^k =(En^2+1)^k=Fn^2+1.

L.5. Если число A+B кратно n, то число R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R делится на n и не делится на n^2.
После группировки членов многочлена R (известного вида) в пары слагаемых, равноотстоящих от его концов, мы получаем сумму (n-1)/2 пар и еще одного элемента:

R=[A^{n-1}+B^{n-1}]+AB[A^{n-3}+B^{n-3}]+…+A^{(n-1)/2}*B^{(n-1)/2}*[A^{n-3}+B^{n-3}]+A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}.

Затем сумму квадратов внутри каждых квадратных скобок дополняем (и тут же компенсируем противоположным числом) до квадрата разности [если число (n-1)/2 четно] или суммы [если число (n-1)/2 нечетно] степеней. После перегруппировки членов мы получаем (n-1)/2 пар слагаемых, кратных (A+B)^2, и еще (n-1)/2 равных между собой компенсирующих чисел A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} (или -A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2}) , что вместе с одиноким членом A^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} дает нам сумму nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} [если число (n-1)/2 четно] (или -nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} [если число (n-1)/2 нечетно]). В итоге сомножитель R представим в виде:

R=D(A+B)^2+nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} или R=D(A+B)^2-nA^{(n-1)/2}B^{(n-1)/2} –
в зависимости от четности числа (n-1)/2.

И мы видим, что если A+B делится на n, то число R не делится на n^2.

L.6. Число a^n оканчивается на цифру a (одна из форм малой теоремы Ферма).
Поскольку число a^{n-1} оканчивается на цифру 1, то число aa^{n-1} оканчивается на цифру a.

В равенстве Ферма A^n+B^n=C^n, или (см. 1°) (C-B )P+(C-A)Q=(A+B )R

L.7. те из чисел P, Q, R, которые не кратны n, есть n-е степени: P=(P')^n, Q=(Q')^n, R=(R')^n.
Из представления числа R=D(A+B )^2+nA^{(n-1)/2B^{(n-1)/2, не кратного n, в равенстве A^n+B^n=(A+B )R (см. L.5, в конце) видно, что числа A+B и R являются взаимно простыми. Таким образом, каждое простое основание числа A^n+B^n (равного C^n) входит либо в A+B, либо в R, причем в степени kn (где k>0).

L.8. каждое основание P', Q', R' (для P, Q, R из 1°, являющихся степенями) оканчивается на цифру 1.
Действительно, пусть AB(A+B) не кратно n. Тогда равенство A^n+B^n=(A+B )X по последним цифрам a, b, x имеет вид: a+b≡(a+b)x (mod n), откуда (a+b)(x+1)≡0 (mod n) и, следовательно, x=1. Но если степени (P')^n, (Q')^n, (R')^n оканчиваются на цифру 1, то и их основания – P', Q', R' – оканчиваются на цифру 1 (в противном случае они оканчиваются на другую цифру). Но если основания P', Q', R' оканчиваются на 1, то их степени (P')^n, (Q')^n, (R')^n оканчиваются на 01 (см. L.4).

[L.8a. Каждый простой сомножитель (за исключением, может быть, единственного n) чисел P, Q, R оканчивается на цифру 1, т.е. имеет вид m=dn+1.
Допустим, что T в равенстве A^n-B^n=(A-B)T содержит простой сомножитель m=d+1, где d и m не делятся на n. Число (A^{nx}-B^{nx}), где nx=dy+1 и (x,y) есть решение диофантова уравнения nx-dy=1, делится на m. И тогда в системе счисления с простым основанием m числа A^{nx-1} и B^{nx-1} оканчиваются на цифру 1. И, следовательно, число A-B делится на m, а число T не делится.]

L.9. Если P, Q или R кратно n, то первый сомножитель – C-B, C-A или A+B – делится на n^2.
Действительно, если, например, число B кратно n, то даже в наихудшем случае – n=3 –число B^n делится на n^3 и из трех сомножителей n один и только один принадлежит числу P в равенстве B^n=C^n-A^n=(C-A)P. А остальные как минимум два сомножителя n входят в состав числа C-A.

L.10. Свойства L.7 и L.9 не меняются при умножении равенства 1° на g^{nn} (0>g>n).
Действительно, после почленного умножения, например, равенства A^n+B^n=(A+B)R (1°) на g^{nn} мы имеем:
(Ag^n)^n+(Bg^n)^n=(Ag^n+Bg^n)(Rg^{n(n-1)}). И если R=R'^n, то Rg^{n(n-1)}=(R'^n)(g^{n(n-1)})=(R'g^{n-1})^n, где последние цифры чисел R' и g^{n-1} равны 1. Следовательно, двузначное окончание числа Rg^{n(n-1)} [как и чисел Pg^{n(n-1)} и Qg^{n(n-1)} – если P и Q не кратны n] равно 01.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 01 ноя 2011, 0:35

Не считая простейших лемм и выкладок на уровне 5-8 класса, доказательство ВТФ сводится (в новой редакции), по существу, к ключевому выводу 2°. Согласится ли с ним мировое математическое сообщество? А что скажет читатель?

Великая Теорема Ферма

Обозначения:
a, b, c, a', b', c', p', q', r', x – последние цифры чисел A, B, C, A', B', C', P', Q', R', X.
a'', b'', c'' – вторые или предпоследние цифры в числах A, B, C.
Смысл обозначений A', B', C', P', Q', R' виден из последующих формул.

N.B.! Все числа во всех текстах [и в леммах L.1 – L.10 (см. ПРИЛОЖЕНИЕ), и в доказательстве ВТФ] записаны в системе счисления с простым основанием n>2 и целые положительные числа A, B, C (с последними цифрами a, b, c и с предпоследними цифрами a'', b'', c'', где a≠0) являются взаимно простыми.

Доказательство ВТФ (методом от противного)

Пусть (A, B, C) есть предполагаемое решение уравнения
1°) A^n+B^n=C^n и также эквивалентных уравнений
1a°) C^n-B^n=(C-B)P [=(C-B)(P')^n=(A')^n(P')^n=A^n],
1b°) C^n-A^n=(C-A)Q [=(C-A)(Q')^n=(B')^n(Q')^n=B^n – если b≠0],
1c°) A^n+B^n=(A+B)R [=(A+B)(R')^n=(C')^n(R')^n=C^n – если c≠0] (см. L.7), откуда
1d°) A=A'P', B=B'Q', C=C'R'.

Сначала возьмем равенство C^n-B^n=(C-B)(P')^n, или C^n-B^n=(A')^n(P')^n, и оставим в основаниях C, B, A', P' лишь последние цифры c, b, a', p' [=1]. Тогда, согласно L.3, равенство C^n-B^n=(A')^n(P')^n порождает на своих окончаниях степеней (sic! ключевой момент) равенство

2°) c^n-b^n≡(a')^n(p')^n (mod n^2), где (p')^n≡01 (mod n^2) (см. L.4 и L.8 ) и (a')^n≡C-B≡c^n-b^n (mod n^2), где в числах C и B оставлены только последние цифры (см. выше). Следовательно,

2a°) c^n-b^n≡c-b (mod n^2).

Аналогично: если числа c-a и a+b не кратны n, то равенства 1° порождают равенства

2b°) c^n-a^n≡c-a (mod n^2).
2c°) a^n+b^n≡a+b (mod n^2).

Если же какое-либо из чисел C-A или A+B делится на n, то даже в случае n=3 оно делится также на n^2 (см. L.5) и соответствующее ему равенство 2b° или 2c° остается верным.

Решение системы уравнений {2a°, 2b°, 2c°} относительно «неизвестных» a^n, b^n, с^n:

3°) a^n≡a, b^n≡b, b^n≡c (mod n^2).

[Из суммы равенств 2a°)+2b°)+2c°) имеем:
2c^n≡2c (mod n2), откуда c^n≡c (mod n^2).

Из суммы равенств 2a°)-2b°)+2c°) имеем:
2a^n≡2a (mod n2), откуда a^n≡a (mod n^2).

Из суммы равенств 2a°)+2b°)-2c°) имеем:
2b^n≡2b (mod n2), откуда b^n≡b (mod n^2).]

Включение в равенства 2abc° цифр a'', b'', c'' не меняет левые части равенств. Однако для сохранения равенств 2abc° необходимо выполнение равенств:

4°) c''-b''=0, c''-a''=0, a''+b''=n (или 0), откуда

5°) a''=b''=c''=0.

Это означает, что предпоследние цифры в степенях a^n, b^n, b^n равны нулю, которые, заметим, не меняются и после почленного умножения равенства 1° на любое однозначное число g в степени n^2 (см. L.10, L.1, L.2). Таким образом, у каждой степени 1^n, 2^n,... (n-1)^n предпоследняя цифра равна нулю.

И теперь, вычисляя двузначное окончание числа S=1^n+2^n+…+(n-1)^n двумя способами – а) по формуле арифметической прогрессии, суммируя лишь последние цифры (ибо предпоследние равны нулю), и б) с помощью бинома Ньютона, группируя слагаемые в пары [1^n+(n-1)^n]+[2^n+(n-2)^n]+..., мы получаем РАЗНЫЕ вторые цифры в числе S: в первом случае – (n-1)/2, во втором – ноль. И мы пришли к противоречию.

Таким образом, ВТФ доказана.

(09.09.2011)


* * *

ПРИЛОЖЕНИЕ. Леммы (с их доказательствами).

...

L.7. те из чисел P, Q, R, C-B, C-A, A+B, которые не кратны n, есть n-е степени: P=(P')^n, Q=(Q')^n, R=(R')^n, C-B=(A')^n, C-A=(B')^n, A+B=(C')^n.
Из представления, например, числа R=D(A+B )^2± nA^{(n-1)/2B}^{(n-1)/2, не кратного n, в равенстве A^n+B^n=(A+B )R (см. L.5, в конце) видно, что числа A+B и R являются взаимно простыми. Таким образом, каждое простое основание числа A^n+B^n [равного C^n] входит либо в A+B, либо в R, причем в степени kn (где k>0).
...

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 05 ноя 2011, 17:32

Пояснение для школьников

Доказательство Великой теоремы состоит, по сути, из уравнения 3°:
a^n≡a (mod n^2) для любой цифры a в системе счисления с простым основанием n>2.

В переводе на школьный язык это означает, что двузначное окончание числа a^n равно двузначному окончанию ОДНОЗНАЧНОГО числа a, или, по просту говоря, цифры. Но у однозначного числа не может быть второй цифры! Следовательно, вторая (предпоследняя) цифра в числе a^n равна НУЛЮ! (Отсюда и противоречие при подсчете суммы степеней всех цифр.)

И на сегодня во всем мире это ПОНИМАЮТ только два специалиста в теории чисел.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 23 ноя 2011, 0:56

В конце июля с.г. на форуме mathforum.ru я опубликовал серию материалов, посвященных оригинальнейшей идее доказательства ВТФ (см. http://www.mathforum.ru/forum/read/1/20535/page/52/ : 29.07.2011 01:29, 29.07.2011 09:35, 30.07.2011 10:44, 01.08.2011 00:03, 02.08.2011 00:58, 02.08.2011 11:37, 04.08.2011 15:33...)
Суть идеи состоит в том, что окончание каждого из трех оснований в равенстве Ферма является окончанием числа вида a^{n^k}, где каждое k порождает свое новое значение k+1. И так до бесконечности. (Заодно с каждой итерацией и число нулей в числе A+B-C возрастает на 1.)

Реакция на идею так называемых профессионалов походила на выступления прокурора Вышинского на политических процессах 1937 года, и под их давлением Администратор сайта закрыл мне доступ на сайт. Что ж, хозяин – барин...

Но поскольку среди форумчан наверняка есть люди любознательные, я хочу предложить их вниманию подробное обоснование одной из самых красивых идей в математике. К сожалению, текст требует освоения трех страниц текста, выходящего за пределы школьной программы и касающегося теории счисления с простым основанием n>2.
В случае, если Администрация сайта закроет тему (например, по причине «игры в одни ворота»), я продолжу публикацию на своей странице http://www.proza.ru/2010/09/24/1 .

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 03 дек 2011, 23:36

Легко показать, что существует такое простое m=dn^{k}+1 (простое n>2), что в базе m в равенстве Ферма число A в степени dn^{k-1} оканчивается на цифру 1.
В связи с этим возникает вопрос: Что можно сказать о свойствах числа A?

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 06 дек 2011, 15:58

1 января 2011 г. я нашел интересную идею доказательства ВТФ (очень не понравившуюся профессионалам с форума MathForum.ru), основанную на Лемме:
Лемма: в числе [U=] A+B-C=abcun^k (*) сомножитель u=1 [a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел (A, C-B), (B, C-A), (C, A+B) и все числа записаны в простой базе n>4].
И теперь после почленного умножения гипотетического равенства Ферма A^n+B^n=C^n на 2^{nn} числа A, B, C и A+B-C в (*) умножаются на 2^n [>2^4], в то время как число abcn^k умножается на 2^3. И противоречие налицо.
Сегодня была найдена ключевая формула для доказательства Леммы (с выходом в «зазеркалье», т.е. с выходом из ЗАМКНУТОЙ логики равенства Ферма). Остается доказать несколько (по-видимому, известных) лемм.
До скорого!


Вернуться в «Доска математических объявлений»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостя