Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 31 янв 2013, 1:52
ИНСТРУМЕНТАРИЙ
Лемма 1. В таблице умножения ag (где: 0<a<q; g=1, 2, … q-1; q – простое) последние цифры произведения ag в базе q (т.е. в системе счисления по основанию q) не повторяются.
Доказательство. Допустим обратное: и ag, и ad оканчиваются на цифру e. Но тогда число ag-ad=a(g-d), где и 0<a<q, и 0<g-d<q, делится на простое q, что, очевидно, невозможно.
Лемма 2 (Теорема о НОД двух степенных биномов).
Если натуральные числа A и B взаимно простые, n и q простые, q>n>2 и AB и nq взаимно простые, то наибольший общий делитель (НОД) двух степенных биномов A^n+B^n и A^q+B^q равен A+B.
Лемма: Число q-n=d_1 является взаимно простым с числами n и q.
Действительно, в противном случае числа n и q не являются взаимно простыми.
Следствие: max(n, d)<max(q, n)
Доказательство Леммы 2.
Пусть m – общий делитель степенных биномов A^n+B^n и A^q+B^q.
Этап 1.
Умножим бином A^n+B^n на A^{d_1}+B^{d_1} (см. Лемму):
1°) (A^n+B^n)(A^{d_1}+B^{d_1})=(A^q+B^q)+ A^n*B^n(A^{d_1-n}+B^{d_1-n}), где
A^n+B^n и A^q+B^q кратны m, A^n и B^n не кратны m. Следовательно, число
2°) A^{{d_1}-n}+B^{{d_1}-n} кратно m. При этом числа d_1-n и n являются взаимно простыми, поскольку, согласно Лемме, числа n и q являются взаимно простыми. И мы приходим к ситуации, аналогичой ситуации в начале Этапа 1: два бинома
A^n+B^n и A^{{d_1}-n}+B^{{d_1}-n} делятся на m, показатели степеней n и {d_1}-n взаимно простые и не равны. Следовательно, мы можем провести
Этап 2, АНАЛОГИЧНЫЙ Этапу 1, с тем лишь отличием, что теперь максимум из двух положительных показателей степеней УМЕНЬШИЛСЯ.
Произведя с новой парой биномов те же операции, что и в случае Этапа 1, мы перейдем к этапам 3, 4 и так далее – до этапа, когда один из двух показателей степеней не станет равным 1, то есть до бинома A+B кратного m.
Таким образом, любой общий делитель биномов A^n+B^n и A^q+B^q принадлежит сомножителю A+B. Что и требовалось доказать.
Следствие из Леммы 2:
Если натуральные числа A и B взаимно простые, n и q простые, q>n>2, AB и nq взаимно простые и триномы A+B+1, A^n+B^n+1 и A^q+B^q+1 делятся на m, то их НОД равен abcn^k, где k>0, a, b, c – соответственно наибольшие общие делители в парах чисел (A, B+1), (A+1, B), (A+B, 1).
(Доказательство ВТФ является по существу доказательством этого утверждения.)
Следствие из Следствия, или доказательство Великой теоремы Ферма:
При взаимно простых A, B, C и простом n>2 число U=A+B-C в равенстве
A^n+B^n-C^n=0 не содержит простых делителей за пределами их множества в числе abcn^k, т.е. U=A+B-C=abcn^k, где a, b, c – соответственно наибольшие общие делители в парах чисел (A, C-B), (C-A, B), (A+B, C). И после почленного умножения равенства A^n+B^n-C^n=0 на 2^{nn} левая часть равенства A+B-C=abcn^k умножается на 2^n, а правая – на 2^3. Это означает противоречивость равенства Ферма для простого n>4.
(В случае n=3 число U=abc и доказательство несколько отличается.)