Не пора ли закругляться?..
Допустим, что для взаимно простых A, B, C и простого n>2
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr,
1c°) r* – простой делитель числа r отличный от n [и где, как известно,
1d°) числа в парах (a, p), (b, q), (c, r) взаимно простые];
1e°) число U [=A+B-C=uabc] (которое, как известно, является взаимно простым с pqr),
1f°) откуда C-B=A-U, C-A=B-U.
Доказательство Великой теоремы Ферма
2°) Число A^n+B^n [=C^n=(A+B)R] делится на C [и на r*] (см. 1° и 1c°).
3°) Число V=(A-C)^n+(B-C)^n [=(A^n+B^n)+TC=(A+B-2C)R'] делится на C [и на r*]. [Следовательно, и РАВНОЕ ему (см. 1f°) (но с противоположным знаком) число
4°) W=(B-U)^n+(A-U)^n [=(A^n+B^n)+SU=(A+B-2U)R''] делится на C [и на r*] (см. 2°).
Сомножитель (A+B-2U) числа W, равный C-U (см. 1e°), на r* не делится (см. 1e°). Сомножитель R'' также не делится на r, поскольку [Лемма] множество всех R'', имеющих делитель r* в конкретном случае R(A, B), задается формулой:
5°) R''[(A-kr*), (B-tr*)]; число же U на r* не делится.
Таким образом, число V на r* делится, а равное ему по абсолютной величине число W не делится. Тем самым полученное противоречие свидетельствует об истинности ВТФ.
Мезос, 20 июля 2013
P.S. На базе Леммы возможно и другое доказательство.
Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Модератор: модераторы
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Самая эффектная идея доказательства ВТФ
Допустим, что для взаимно простых A, B, C, простого n>2 и C [A, B] не кратного n
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B )R и A^n=(C-B )P, B^n=(C-A)Q], где, как легко видеть,
1a°) R=r^n.
======
Доказательство ВТФ
Равенство 1° невозможно, поскольку, согласно Лемме Ф-С, ни одно простое основание m, отличное от n, числа R не входит в это число даже в степени n-1.
=======
Лемма Ф-С
Если A и B взаимно простые и простое n>2, то ни одно простое основание m, отличное от n, числа R в равенстве A^n+B^n=(A+B )R не входит в это число даже в степени n-1.
Допустим, что для взаимно простых A, B, C, простого n>2 и C [A, B] не кратного n
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B )R и A^n=(C-B )P, B^n=(C-A)Q], где, как легко видеть,
1a°) R=r^n.
======
Доказательство ВТФ
Равенство 1° невозможно, поскольку, согласно Лемме Ф-С, ни одно простое основание m, отличное от n, числа R не входит в это число даже в степени n-1.
=======
Лемма Ф-С
Если A и B взаимно простые и простое n>2, то ни одно простое основание m, отличное от n, числа R в равенстве A^n+B^n=(A+B )R не входит в это число даже в степени n-1.
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Беглый просмотр последнего доказательства (вместе с Леммой) показывает его истинность во всех утверждениях.
Так что никакие иные идеи доказательства ВТФ впредь рассматриваться не будут. На очереди - строгое оформление Леммы. Всем до скорого!
Так что никакие иные идеи доказательства ВТФ впредь рассматриваться не будут. На очереди - строгое оформление Леммы. Всем до скорого!
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Еще одна интересная штучка
В равенстве Ферма A^n+B^n=(A+B )r^n число A+B, как изестно, не делится на r. ОДНАКО, после умножения равенства на некоторое d^{nn} число A+B делится на r!
Итак, пусть для взаимно простых A, B, C (где C [или A] не кратно n) и простого n>2
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B )R], где
1a°) A+B=c^n и R=r^n и, как известно, числа c и r являются взаимно простыми.
Умножим равенство C^n=A^n+B^n почленно на d^{nn}:
(C^n)(d^{nn}=(A^n+B^n)d^{nn}=A^n*d^{nn}+B^n*d^{nn}=(Ad^n)^n+(Bd^n)^n=
=(Ad^n+Bd^n)[(Ad^n)^{n-1}-(Ad^n)^{n-2}*B+…-(Bd^n)^{n-1}]=
=[(A+B)d^n][(A^{n-1}-(A^{n-2}*B+…-B^{n-1})d^{n(n-1)}]=
=[(A+B)d^n][r^n*d^{n(n-1)}]=
=[(A+B)d^n][(rd^{n-1})^n].
Или в новых обозначениях:
C^n*d^{nn}= (A+B )'*(r'^n), где (A+B )'=(A+B )d^n и r'=rd^{n-1}.
Очевидно, что если числа r и d взаимно простые, то отношение (A+B)'/r' является заведомо нецелым.
ОДНАКО, если в качестве d взять число r^n, то (A+B )'=(A+B )r^{nn} и r'=r^{nn-n+1} и, следовательно, отношение (A+B )'/r' является целым.
Таким образом, в двух тождественных уравнениях отношение двух соответствующих чисел является противоречивым: и целым, и нецелым.
(Мезос, 9 августа 2013)
В равенстве Ферма A^n+B^n=(A+B )r^n число A+B, как изестно, не делится на r. ОДНАКО, после умножения равенства на некоторое d^{nn} число A+B делится на r!
Итак, пусть для взаимно простых A, B, C (где C [или A] не кратно n) и простого n>2
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B )R], где
1a°) A+B=c^n и R=r^n и, как известно, числа c и r являются взаимно простыми.
Умножим равенство C^n=A^n+B^n почленно на d^{nn}:
(C^n)(d^{nn}=(A^n+B^n)d^{nn}=A^n*d^{nn}+B^n*d^{nn}=(Ad^n)^n+(Bd^n)^n=
=(Ad^n+Bd^n)[(Ad^n)^{n-1}-(Ad^n)^{n-2}*B+…-(Bd^n)^{n-1}]=
=[(A+B)d^n][(A^{n-1}-(A^{n-2}*B+…-B^{n-1})d^{n(n-1)}]=
=[(A+B)d^n][r^n*d^{n(n-1)}]=
=[(A+B)d^n][(rd^{n-1})^n].
Или в новых обозначениях:
C^n*d^{nn}= (A+B )'*(r'^n), где (A+B )'=(A+B )d^n и r'=rd^{n-1}.
Очевидно, что если числа r и d взаимно простые, то отношение (A+B)'/r' является заведомо нецелым.
ОДНАКО, если в качестве d взять число r^n, то (A+B )'=(A+B )r^{nn} и r'=r^{nn-n+1} и, следовательно, отношение (A+B )'/r' является целым.
Таким образом, в двух тождественных уравнениях отношение двух соответствующих чисел является противоречивым: и целым, и нецелым.
(Мезос, 9 августа 2013)
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Великая теорема Ферма.
Исключительно простое доказательство Второго случая (когда C кратно n)
в системе счисления с простым осованием.
Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^2 и не кратно n^3) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A и B не кратны n; P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…-CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^5).
Доказательство ВТФ в системе счисления с простым основанием n
Мы рассмотрим лишь случай, когда C кратно n^2 и не кратно n^3.
(Случаи, когда A, B или С кратно n^k, k>1, доказываются совершенно аналогично.)
Умножим равенство 1° на 01^{nn}, 11^{nn}, 21^{nn} и выберем среди новых равенств 1° то, в котором предпоследние цифры в значимых частях в числах a и b – следовательно и в числах p и q – отличны от 0. После этого каждое из чисел P [=p^n] и Q [=q^n] оканчивается на 101 (с третьей цифрой от конца равной 1).
Однако если мы вычислим третьи цифры от конца в числах P и Q по формулам разложения бинома n-й степени, то либо в числе P, либо в числе Q третья от конца цифра будет отличаться от 1 (так как последние цифры в значащих частях слагаемых CB^{n-2} и CA^{n-2} в формулах 1e°, с учетом 1f°, отличны от нуля, равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку).
Таким образом, самый трудный случай ВТФ доказан. (Более легкий случай будет рассмотрен позднее.)
(Мезос, 29/09/2013)
Исключительно простое доказательство Второго случая (когда C кратно n)
в системе счисления с простым осованием.
Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^2 и не кратно n^3) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A и B не кратны n; P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…-CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^5).
Доказательство ВТФ в системе счисления с простым основанием n
Мы рассмотрим лишь случай, когда C кратно n^2 и не кратно n^3.
(Случаи, когда A, B или С кратно n^k, k>1, доказываются совершенно аналогично.)
Умножим равенство 1° на 01^{nn}, 11^{nn}, 21^{nn} и выберем среди новых равенств 1° то, в котором предпоследние цифры в значимых частях в числах a и b – следовательно и в числах p и q – отличны от 0. После этого каждое из чисел P [=p^n] и Q [=q^n] оканчивается на 101 (с третьей цифрой от конца равной 1).
Однако если мы вычислим третьи цифры от конца в числах P и Q по формулам разложения бинома n-й степени, то либо в числе P, либо в числе Q третья от конца цифра будет отличаться от 1 (так как последние цифры в значащих частях слагаемых CB^{n-2} и CA^{n-2} в формулах 1e°, с учетом 1f°, отличны от нуля, равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку).
Таким образом, самый трудный случай ВТФ доказан. (Более легкий случай будет рассмотрен позднее.)
(Мезос, 29/09/2013)
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Великая теорема Ферма.
Дотошное объяснение доказательства Второго случая
(C кратно n^3 и не кратно n^4) в системе счисления с простым основанием.
Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^3 и не кратно n^4) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A и B не кратны n; C-B=a^n, C-A=b^n, P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…-CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^8).
Объяснение доказательства
Обозначения:
A_t, или A_(t) – t-я цифра от конца числа A;
9 – цифра n-1 (не путать с цифрой 9 в десятичной системе счисления!).
Для упрощения задачи мы прежде всего преобразуем 10-значное (хотя достаточно и 5-значного) окончание числа B в 1. Для этого умножим равенство 1° на такое число g^{nn}, что 10-значное окончание числа Bg превратится в 1. Важно, что от этой операции степенные свойства 1c° сохраняются.
При этом как минимум 8-значное окончание числа A превратися в -1, или 99999999 (поскольку в числе (A+B)R [=C^n] из всех сомножителей n одно и только одно принадлежит числу R). И теперь даже в случае n=3 число C^n оканчивается на 3^3 нулей и, следовательно, число A+B оканчивается только на 8 нулей, т.е. на n^8.
А теперь посмотрим на схемы чисел P и Q. При этом, поскольку в нашем исследовании достаточно учитывать только 4-значные (от силы – 5-значные) окончания чисел, то в формулах разложения в числах P и Q нам достаточно только по два последних члена:
P=…+CB^{n-2}+B^{n-1},
Q=…-CA^{n-2}+A^{n-1} (см. 1e°),
где число C оканчивается на 3 нуля, 8-значные окончания чисел B^{n-1} и A^{n-1} равны 1 и, следовательно, 4-е цифры в числах P и Q отличны от нуля, равны по абсолютному значению и противоположны по знаку (т.е. если P_4=d, то Q_4=n-d).
Но тогда 2-значные окончания чисел p и q равны 01, их третьи цифры – p_3 и q_3 – не равны нулю. И, следовательно, ОБА 4-значные окончания чисел P и Q равны 1001.
Однако НИ ПРИ КАКОМ d и n>2 равенство d=n-d=1 НЕВОЗМОЖНО!
Вот и все доказательство Великой теоремы Ферма для самого трудного случая.
Дотошное объяснение доказательства Второго случая
(C кратно n^3 и не кратно n^4) в системе счисления с простым основанием.
Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^3 и не кратно n^4) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A и B не кратны n; C-B=a^n, C-A=b^n, P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…-CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^8).
Объяснение доказательства
Обозначения:
A_t, или A_(t) – t-я цифра от конца числа A;
9 – цифра n-1 (не путать с цифрой 9 в десятичной системе счисления!).
Для упрощения задачи мы прежде всего преобразуем 10-значное (хотя достаточно и 5-значного) окончание числа B в 1. Для этого умножим равенство 1° на такое число g^{nn}, что 10-значное окончание числа Bg превратится в 1. Важно, что от этой операции степенные свойства 1c° сохраняются.
При этом как минимум 8-значное окончание числа A превратися в -1, или 99999999 (поскольку в числе (A+B)R [=C^n] из всех сомножителей n одно и только одно принадлежит числу R). И теперь даже в случае n=3 число C^n оканчивается на 3^3 нулей и, следовательно, число A+B оканчивается только на 8 нулей, т.е. на n^8.
А теперь посмотрим на схемы чисел P и Q. При этом, поскольку в нашем исследовании достаточно учитывать только 4-значные (от силы – 5-значные) окончания чисел, то в формулах разложения в числах P и Q нам достаточно только по два последних члена:
P=…+CB^{n-2}+B^{n-1},
Q=…-CA^{n-2}+A^{n-1} (см. 1e°),
где число C оканчивается на 3 нуля, 8-значные окончания чисел B^{n-1} и A^{n-1} равны 1 и, следовательно, 4-е цифры в числах P и Q отличны от нуля, равны по абсолютному значению и противоположны по знаку (т.е. если P_4=d, то Q_4=n-d).
Но тогда 2-значные окончания чисел p и q равны 01, их третьи цифры – p_3 и q_3 – не равны нулю. И, следовательно, ОБА 4-значные окончания чисел P и Q равны 1001.
Однако НИ ПРИ КАКОМ d и n>2 равенство d=n-d=1 НЕВОЗМОЖНО!
Вот и все доказательство Великой теоремы Ферма для самого трудного случая.
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
P.S. Первый случай (когда АВС не кратно n) доказывается аналогично, проще, но с небольшой изюминкой. Но пока необходимо получить мнение авторитетных специалистов в теории чисел на доказательство Второго случая.
Жаль, что читатели сайта dxdy не могут ознакомиться с данным доказательством интереснейшей теоремы, поскольку туда мне по идеологическим причинам доступ закрыт. Разве что кто-нибудь не поместит там мое доказательство (или хотя бы ссылку на него), чему я нисколько препятствовать не стану.
Жаль, что читатели сайта dxdy не могут ознакомиться с данным доказательством интереснейшей теоремы, поскольку туда мне по идеологическим причинам доступ закрыт. Разве что кто-нибудь не поместит там мое доказательство (или хотя бы ссылку на него), чему я нисколько препятствовать не стану.
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Увы, поспешная идея.
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Великая теорема Ферма. Первый случай (АВС не кратно n)Элементарное доказательство в системе счисления с простым основанием n
Суть противоречия: После умножения равенства Ферма на некоторое число g^{nn}, а числа U на g^n, не кратное n, число делителей n в числе U=A+B-C МЕНЯЕТСЯ.
Пусть для взаимно простых A, B, C (где АВС не кратно n} и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A+B=c^n, C-B=a^n, C-A=b^n, R=r^n, P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа r, p, q оканчиваются на цифру 1;
1e°) U=A+B-C=un^k, где u не кратно n и k>1.
1f°) Если окончание числа d равно ...g0...01, где цифра g не равна нулю, то окончание числа d^n равно ...100...01 (поскольку, согласное малой теореме Ферма, число g^{n-1} оканчивается на цифру 1 ).
1g°) При почленном умножении равенства 1° на g^{nn} числа a, b, c умножаются на g, числа A, B, C – на g^n, числа P, Q, R – на g^{n(n-1)}, числа p, q, r – на g^{n-1}.
1h°) Лемма. Все предпоследние цифры в числах (gn+1)^{n-1} (g=0, 1, ... n-1) различны. [поскольку различны все последние цифры в числах g^{n-2}, что следует из последней цифры 1 во всех (кроме g=0) числах gg^{n-2}.]
Доказательство ВТФ
Итак, пусть числа P, Q, R имеют одинаковые k-значные окончания, равные 1 [т.е. вида ...00...01], наибольшей длины. Тогда из этого (и из 1°) следует, что
2°) число U делится на n^k и
3°) (k-1)-значные окончания оснований p, q, r также равны 1.
Очевидно, что если все k-е цифры оснований p, q, r не равны нулю, то (k+1)-значные окончания чисел P, Q, R [равные 10...01 – см. 1f °] равны между собой и, следовательно, число U делится на n^{k+1}. И наоборот, если в основаниях p, q, r некоторые [но не все!] k-е цифры равны нулю, то число U не делится на n^{k+1} [что легко доказывается методом от противного].
Однако с помощью умножения равенства 1° на подходящее число G=(gn^k+1)^{nn}, не кратном n, легко можно сделать так, что либо k-е цифры всех оснований p, q, r не равны нулю, либо одна (или две) из них равна нулю.
Первая возможность реализуется при одном из трех следующих значений G: (n^k+1)^{nn}, (2n^k+1)^{nn}, (3n^k+1)^{nn}.
И наоборот, для любого из чисел p, q, r с k-й положительной цифрой заведомо существует такое множитель G=(gn^k+1)^{nn} равенства 1°, что k-я цифра в произведении, например, p*(gn^k+1)^{n-1} равна нулю (что следует из 1k°).
P.S. Доказательство Второго случая было опубликовано ранее (28/09/20).
(Мезос, 11/10/2013)
==================
Таким образом, многовековая таинственная эпопея с Великой теоремой наконец-то завершена.
Суть противоречия: После умножения равенства Ферма на некоторое число g^{nn}, а числа U на g^n, не кратное n, число делителей n в числе U=A+B-C МЕНЯЕТСЯ.
Пусть для взаимно простых A, B, C (где АВС не кратно n} и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A+B=c^n, C-B=a^n, C-A=b^n, R=r^n, P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа r, p, q оканчиваются на цифру 1;
1e°) U=A+B-C=un^k, где u не кратно n и k>1.
1f°) Если окончание числа d равно ...g0...01, где цифра g не равна нулю, то окончание числа d^n равно ...100...01 (поскольку, согласное малой теореме Ферма, число g^{n-1} оканчивается на цифру 1 ).
1g°) При почленном умножении равенства 1° на g^{nn} числа a, b, c умножаются на g, числа A, B, C – на g^n, числа P, Q, R – на g^{n(n-1)}, числа p, q, r – на g^{n-1}.
1h°) Лемма. Все предпоследние цифры в числах (gn+1)^{n-1} (g=0, 1, ... n-1) различны. [поскольку различны все последние цифры в числах g^{n-2}, что следует из последней цифры 1 во всех (кроме g=0) числах gg^{n-2}.]
Доказательство ВТФ
Итак, пусть числа P, Q, R имеют одинаковые k-значные окончания, равные 1 [т.е. вида ...00...01], наибольшей длины. Тогда из этого (и из 1°) следует, что
2°) число U делится на n^k и
3°) (k-1)-значные окончания оснований p, q, r также равны 1.
Очевидно, что если все k-е цифры оснований p, q, r не равны нулю, то (k+1)-значные окончания чисел P, Q, R [равные 10...01 – см. 1f °] равны между собой и, следовательно, число U делится на n^{k+1}. И наоборот, если в основаниях p, q, r некоторые [но не все!] k-е цифры равны нулю, то число U не делится на n^{k+1} [что легко доказывается методом от противного].
Однако с помощью умножения равенства 1° на подходящее число G=(gn^k+1)^{nn}, не кратном n, легко можно сделать так, что либо k-е цифры всех оснований p, q, r не равны нулю, либо одна (или две) из них равна нулю.
Первая возможность реализуется при одном из трех следующих значений G: (n^k+1)^{nn}, (2n^k+1)^{nn}, (3n^k+1)^{nn}.
И наоборот, для любого из чисел p, q, r с k-й положительной цифрой заведомо существует такое множитель G=(gn^k+1)^{nn} равенства 1°, что k-я цифра в произведении, например, p*(gn^k+1)^{n-1} равна нулю (что следует из 1k°).
P.S. Доказательство Второго случая было опубликовано ранее (28/09/20).
(Мезос, 11/10/2013)
==================
Таким образом, многовековая таинственная эпопея с Великой теоремой наконец-то завершена.
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Великая теорема Ферма. Случай 2 (C кратно n^k и не кратно n^{k+1})
в системе счисления с простым основанием n.
0°) Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^k, k>1) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R, A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr;
1c°) C-B=a^n, C-A=b^n, P=p^n, Q=q^n, A+B≡0 (mod n^{2k-1}), R≡0 (mod n);
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^{kn-1} – так как R кратно n^1); A^{n-1}≡B^{n-1} (mod n^{kn-1}.
1g°) Если k-значное окончание числа A=dn^{k-1}+1, где d≠0, то (k+1)- значное окончание числа A^n равно 1*n^k+1 [что следует из малой теоремы Ферма].
Подробнейшее Доказательство Случая 2 (самого трудного)
Для упрощения задачи мы прежде всего преобразуем {kn}-значное окончание числа B в 00...01. Для этого умножим равенство 1° на такое число g^{nn}, что {kn}-значное окончание числа Bg превратится в 1. [Важно, что от этой операции степенные свойства 1c° сохраняются.] При этом {kn-1}-значное окончание числа A превращается в -1 (что следует из 1c°), или в 99...99, где 9 есть символ для обозначения цифры n-1. [Для анализа окончаний чисел P и Q важно, что k+1<kn-1 даже в случае n=3 и k=2.]
А теперь рассмотрим числовые формулы для P и Q:
2°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1} [=p^n] с последними двумя членами P2 и P1,
3°) Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1} [=q^n] с последними двумя членами Q2 и Q1 (см. 1e°), где
4°) числа P2 и Q2 оканчиваются на k нулей (см. 0°); следовательно,
5°) (k-1)-е окончания чисел p и q равны по абсолютному значению равны 1;
6°) (k+1)-е окончания чисел B^{n-2} и A^{n-2} равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку (поскольку степень n-2 нечетна); следовательно,
7°) (k+1)-е цифры в числах P2 и Q2 равны соответственно n-d и d, где d≠0 [важно!];
следовательно [поскольку P=p^n и Q=q^n],
8°) (k)-е цифры в числах p и q не равны нулю [легко доказывается от противного].
Пусть эти цифры равны p' и q'. Тогда (k)-значные окончания чисел p и q равны:
9°) p'n^{k-1} +1 и q'n^{k-1}. И после возведения их в n-ю степень (k+1)-е значные окончания чисел P и Q равны (согласно 1g°):
10°) n^k +1 и n^k, в которых (k+1)-е цифры есть ЕДИНИЦЫ, а НЕ n-d и d (см. 7°), которые не могут быть равными 1 ОДНОВРЕМЕННО.
Это и доказывает истинность ВТВ для самого трудного случая.
в системе счисления с простым основанием n.
0°) Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^k, k>1) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R, A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr;
1c°) C-B=a^n, C-A=b^n, P=p^n, Q=q^n, A+B≡0 (mod n^{2k-1}), R≡0 (mod n);
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^{kn-1} – так как R кратно n^1); A^{n-1}≡B^{n-1} (mod n^{kn-1}.
1g°) Если k-значное окончание числа A=dn^{k-1}+1, где d≠0, то (k+1)- значное окончание числа A^n равно 1*n^k+1 [что следует из малой теоремы Ферма].
Подробнейшее Доказательство Случая 2 (самого трудного)
Для упрощения задачи мы прежде всего преобразуем {kn}-значное окончание числа B в 00...01. Для этого умножим равенство 1° на такое число g^{nn}, что {kn}-значное окончание числа Bg превратится в 1. [Важно, что от этой операции степенные свойства 1c° сохраняются.] При этом {kn-1}-значное окончание числа A превращается в -1 (что следует из 1c°), или в 99...99, где 9 есть символ для обозначения цифры n-1. [Для анализа окончаний чисел P и Q важно, что k+1<kn-1 даже в случае n=3 и k=2.]
А теперь рассмотрим числовые формулы для P и Q:
2°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1} [=p^n] с последними двумя членами P2 и P1,
3°) Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1} [=q^n] с последними двумя членами Q2 и Q1 (см. 1e°), где
4°) числа P2 и Q2 оканчиваются на k нулей (см. 0°); следовательно,
5°) (k-1)-е окончания чисел p и q равны по абсолютному значению равны 1;
6°) (k+1)-е окончания чисел B^{n-2} и A^{n-2} равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку (поскольку степень n-2 нечетна); следовательно,
7°) (k+1)-е цифры в числах P2 и Q2 равны соответственно n-d и d, где d≠0 [важно!];
следовательно [поскольку P=p^n и Q=q^n],
8°) (k)-е цифры в числах p и q не равны нулю [легко доказывается от противного].
Пусть эти цифры равны p' и q'. Тогда (k)-значные окончания чисел p и q равны:
9°) p'n^{k-1} +1 и q'n^{k-1}. И после возведения их в n-ю степень (k+1)-е значные окончания чисел P и Q равны (согласно 1g°):
10°) n^k +1 и n^k, в которых (k+1)-е цифры есть ЕДИНИЦЫ, а НЕ n-d и d (см. 7°), которые не могут быть равными 1 ОДНОВРЕМЕННО.
Это и доказывает истинность ВТВ для самого трудного случая.
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Полный текст
ПОЛНЫЙ ТЕКСТ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Великая теорема Ферма. Первый случай (АВС не кратно n)
Элементарное доказательство в системе счисления с простым основанием n>3.
Суть противоречия: После умножения равенства Ферма на некоторое число g^{nn} и числа U – на g^n, не кратное n, число делителей n в числе U=A+B-C МЕНЯЕТСЯ.
Общеизвестные факты из равенства Ферма:
Пусть для взаимно простых A, B, C (где АВС не кратно n} и простого n>3
(простейший случай n=3 доказывается отдельно)
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A+B=c^n, C-B=a^n, C-A=b^n, R=r^n, P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа r, p, q оканчиваются на цифру 1;
1e°) U=A+B-C=un^k, где u не кратно n и k>1.
1f°) Лемма. Если k-значное окончание числа d равно g0...01, где цифра g не равна нулю, то (k+1)-значное окончание числа d^n равно ...100...01 [поскольку сомножитель g^{n-1} в предпоследнем члене бинома Ньютона (gn^k+1)^n, согласное малой теореме Ферма, оканчивается на цифру 1 ].
1g°) При почленном умножении равенства 1° на g^{nn} числа a, b, c умножаются на g, числа A, B, C, A+B-C – на g^n, числа P, Q, R – на g^{(n-1)n}, числа p, q, r – на g^{n-1}.
1h°) Лемма. Все предпоследние значащие цифры в числах (gn+1)^{n-1} (g=0, 1, ... n-1) различны [поскольку различны все последние цифры в числах g^{n-2}, что следует из равенства gg^{n-2}≡1 (mod n) (где g≠0).]
Доказательство
Итак, пусть числа P, Q, R имеют одинаковые k-значные окончания, равные 1 [т.е. вида 00...01], наибольшей длины. Из этого (и из 1°) следует, что
2°) число U делится на n^k и
3°) (k-1)-значные окончания оснований p, q, r также равны 1.
Если же, кроме этого, все k-е цифры оснований p, q, r не равны нулю, то (k+1)-значные окончания чисел P, Q, R [равные 10...01 – см. 1f °] равны между собой и, следовательно, число U делится на n^{k+1} [ибо (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0, где P≡Q≡R≡1 (mod n^{k+1})]. И наоборот, если в основаниях p, q, r некоторые k-е цифры равны нулю, то число U не делится на n^{k+1} [что легко доказывается методом от противного].
Однако с помощью умножения равенства 1° на подходящее число G=(gn^k+1)^{nn}, не кратном n, легко можно сделать так, что
4°) либо k-е цифры всех оснований p, q, r не равны нулю,
5°) либо одна из них равна нулю.
Первая возможность реализуется при одном из трех следующих значений G: (n^k+1)^{nn}, (2n^k+1)^{nn}, (4n^k+1)^{nn}, ((n-1)n^k+1)^{nn}.
И наоборот, для любого из чисел p, q, r с k-й положительной цифрой заведомо существует такое множитель G=(gn^k+1)^{nn} равенства 1°, что k-я цифра в произведении, например, p(gn^k+1)^{n-1} равна нулю (см. 1h°).
Таким образом, числа A+B-C и (A+B-C )g^n, где g не кратно n, имеют разное число сомножителей n, что при целом числе G невозможно.
==================
Великая теорема Ферма. Второй случай (C кратно n^k и не кратно n^{k+1})
Элементарное доказательство в системе счисления с простым основанием n>2.
Суть противоречия: {k+1}-е цифры в числах P и Q в равенствах
A^n=(C-B)P и B^n=(C-A)Q РАВНЫ, при подсчете с помощью бинома Ньютона,
и НЕ РАВНЫ, при подсчете по формалам разложения суммы двух степеней.
Общеизвестные факты из равенства Ферма:
0°) Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^k, k>1) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R, A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr;
1c°) C-B=a^n, C-A=b^n, P=p^n, Q=q^n, A+B≡0 (mod n^{2k-1}), R≡0 (mod n);
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^{kn-1} – так как R кратно n^1); A^{n-1}≡B^{n-1} (mod n^{kn-1}.
1g°) Если k-значное окончание числа A=dn^{k-1}+1, где d≠0, то (k+1)- значное окончание числа A^n равно 1*n^k+1 [что следует из малой теоремы Ферма].
Доказательство
Для упрощения задачи мы прежде всего преобразуем {kn}-значное окончание числа B в 00...01. Для этого умножим равенство 1° на такое число g^{nn}, что {kn}-значное окончание числа Bg превратится в 1. [Важно, что от этой операции степенные свойства 1c° сохраняются.] При этом {kn-1}-значное окончание числа A превращается в -1 (что следует из 1c°), или в 99...99, где 9 есть символ для обозначения цифры n-1. [Для анализа окончаний чисел P и Q важно, что k+1<kn-1 даже в случае n=3 и k=2.]
А теперь рассмотрим числовые формулы для P и Q:
2°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1} [=p^n] с последними двумя членами P2 и P1,
3°) Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1} [=q^n] с последними двумя членами Q2 и Q1 (см. 1e°), где
4°) числа P2 и Q2 оканчиваются на k нулей (см. 0°); следовательно,
5°) (k-1)-е окончания чисел p и q равны по абсолютному значению равны 1;
6°) (k+1)-е окончания чисел B^{n-2} и A^{n-2} равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку (поскольку степень n-2 нечетна); следовательно,
7°) (k+1)-е цифры в числах P2 и Q2 равны соответственно n-d и d, где d≠0 [важно!];
следовательно [поскольку P=p^n и Q=q^n],
8°) (k)-е цифры в числах p и q не равны нулю [легко доказывается от противного].
Пусть эти цифры равны p' и q'. Тогда (k)-значные окончания чисел p и q равны:
9°) p'n^{k-1} +1 и q'n^{k-1}. И после возведения их в n-ю степень (k+1)-е значные окончания чисел P и Q равны (согласно 1g°):
10°) n^k +1 и n^k, в которых (k+1)-е цифры есть ЕДИНИЦЫ, а НЕ n-d и d (см. 7°), которые не могут быть равными 1 ОДНОВРЕМЕННО.
Это и доказывает истинность ВТВ для самого трудного случая.
(Мезос, 28/09 – 11/10/2013)
Великая теорема Ферма. Первый случай (АВС не кратно n)
Элементарное доказательство в системе счисления с простым основанием n>3.
Суть противоречия: После умножения равенства Ферма на некоторое число g^{nn} и числа U – на g^n, не кратное n, число делителей n в числе U=A+B-C МЕНЯЕТСЯ.
Общеизвестные факты из равенства Ферма:
Пусть для взаимно простых A, B, C (где АВС не кратно n} и простого n>3
(простейший случай n=3 доказывается отдельно)
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R и A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr, где
1c°) A+B=c^n, C-B=a^n, C-A=b^n, R=r^n, P=p^n, Q=q^n;
1d°) числа r, p, q оканчиваются на цифру 1;
1e°) U=A+B-C=un^k, где u не кратно n и k>1.
1f°) Лемма. Если k-значное окончание числа d равно g0...01, где цифра g не равна нулю, то (k+1)-значное окончание числа d^n равно ...100...01 [поскольку сомножитель g^{n-1} в предпоследнем члене бинома Ньютона (gn^k+1)^n, согласное малой теореме Ферма, оканчивается на цифру 1 ].
1g°) При почленном умножении равенства 1° на g^{nn} числа a, b, c умножаются на g, числа A, B, C, A+B-C – на g^n, числа P, Q, R – на g^{(n-1)n}, числа p, q, r – на g^{n-1}.
1h°) Лемма. Все предпоследние значащие цифры в числах (gn+1)^{n-1} (g=0, 1, ... n-1) различны [поскольку различны все последние цифры в числах g^{n-2}, что следует из равенства gg^{n-2}≡1 (mod n) (где g≠0).]
Доказательство
Итак, пусть числа P, Q, R имеют одинаковые k-значные окончания, равные 1 [т.е. вида 00...01], наибольшей длины. Из этого (и из 1°) следует, что
2°) число U делится на n^k и
3°) (k-1)-значные окончания оснований p, q, r также равны 1.
Если же, кроме этого, все k-е цифры оснований p, q, r не равны нулю, то (k+1)-значные окончания чисел P, Q, R [равные 10...01 – см. 1f °] равны между собой и, следовательно, число U делится на n^{k+1} [ибо (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0, где P≡Q≡R≡1 (mod n^{k+1})]. И наоборот, если в основаниях p, q, r некоторые k-е цифры равны нулю, то число U не делится на n^{k+1} [что легко доказывается методом от противного].
Однако с помощью умножения равенства 1° на подходящее число G=(gn^k+1)^{nn}, не кратном n, легко можно сделать так, что
4°) либо k-е цифры всех оснований p, q, r не равны нулю,
5°) либо одна из них равна нулю.
Первая возможность реализуется при одном из трех следующих значений G: (n^k+1)^{nn}, (2n^k+1)^{nn}, (4n^k+1)^{nn}, ((n-1)n^k+1)^{nn}.
И наоборот, для любого из чисел p, q, r с k-й положительной цифрой заведомо существует такое множитель G=(gn^k+1)^{nn} равенства 1°, что k-я цифра в произведении, например, p(gn^k+1)^{n-1} равна нулю (см. 1h°).
Таким образом, числа A+B-C и (A+B-C )g^n, где g не кратно n, имеют разное число сомножителей n, что при целом числе G невозможно.
==================
Великая теорема Ферма. Второй случай (C кратно n^k и не кратно n^{k+1})
Элементарное доказательство в системе счисления с простым основанием n>2.
Суть противоречия: {k+1}-е цифры в числах P и Q в равенствах
A^n=(C-B)P и B^n=(C-A)Q РАВНЫ, при подсчете с помощью бинома Ньютона,
и НЕ РАВНЫ, при подсчете по формалам разложения суммы двух степеней.
Общеизвестные факты из равенства Ферма:
0°) Пусть для взаимно простых A, B, C (C кратно n^k, k>1) и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R, A^n=(C-B)P, B^n=(C-A)Q], где, как известно,
1a°) a, b, c – наибольшие общие делители соответственно в парах чисел
(A, C-B ), (B, C-A), (C, A+B );
1b°) p, q, r – вторые сомножители в числах A, B, C: A=ap, B=bq, C=cr;
1c°) C-B=a^n, C-A=b^n, P=p^n, Q=q^n, A+B≡0 (mod n^{2k-1}), R≡0 (mod n);
1d°) числа p, q, r оканчиваются на цифру 1;
1e°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1}, Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1}, где
1f°) A≡-B (mod n^{kn-1} – так как R кратно n^1); A^{n-1}≡B^{n-1} (mod n^{kn-1}.
1g°) Если k-значное окончание числа A=dn^{k-1}+1, где d≠0, то (k+1)- значное окончание числа A^n равно 1*n^k+1 [что следует из малой теоремы Ферма].
Доказательство
Для упрощения задачи мы прежде всего преобразуем {kn}-значное окончание числа B в 00...01. Для этого умножим равенство 1° на такое число g^{nn}, что {kn}-значное окончание числа Bg превратится в 1. [Важно, что от этой операции степенные свойства 1c° сохраняются.] При этом {kn-1}-значное окончание числа A превращается в -1 (что следует из 1c°), или в 99...99, где 9 есть символ для обозначения цифры n-1. [Для анализа окончаний чисел P и Q важно, что k+1<kn-1 даже в случае n=3 и k=2.]
А теперь рассмотрим числовые формулы для P и Q:
2°) P=…+CB^{n-2}+B^{n-1} [=p^n] с последними двумя членами P2 и P1,
3°) Q=…+CA^{n-2}+A^{n-1} [=q^n] с последними двумя членами Q2 и Q1 (см. 1e°), где
4°) числа P2 и Q2 оканчиваются на k нулей (см. 0°); следовательно,
5°) (k-1)-е окончания чисел p и q равны по абсолютному значению равны 1;
6°) (k+1)-е окончания чисел B^{n-2} и A^{n-2} равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку (поскольку степень n-2 нечетна); следовательно,
7°) (k+1)-е цифры в числах P2 и Q2 равны соответственно n-d и d, где d≠0 [важно!];
следовательно [поскольку P=p^n и Q=q^n],
8°) (k)-е цифры в числах p и q не равны нулю [легко доказывается от противного].
Пусть эти цифры равны p' и q'. Тогда (k)-значные окончания чисел p и q равны:
9°) p'n^{k-1} +1 и q'n^{k-1}. И после возведения их в n-ю степень (k+1)-е значные окончания чисел P и Q равны (согласно 1g°):
10°) n^k +1 и n^k, в которых (k+1)-е цифры есть ЕДИНИЦЫ, а НЕ n-d и d (см. 7°), которые не могут быть равными 1 ОДНОВРЕМЕННО.
Это и доказывает истинность ВТВ для самого трудного случая.
(Мезос, 28/09 – 11/10/2013)
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
И на кой черт нужна эта теорема Ферма?! – если допустить, что ее элементарное доказательство найдено.
Отвечаю:
1. Разгадана одна из величайших тайн в Истории человечества.
2. Восстановлено честное имя достойнейшего человека.
3. Поставлено под сомнение непорочность общепринятой теории познания.
4. Сделан крупный шаг к созданию иной концепции человеческой цивилизации.
5. Униженные и оскорбленные получили солидную моральную поддержку.
Так что овчинка стоит выделки!..
Остальное за Вами, читатель!
Отвечаю:
1. Разгадана одна из величайших тайн в Истории человечества.
2. Восстановлено честное имя достойнейшего человека.
3. Поставлено под сомнение непорочность общепринятой теории познания.
4. Сделан крупный шаг к созданию иной концепции человеческой цивилизации.
5. Униженные и оскорбленные получили солидную моральную поддержку.
Так что овчинка стоит выделки!..
Остальное за Вами, читатель!
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Вопрос: какое образование нужно иметь, чтобы понять доказательство Второго случая ВТФ, суть которого такова:
После преобразования {2k-1}-значных окончаний чисел, не кратных n – например, B и A, к виду 00...01 и 99...99, {k}-значные окончания оснований q и p сомножителей Q и P чисел B и A принимают вид: q'0...01 и p'0...01 и, следовательно, {k+1}-значные окончания сомножителей Q [=q^n] и P [=p^n] – благодаря малой теореме Ферма в формуле бинома Ньютона – имеют вид: 10...01 и 10...01.
А из формул разложения следует, что: последние члены сомножителей Q и P оканчиваются [как четные степени] на ...00...001, {k+1}-е цифры нулю не равны и противоположны по знаку и потому {k+1}-значные окончания чисел Q и P равны c'0...01 и (n-c')0...01, где и цифра c'=1, и цифра n-c'=1, что возможно ТОЛЬКО в случае n=2, который из условия исключен.
После преобразования {2k-1}-значных окончаний чисел, не кратных n – например, B и A, к виду 00...01 и 99...99, {k}-значные окончания оснований q и p сомножителей Q и P чисел B и A принимают вид: q'0...01 и p'0...01 и, следовательно, {k+1}-значные окончания сомножителей Q [=q^n] и P [=p^n] – благодаря малой теореме Ферма в формуле бинома Ньютона – имеют вид: 10...01 и 10...01.
А из формул разложения следует, что: последние члены сомножителей Q и P оканчиваются [как четные степени] на ...00...001, {k+1}-е цифры нулю не равны и противоположны по знаку и потому {k+1}-значные окончания чисел Q и P равны c'0...01 и (n-c')0...01, где и цифра c'=1, и цифра n-c'=1, что возможно ТОЛЬКО в случае n=2, который из условия исключен.
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Великая теорема Ферма для ПЯТИКЛАССНИКА («развлекаловка»)
Как это не покажется странным, но понять доказательство Великой теоремы может даже нормально мыслящий пятиклассник, по крайней мере, во Втором, «зверском» случае». Для этого он должен знать и уметь следующее:
- знать три числа: 0, 1 и... «много» (или d),
- что основание счисления состоит из двух цифр: 10 и что при умножении числа d на 10 к числу d приписывается ноль,
- формулу (1°) разложения суммы степеней (она есть в справочниках),
- формулу (2°) бинома Ньютона (она тоже есть в справочиках) и
- формулу (3°) малой теоремы Ферма: число d в степени n-1, где n – простое число, оканчивается на цифру 1. (Ну, конечно, еще надо знать, что такое простое число.)
«Избитые» свойства равенства Ферма я перечисляю во введении. Вот и всё!
А теперь с этим багажом приступим к краткому доказательству Второго случая ВТФ в простейшем частном (но легко обобщаемом) случае : в системе счисления по простому осованию n (например, n=[7]) число C оканчивается на два нуля.
Тогда числа P и Q оканчиваются на цифру 1 (нужно смотреть только два последних члена разложения 1°, ибо третьи члеы от конца, оканчивающиеся на 4 нуля, на вычисление 3-их цифр чисел P и Q никакого влияния не оказывают – см. 1° и 3°) и при этом (что важно!) обе третьи цифры НЕ нули.
А значит, обе вторые цифры в основаниях p и q (поскольку P и Q являются степенями) тоже НЕ нули (что легко доказывается от противного). И при этом числа p и q оканчиваются на цифру 1.
А теперь запишем числа p и q в виде: p=xn+1 и q=yn+1 (где x и y НЕ нули!) и возведем их в степень n. И мы видим, что предпоследний член разложения бинома Ньютона оканчивается (с учетом 3°) на... 100, а третий член – уже на 000. Таким образом, и P, и Q оканчиваются на 101 и имеют РАВНЫЕ третьи цифры.
А теперь вернемся к фромуле разложения. Даже в самом плохом случае (когда n=3) пятизначные окончания последних членов (являющихся четными степенями) в формулах для P и Q равны. А вот третьи цифры (заведомо НЕ нулевые!) в предпоследних членах НЕ равны, поскольку не равны последние цифры в числах A и B, сумма которых (A+B ) оканчивается на ноль. И в итоге третьи цифры в числа P и Q НЕ РАВНЫ! И мы получили неразрешимое противоречие.
А теперь спрашивается: нужно ли быть доктором физ-мат. наук, чтобы понять всё это?!
Как это не покажется странным, но понять доказательство Великой теоремы может даже нормально мыслящий пятиклассник, по крайней мере, во Втором, «зверском» случае». Для этого он должен знать и уметь следующее:
- знать три числа: 0, 1 и... «много» (или d),
- что основание счисления состоит из двух цифр: 10 и что при умножении числа d на 10 к числу d приписывается ноль,
- формулу (1°) разложения суммы степеней (она есть в справочниках),
- формулу (2°) бинома Ньютона (она тоже есть в справочиках) и
- формулу (3°) малой теоремы Ферма: число d в степени n-1, где n – простое число, оканчивается на цифру 1. (Ну, конечно, еще надо знать, что такое простое число.)
«Избитые» свойства равенства Ферма я перечисляю во введении. Вот и всё!
А теперь с этим багажом приступим к краткому доказательству Второго случая ВТФ в простейшем частном (но легко обобщаемом) случае : в системе счисления по простому осованию n (например, n=[7]) число C оканчивается на два нуля.
Тогда числа P и Q оканчиваются на цифру 1 (нужно смотреть только два последних члена разложения 1°, ибо третьи члеы от конца, оканчивающиеся на 4 нуля, на вычисление 3-их цифр чисел P и Q никакого влияния не оказывают – см. 1° и 3°) и при этом (что важно!) обе третьи цифры НЕ нули.
А значит, обе вторые цифры в основаниях p и q (поскольку P и Q являются степенями) тоже НЕ нули (что легко доказывается от противного). И при этом числа p и q оканчиваются на цифру 1.
А теперь запишем числа p и q в виде: p=xn+1 и q=yn+1 (где x и y НЕ нули!) и возведем их в степень n. И мы видим, что предпоследний член разложения бинома Ньютона оканчивается (с учетом 3°) на... 100, а третий член – уже на 000. Таким образом, и P, и Q оканчиваются на 101 и имеют РАВНЫЕ третьи цифры.
А теперь вернемся к фромуле разложения. Даже в самом плохом случае (когда n=3) пятизначные окончания последних членов (являющихся четными степенями) в формулах для P и Q равны. А вот третьи цифры (заведомо НЕ нулевые!) в предпоследних членах НЕ равны, поскольку не равны последние цифры в числах A и B, сумма которых (A+B ) оканчивается на ноль. И в итоге третьи цифры в числа P и Q НЕ РАВНЫ! И мы получили неразрешимое противоречие.
А теперь спрашивается: нужно ли быть доктором физ-мат. наук, чтобы понять всё это?!
-
Виктор Сорокин
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Доказательство отставить: положение 1g° неверно.
Вернуться в «Доска математических объявлений»
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 67 гостей