-=[kaval]=- писал(а):Виктор Сорокин писал(а):Великая теорема Ферма. Самое простое доказательство (20.02.2006)
3* Лемма. Окончания a^n_(k+1) и a_(k) взаимооднозначно определяют друг друга. Верность утверждения становится очевидной из разложения бинома Ньютона (a_(k)+ (n^k)a_(k+1))^n для простого n.
Виктор Сорокин
] n = 2, k = 4. В двоичной системе счисления: 1010_(4) = 1010 != 1110 = 1110_(4), но тем не менее 1010^2_(5) = 00010 = 1110^2_(5).
Во всех моих текстах (как и в ВТФ) n простое и БОЛЬШЕ 2.
+++++++++++++++++++++++++++++
Текущие итоги по состоянию на 1 марта 2006.
1) Показать, что из равенства u_(k)=0 следует равенство u_(k+1)=0, пока не удалось (доказательство оказалось недостаточно полным).
2) Вероятность на этом пути считаю чрезвычайно малой.
3) Однако накопленный в этом направлении опыт еще позволяет надеяться на успех. И свидетельством этому является простейшее доказательство ВТФ для случай n=3 и (abc)_1 ≠ 0. Вот оно.
+++++++++++++++++++++++++++++
Великая теорема Ферма. 2 марта 2006
Инструментарий:
Обозначения:
a_(k) – k-значное окончание (число) в числе a в системе счисления с простым основанием n > 2. Пример для a = 3401: a_(3) = 401.
a_k – k-ая цифра в числе a, a_1 ≠ 0. Пример для a = 3401: a_3 = 4.
Доказательство основано на известных леммах:
1* Лемма. Если (cb)_1 ≠ 0 и (c-b)_(k) = 0, тогда (c^n-b^n)_(k+1)=0, и
если (c^n-b^n)_(k+1) = 0 и (cb)_1 ≠ 0, тогда (c-b)_{(k)= = 0 и R_1 = 0, R_2 ≠ 0, где R = (c^n-b^n)/(c-b).
2* Лемма. Если a_1 ≠ 0 и k > 0, тогда существует такое d, что (ad)_(k) = 1.
3* Лемма. Если числа c и b взаимопростые и число r [= c-b] не делится на n, то числа r и R являются взимопростыми.
Доказательство Великой теоремы Ферма для частного случая: n=3 и k=2
(1°) Допустим, что a^3=c^3-b^3=rR, a_1 ≠ 0, a, b, c взаимопростые, следовательно, числа r=(c-b) и R = (c^3-b^3)/(c-b)=c^2+cb+b^2=(c-b)^2+3cb являются взаимопростыми и
(2a°) r = (c-b)= r'^3,
(2b°) R = c^2+cb+b^2 = R'^3=(c-b)^2+3cb=(r'^3)^2+3cb=(r'^2)^3+3cb,
(2с°) u = a + b-c, где u_(2) = 0, цифра u_3 ≠ 0, k > 0 (следствие из 1° и малой теоремы).
(3°) R_(k+1) = (c-b)^(n-1)_(k+1) [КЛЮЧ доказательства!], поскольку (k+1)-значные окончания в числах: (c-b)^n-(c-b)R, (c-b)^n-a^n, [(c-b)-a]Q, uQ равны 0,
так как u_(k) = 0 (см. 2c°) и Q_1 = 0 (см. 1*).
Случай 1: (abc)_1 ≠ 0.
Так как в 2b° числа R' и r'^2 оканчиваются на 1, то числа R'^n и (r'^2)^3 оканчиваются на 01, а цифра (cb)_1 ≠ 0, то равенство R'^3=(r'^2)^3+3cb, очевидно, НЕВОЗМОЖНО.
Случай 2: b_1=0, но (ac)_1 ≠ 0.
Согласно ключевому равенству 3°, число R-(c-b)^2 оканчивается на 3 нуля. Этот факт не меняется от преобразования 3-значного окончания числа a в 1 (с помощью умножения равенства Ферма на некоторое число d^9 с сохранением свойств 2a° - 2c° – см. 2*; для ясности восприятия обозначения букв остаются прежними, но теперь числа c и a оканчиваются на 001). И если у нас k=2, то число u по-прежнему оканчивается на 2 нуля, а число с оканчиваются на 3 нуля (поскольку число c-a оканчивается даже на 5 нулей – см. 1*).
Но из непосредственного вычисления окончания числа R-(c-b)^2 мы видим, что третья цифра (от конца) в этом числе НЕ РАВНА нулю:
второй член в R есть b, а в (c-b)^2 есть 2b, и потому третья цифра в R-(c-b)^2 равна [b-2b]_3= (-b)_3, где b_3 ≠ 0.
Доказательство второго случая обобщается на любое простое n>2 и k>0 без каких-либо дополнительных операций. В истории поиска элементарного доказательства ВТФ этот случай считается самым трудным. Первый же случай для всех простых n как будто бы доказан. Свой вариант доказательства я представлю сразу же после подтверждения верности доказательства для частного случая n=3.