Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Здесь вы можете сформулировать математическую задачу, с которой вам не справиться, или, наоборот, поделиться своим маленьким открытием.
Возможно, другие пользователи помогут вам или порадуются вместе с вами...

Модератор: модераторы

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 06 авг 2012, 12:01

Великая теорема Ферма. [u]Антидоказательство[/u]

Допустим, что для взаимно простых натуральных A, B, C и простой степени n>2 существует равенство
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], где, как известно,
1a°) числа C-B и P взаимно простые и, следовательно,
1b°) C-B=a^n и P=p^n.

3°) Легко видеть, что при почленном умножении равенства 1° на d^{nn} (с получением равенства 2°) число (C-B) приобретает соножитель d^n, а число P – сомножитель D=d^{n(n-1)}.

Рассмотрим равенства 1° и 2° в бинарной системе счисления.

Тогда в операции умножения 3° равенства 1° на число d, оканчивающееся на 11 (тем более – на 01), число D оканчивается на 01 – поскольку показатель степени n(n-1) четен. Следовательно, двузначные окончания чисел P и PD равны.

Допустим, что вторая (от конца) цифра в числе P есть ноль. Тогда, умножив целое число P'=P+10 на d^{nn}, мы получаем число PD+10=P'+10 – поскольку вторая цифра числа P' при умножении его на число, оканчивающееся на 01, не меняется. И теперь мы получаем противоречивое равенство:

4°) P'D=(P+10)D=PD+10D= P'+10=PD+10, откуда PD+10D= PD+10 и, следовательно, D=1. Но ведь D>1, поскольку мы взяли d=…11 !

Если же вторая цифра в числе P есть 1, то в качестве числа P' возьмем число P-10 – с получением ТОГО же вывода.

И никакой академик не сможет доказать, что при умножении какого-либо целого числа на число, оканчивающееся на 01, вторая цифра произведения меняется!!!

За сим позвольте откляняться.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 07 авг 2012, 8:53

Рановато распрощался!

Великая теорема Ферма
(Иправление текста от 3.8.12. Доказательство оказалось действительно ШКОЛЬНЫМ!)

Допустим, что для взаимно простых натуральных A, B, C (где A четно) и простой степени n>2 существует равенство
1°) C^n-B^n=(C-B)P [=A^n], где, как известно,
1a°) числа C-B и P взаимно простые и, следовательно,
1b°) C-B=a^n=a2^{nk} (где A нечетно) и
1c°) P=C^{n-1}+C^{n-2}*B+… +C*B^{n-2}+B^{n-1}.

Доказательство ВТФ в бинарной системе счисления

С помощью умножения равенства 1° на соответствующее число G=g^{nn} (которое, как известно, существует; при этом важно, что после этого число P остается n-й степенью) приведем число C, следовательно и число B, к виду: C=c2^{nk}+1, B=b2^{nk}+1 и подставим эти значения в формулу для P (см. 1c°), где каждое слагаемое оканчивается теперь на 2^{nk}+1, а в целом на окончаниях в nk цифр число
2°) P≡n mod 2^{nk}, где, как известно, n<2^{n-1}.

Рассмотрим модифицированное равенство 1° на окончаниях в 2nk цифр:

3°) C*C^{n-1}-B*B^{n-1}≡(C-B)P mod 2^{2nk}, где

4°) C^{n-1}≡B^{n-1}≡1 mod 2^{nk}.

И теперь на окончаниях в 2nk цифр равенство 3° можно записать в виде:

5°) (C-B)*1≡(C-B)P mod 2^{2nk}, откуда на окончаниях уже в nk цифр

6°) 1≡P mod 2^{nk}, что противоречит 2°, ибо 2^{nk}≠2^{nk}+n.

Таким образом, ВТФ (не считая случая n=4) доказана.

(Мезос, 6 августа 2012)

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 15 авг 2012, 23:11

Великая теорема Ферма.
Идея № 10001: доказательство без арифметики

Допустим, что для нечетной степени n>2 и взаимно простых натуральных чисел A, B, C существует равенство
1°) a^n+b^n=c^n.

Очевидно, его решение {a, b, c} есть частый случай решения диофантова уравнения
2°) A+B-C=abcnu, где
2a°) a, b, c есть делители соответственно чисел A, B, C и
2b°) A+B=c^n, C-B=a^n, C-A=b^n,
2c°) числа A, B, C не являются n-ми степенями,
при условии u=0.

Но в этом случае из 2° следует также и равенство
3°) (A+B)-(C-B)-(C-A)=0, или
4°) c^n-a^n-b^n=0.

А теперь, представив числа c^n, a^n, b^n в виде
5°) c^n=A+B, a^n=C-B, b^n=C-A, (с неизвестными A, B, C),

мы находим единственное решение системы линейных уравнений 5°:

6°) C=c^n, A=a^n, B=b^n,

что противоречит 2c°, то есть числа A, B, C являются n-ми степенями и, следовательно, равенство 1° с необходимостью имеет вид:

7°) a'^{nn}+b'^{nn}=c'^{nn}, где a'^n=a, b'^n=b, c'^n=c, которое с помощью проведенных выше аналогичных рассуждений порождает равенство Ферма

8°) a''^{nnn}+b''^{nnn}=c''^{nnn}.

И так далее – ДО БЕСКОНЕЧНОСТИ.

Таким образом, уравнение 1° целочисленного решения не имеет.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 16 авг 2012, 22:38

Идея № 10001 очаровательна!

После введения сомножителей P, Q, R число U можно переписать в виде:
2°) U=A+B-C =aP+bQ-cR=c^n-cR=c(c^{n-1}-R)=abcu
[либо U=a(P-a^{n-1}), либо U=b(Q-b^{n-1})], где
3°) числа в парах (a,P), (b,Q), (c,R) взаимно простые.

И теперь, если u=0 (что необходимо для существования равенства Ферма a^n+b^n=c^n в первом случае – когда ABC не кратно n), то c^{n-1}=R, что противоречит 3°.
А во втором случае даже равенство u=0 не производит равенства a^n+b^n=c^n.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 18 авг 2012, 22:33

Идея № 10001. Еще один довод.

Из любого приведенного равенства Ферма
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и C^n-B^n=(C-B)P, C^n-A^n=(C-A)Q]
однозначно следует и равенство
2°) (A+B)-(C-B)-(C-A)=abcu,
или
2a°) либо c^n-a^n-b^n=abcu,
2b°) либо c^n:n-a^n-b^n=abc'u.

С другой стороны, любые три степени a^n, b^n, c^n (со взаимно простыми и простыми a, b, c) порождают [после представления a^n=C-B, b^n=C-A, c^n=A+B и использования трех корректирующих подстановок вида A'=A+d, B'=B+d, C'=C+d] и равенство 2a° (не обязательно с теми же числами a, b, c, но, заметим, целыми!), а следовательно и числа P, Q, R, не обязательно совпадающими с числами P, Q, R из равенства 1°,
и, следовательно, при равенстве u=0 – для получения равенства Ферма
3°) c^n-a^n-b^n=0 – появляется
[из (A+B)-(C-B)-(C-A)=0, A+B-C=0, A-(C-B)=0, aP-a^n=0] и противоречивое равенство
4°) P-a^{n-1}=0, где числа P и a взаимно простые.

И противоречие налицо.

Приятных вам размышлений!

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 21 авг 2012, 8:55

ВТФ. Идея № 10001. Странный вариант

Если из C-A-B=0, где A, B, C положительны, следует C-A-B=ABCu, где где u=0, то существует странное доказательство ВТФ.

Допустим, что для простой степени n>2 и взаимно простых натуральных чисел a, b, c существует равенство a^n+b^n=c^n, или
1°) C-A-B=0, где C=c^n, A=a^n, B=b^n. Тогда

2°) C^n-A^n-B^n=ABCu, (A+B)R-(C-B)P-(C-A)Q=2ABCu, где u≠0.

И теперь, чтобы перейти от равенства 2° к 1°, необходимо и достаточно, чтобы u=0.

Действительно, во-первых, в этом случае из C-A-B=0, где A>0, B>0, C>0, следует
3°) C-A-B=ABCu, где где u=0, [необходимость].

Во-вторых, при u=0 из 2° следует
3°) C^n-A^n-B^n=0, или (C^n-B^n)-A^n=0, или

4°) (C-B)P-A^n=0, или (C-B)P-AA^{n-1}=0, или AP-AA^{n-1}=0, или

5°) A(P-A^{n-1})=0, откуда

6°) P=A^{n-1}.

И после подстановки в 4° приходим к равенству

7°) C-B-A=0, т.е. к равенству Ферма 1° [достаточность].

Однако этот переход – от u=0 в 2° к равенству 7° – возможен лишь при условии, что числа A и P нецелые, как это следует из 6°, где A и P взаимно простые.

Следовательно, по меньшей мере либо C, либо B нецелое. И следовательно числа a, b, c в равенстве Ферма быть целыми одновременно не могут.

ВТФ доказана.

20.08.2012

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 15 сен 2012, 12:59

В фонд Болотных митингов

Великая теорема Ферма

Интересный момент.

Допустим, для простой степени n>2 и натуральных чисел A, B, C существует равенство
1°) A^n+B^n=C^n,
где, допустим, A и B не кратны n, и тогда
2°) C-B=a^n и C-A=b^n.

И теперь из 1° следует противоречивое равенство
3°) (C-A)A^n+(C-B)B^n=C^{n+1}-A^{n+1}-B^{n+1}, или

4°) D^n+E^n=C^{n+1}-A^{n+1}-B^{n+1}, где
левая часть равенства является нечетной функцией, а правая – четной.

ВТФ для простого n доказана.

[Прим.: Функция F(x) называется нечетной, если F(-x)=-F(x), и четной, если F(-x)=F(x).]

Влад
Сообщения: 1615
Зарегистрирован: Ср, 07 янв 2004, 16:10
Откуда: PUNK_22_13
Контактная информация:

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Влад » Пн, 17 сен 2012, 13:48

Виктор Сорокин писал(а):4°) D^n+E^n=C^{n+1}-A^{n+1}-B^{n+1}, где
левая часть равенства является нечетной функцией, а правая – четной.

Относительно какой переменной и, собственно, почему?
"Ты - мой вопрос на главный ответ!"(с)СЛОТ
She broke my heart.
You merely broke my life.

Я сразу всё, но я ничто.
Я тысячи людей, но я никто...
:D :D :D
Превратился в дерьмо, а как обратно - не знаю...

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 24 окт 2012, 9:43

Влад писал(а):
Виктор Сорокин писал(а):4°) D^n+E^n=C^{n+1}-A^{n+1}-B^{n+1}, где
левая часть равенства является нечетной функцией, а правая – четной.

Относительно какой переменной и, собственно, почему?

Разумеется, это была шутка.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 24 окт 2012, 9:44

Судя по всему, мое исследование ВТФ закончено: убедительного доказательства не найдено. Однако после многократного пересмотра всех идей одна из них оказалась интересной: простейшее доказательство существует, если следующая гипотетическая, но правдоподобная теорема верна:

Теорема
Если C=AB, где A и B взаимно простые, и C=c^{n^k} mod n^t, то
A=a^{n^k} mod n^t и B=b^{n^k} mod n^t, где a, b – некоторые целые числа.

Что можно сказать об этой теореме?

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 07 дек 2012, 10:35

Сколь веревочке не виться...

Доказательство ВТФ основано на простейших леммах для натуральных чисел:

L1. Если в числе D=A^n основание A делится на p, то D делится на P=p^n;
L2. Если число D [=A^n] делится на P=p^n, то основание A делится на p;
L3. Если число D [=A^n] делится на P=p^n, то число E=(A+p)^n также делится на P;
L4. Если число D=A^n, где A=ae, делится на P, то E=[(a+p)e]^n делится на P=p^n;
L5. Если число D=A^n=C^n-B^n делится на P=p^n, то (C+p)^n-B^n делится на P.

Как известно, в приведенном случае в равенстве Ферма
1°) A^n=C^n-B^n=(C-B)P,
2°) где P взаимно простое с C, B, C-B (ибо A, B, C взаимно простые) и
3°) P=p^n (где p>1).

Доказательство ВТФ

Допустим, равенство 1° [либо равенство B^n=C^n-A^n=(C-A)Q] в натуральных числах существует. Тогда, согласно лемме L5, число
4°) D=c^n-b^n, где c и b – остатки от деления чисел C и B на p, или цифры в базе p (т.е. c=C mod p, b=B mod p) и, следовательно, 0<c<p и 0<b<p,
делится на P. Однако это невозможно, поскольку |D|=|c^n-b^n|<|max (c^n, b^n)|<P.

Теорема доказана.

Виктор Сорокин
(Мезос, 7 декабря 2012)

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 08 дек 2012, 11:15

Просто пояснение:

Пятая лемма - это по существу и есть доказательство ВТФ: ведь совершенно очевидно, что цифра в степени меньше, чем основание счисления в степени.

Собственно, не считая 5-й леммы, в доказательстве всего одна операция - представление

C=kp+c, B=tp+b, где цифры c и b не равны (в противном случае C-B делится на p, что противоречит взаимной простоте чисел C-B и P).

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 03 янв 2013, 10:12

К завершению эпопеи (ввиду особого интереса я публикую краткий текст)

Простейшее доказательство Великой теоремы Ферма возможно с помощью интересной теоремы из теории чисел:

S-Теорема
В системе счисления с простым основанием q>5 для пары (A, B) взаимно простых чисел A и B, где A, B, A+B и A-B не делятся на q, существует такой множитель G [0<G<q^2], что пара значений последних цифр a и b чисел AG и BG равна наперед заданной паре их значений (a, b) либо (b, a), где 0<a<q, 0<b<q [в частности (2, 1)].

Следствие
Теорема остается справедливой и для основания Q=q^n для цифр, не кратных q.
(Доказательство S-Теоремы и алгоритм нахождения G будет представлен позже.)

Следствие из следствия (Великая теорема Ферма)
Уравнение
1°) A^n=C^n-B^n=(C-B)P для простой степени n>2, BC не кратном n и взаимно простых A, B, C решения в целых числа не имеет.

Известно, что в этом случае C-B=a^n, P=p^n и p является взаимно простым с числами C, B, C-B, C+B. Следовательно, ситуация соответствует условию S-Теоремы. И, согласно Следствию из S-Теоремы, существует такой множитель G, что значения последних цифр a и b чисел AG и BG равны (2, 1) либо (1, 2).

2°) Известно также, что каждый простой делитель p>2n, т.е. P>(2n)^n (см. формулу для P).

Доказательство ВТФ

Умножим уравнение 1° на G^n и рассмотрим равенство 1° по последним цифрам в системе счисления по основанию P [=p^n]:

3°) A^n≡2^n-1^n≡ (2-1)P mod P.

Из чего видно, что 0<P=2^n-1 <n2^n<(2n)^n, что противоречит 2°.

И истинность Великой теоремы Ферма доказана.

(Мезос, 27.12.2012-2.01.2013)

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 03 янв 2013, 19:16

Я не спешу с публикацией относительно простого доказательства S-Теоремы, давая возможность любителям математики вкусить красоту проблемы.
Ну а сама ВТФ теперь гроша ломаного не стоит. Вот она:

Доказательство Великой теоремы Ферма (ВТФ). Окончательный текст.

Общеизвестно, что ВТФ (не считая случая n=4^k) сводится к случаю простого n>2 и взаимно простых A, B, C, т.е. к уравнению
1°) C^n=A^n+B^n=(A+B)R, где R содержит делитель q^n, простое q>2n, AB(A+B)(A-B) не делится на q, и, следовательно, согласно следствию из S-теоремы*, существует такое число G^n, что после умножения равенства 1° на G^n числа A и B представимы в виде:
2°) либо A=xq^n+2 и B=yq^n+1, либо A=xq^n+1 и B=yq^n+2.

Поскольку число C’^n=(A-q^n)^n+(B-tq^n)^n также должно делиться на q^n, то число
3°) C’’=2^n+1^n должно делиться на q^n [где q>2n], что, очевидно, невозможно.

Тем самым Великая теорема Ферма доказана.

(Мезос, 27.12.2012-2.01.2013)

* S-теорема будет представлена отдельно.

P.S. Выражаю свою признательность коллективам матфорумов math.luga.ru и forum.cmc-msu.ru. Если все будет хорошо, наше общение продолжится.

Виктор Сорокин
Сообщения: 531
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 16 янв 2013, 16:02

Великая теорема Ферма (сказочное доказательство?)

Суть противоречия: в равенстве C^n=A^n+B^n=(A+B)R число R=1.

Действительно, допустим, что для простой степени n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C существует равенство
1°) C^n=A^n+B^n= (A+B)R, откуда
2°) A^n=C^n-B^n=(C-B)P, B^n=C^n-A^n=(C-A)Q, D=A^n-B^n=(A-B)T, где числа
3°) A+B, C-B, C-A, A-B (A^n+B^n, C^n-B^n, C^n-A^n, A^n-B^n), или соответственно
4°) x, y, z, v, Rx, Py , Qz, vT взаимно простые.

Доказательство ВТФ

Рассмотрим систему двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными

5°) y-z-v=0, Py-Qz-vT=0.

Согласно фундаментальной теореме линейной алгебры, необходимым условием существования невырожденного решения этой системы является равенство нулю всех ее миноров:
6°) 1*(-Q)-(-1)*P=0, 1*(-T)-(-1)*PT=0, (-1)*(-T)-(-1)*Q=0, откуда
7°) P=Q=T что при неравных натуральных A, B, C, очевидно, невозможно.

Теорема доказана.

(Мезос, 16 января 2013)


Вернуться в «Доска математических объявлений»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google [Bot] и 1 гость