И такое бывает!

Здесь вы можете сформулировать математическую задачу, с которой вам не справиться, или, наоборот, поделиться своим маленьким открытием.
Возможно, другие пользователи помогут вам или порадуются вместе с вами...

Модератор: модераторы

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 7165
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

И такое бывает!

Сообщение PSP » Вт, 27 янв 2004, 9:40

Как известно, задачи для 3, 4 и 5 этапов Всероссийской олимпиады по математике готовит Методический Совет Российской математической олимпиады шкоьников. Одна из задач, предложенных этим Советом для областного этапа (10 кл.), была такой:
Наибольшие делители трёх последовательных натуральных нечётных чисел, отличные от них самих, образуют (в некотором порядке) возрастающую арифметическую прогрессию. Найдите эти числа.
Совет снабжает жюри олимпиады не только условиями, но и решениями задач. Присланное решение данной задачи заканчивалось таким ответом: 23, 25, 27. Но легко видеть, что у задачи есть и другие ответы! К сожалению, присланное Советом решение столь ошибочно, что не подлежит "косметическому ремонту" (во всяком случае, жюри Ленинградской обл. олимпиады не сумело это сделать и заменило эту задачу другой).
Решите задачу!
(Приведите все ответы и добросовестно заявите, что у вас есть доказательство.)

pavelph
Преподаватель ЛМШ
Сообщения: 47
Зарегистрирован: Пт, 09 янв 2004, 15:17
Откуда: St.-Petersburg
Контактная информация:

Сообщение pavelph » Чт, 05 фев 2004, 18:28

Ну, я думаю, что я знаю все ответы, однако, доказать, что других нет, я пока не могу. Ну а вот они какие мои ответы:
(23, 25, 27) (макс. делители 1, 3, 5)
(25, 27, 29) (макс. делители 1, 3, 5)
(35, 37, 39) (макс. делители - как ни странно 1, 3, 5)
Если бы дыла дана разность арифм. прогрессии и она была бы равна 2 :)) ,то я бы мог доказать отсутствие других ответов :))

Sasha
Сообщения: 32
Зарегистрирован: Чт, 08 янв 2004, 22:36

Сообщение Sasha » Чт, 05 фев 2004, 18:40

pavelph писал(а):Ну, я думаю, что я знаю все ответы, однако, доказать, что других нет, я пока не могу. Ну а вот они какие мои ответы:
(23, 25, 27) (макс. делители 1, 3, 5)
(25, 27, 29) (макс. делители 1, 3, 5)
(35, 37, 39) (макс. делители - как ни странно 1, 3, 5)
Если бы дыла дана разность арифм. прогрессии и она была бы равна 2 :)) ,то я бы мог доказать отсутствие других ответов :))
а задачи только pavelph тут решать умеет!

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 7165
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Сообщение PSP » Чт, 05 фев 2004, 18:42

Sasha писал(а):а задачи только pavelph тут решать умеет!
Мне тоже так начинает казаться...
Последний раз редактировалось PSP Пн, 14 июн 2004, 19:11, всего редактировалось 1 раз.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 7165
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Сообщение PSP » Чт, 05 фев 2004, 18:46

Sasha писал(а):
pavelph писал(а):Ну, я думаю, что я знаю все ответы, однако, доказать, что других нет, я пока не могу. Ну а вот они какие мои ответы:
(23, 25, 27) (макс. делители 1, 3, 5)
(25, 27, 29) (макс. делители 1, 3, 5)
(35, 37, 39) (макс. делители - как ни странно 1, 3, 5)
Если бы дыла дана разность арифм. прогрессии и она была бы равна 2 :)) ,то я бы мог доказать отсутствие других ответов :))
а задачи только pavelph тут решать умеет!

В тех самых материалах, разосланных комиссией, был приведён только один ответ - (23, 25, 27) и "доказательство", что других нет. :D
А Паша нашёл ещё 2 ответа. Все они, конечно, правильные. Молодец, Паша!
А вот точно ли, что других ответов нет?
Последний раз редактировалось PSP Пн, 14 июн 2004, 19:11, всего редактировалось 1 раз.

Влад
Сообщения: 1615
Зарегистрирован: Ср, 07 янв 2004, 16:10
Откуда: PUNK_22_13
Контактная информация:

Сообщение Влад » Ср, 24 мар 2004, 8:54

Я, конечно, спорить не буду, но мне почему-то кажется, что для троек (23,25,27); (25,27,29); (35,37,39) наборы наибольших собственных делителей (1,5,9); (5,9,1); (7,1,13) соответственно...
:D :D :D
"Ты - мой вопрос на главный ответ!"(с)СЛОТ
She broke my heart.
You merely broke my life.

Я сразу всё, но я ничто.
Я тысячи людей, но я никто...
:D :D :D
Превратился в дерьмо, а как обратно - не знаю...

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 7165
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Сообщение PSP » Пн, 29 мар 2004, 17:52

Влад писал(а):Я, конечно, спорить не буду, но мне почему-то кажется, что для троек (23,25,27); (25,27,29); (35,37,39) наборы наибольших собственных делителей (1,5,9); (5,9,1); (7,1,13) соответственно... :D :D :D
Не кажется, а так оно и есть! А теперь надо посмотреть в условие задачи и заметить уточнение, приведённое в скобках.
И числа 5,9,1, и 7,1,13 в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию. Не так ли?
Последний раз редактировалось PSP Пн, 14 июн 2004, 19:11, всего редактировалось 1 раз.

Влад
Сообщения: 1615
Зарегистрирован: Ср, 07 янв 2004, 16:10
Откуда: PUNK_22_13
Контактная информация:

Сообщение Влад » Пн, 29 мар 2004, 21:55

PSP писал(а):
Влад писал(а):Я, конечно, спорить не буду, но мне почему-то кажется, что для троек (23,25,27); (25,27,29); (35,37,39) наборы наибольших собственных делителей (1,5,9); (5,9,1); (7,1,13) соответственно... :D :D :D
Не кажется, а так оно и есть! А теперь надо посмотреть в условие задачи и заметить уточнение, приведённое в скобках.
И числа 5,9,1, и 7,1,13 в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию. Не так ли?
Я это к тому, что наибольшие делители не 1,3,5 , как писалось выше.
:D :D :D
"Ты - мой вопрос на главный ответ!"(с)СЛОТ

She broke my heart.
You merely broke my life.


Я сразу всё, но я ничто.

Я тысячи людей, но я никто...

:D :D :D

Превратился в дерьмо, а как обратно - не знаю...

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 7165
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Сообщение PSP » Вт, 30 мар 2004, 10:54

Влад писал(а):
PSP писал(а):
Влад писал(а):Я, конечно, спорить не буду, но мне почему-то кажется, что для троек (23,25,27); (25,27,29); (35,37,39) наборы наибольших собственных делителей (1,5,9); (5,9,1); (7,1,13) соответственно...
:D :D :D
Не кажется, а так оно и есть! А теперь надо посмотреть в условие задачи и заметить уточнение, приведённое в скобках.
И числа 5,9,1, и 7,1,13 в некотором порядке образуют арифметическую прогрессию. Не так ли?
Я это к тому, что наибольшие делители не 1,3,5 , как писалось выше. :D :D :D
Влад, конечно же, прав!
Последний раз редактировалось PSP Пн, 14 июн 2004, 19:12, всего редактировалось 1 раз.

pavelph
Преподаватель ЛМШ
Сообщения: 47
Зарегистрирован: Пт, 09 янв 2004, 15:17
Откуда: St.-Petersburg
Контактная информация:

Сообщение pavelph » Чт, 08 апр 2004, 12:42

Да, насчет максимальных делителей 1, 3 и 5 меня чего-то приглючило :oops:
Ну ни чего : (1 5 9) & (1 7 13) тоже образуют ар. прогресию. :wink:

Sasha
Сообщения: 32
Зарегистрирован: Чт, 08 янв 2004, 22:36

Сообщение Sasha » Вт, 13 апр 2004, 8:10

что-то никто не решает :twisted:
и я не умею :oops:

maxal

Сообщение maxal » Вт, 01 июн 2004, 0:37

Пусть три последовательных нечетных числа - это m-2, m, m+2. Я докажу, что при m>=27 единственными решениями являются m=27 и m=37.

Во-первых, заметим, что "наибольший делитель числа, отличный от него самого" - это само число, деленное на свой минимальный простой делитель. Во-вторых, одно (и только одно!) из трех последовательных нечетных чисел обязано делиться на 3, для него 3 и будет минимальным простым делителем. Минимальные делители двух других чисел обозначим p и q, причем для определенности положим p<q. Так как никакие два числа из данных не могут одновременно делиться на нечетное число >1, то 3<p<q и p>=5, q>=7.

Пусть m1, m2, m3 - это те же числа m-2, m, m+2 в том порядке, где 3 делит m1, p делит m2, q делит m3. Тогда по условию
m1/3 + m3/q = 2*m2/p
или
p*q*m1 + 3*p*m3 = 6*q*m2
Левую часть мы оценим снизу величиной q*p*(m-2), а правую сверху - 6*q*(m+2). Откуда
q*p*(m-2) < 6*q*(m+2)
или
p < 6*(m+2)/(m-2) = 6 + 24/(m-2) < 7
Итак, p=5 и
5*q*m1 + 15*m3 = 6*q*m2. (*)

Положим m1=m+d1, m2=m+d2, m3=m+d3, где d1, d2, d3 - это числа -2, 0, 2 в некотором порядке. Перепишем равенство (*) в виде
5*q*d1 + 15*d3 - 6*q*d2 = (q-15)*m.
Перебирая всевозможные варианты значений d1, d2, d3, из делимости правой части на m, получим три случая
1) m делит 11*q
2) m делит 5*q-15
3) m делит 6*q+15

Далее рассмотрим еще два варианта: m3>q и m3=q. В первом случае из того, что q - минимальный простой делитель следует, что m3>q^2, а значит, m>q^2 - 2. Последнее неравенство вкупе с q>=7 делает невозможным случаи 2) и 3), указанные выше. Если же m делит 11*q (случай 1), то либо q=7 и m=77, либо q=11 и m=121, что не дает решений.

Итак, m3=q и, значит,
5*m1 + 15 = 6*m2
или
m = 15 + 5*d1 - 6*d2.
Чтобы получить m>=27, необходимо d2=-2 и d1=2 или d1=0.
Откуда m=37 и m=27.

Влад
Сообщения: 1615
Зарегистрирован: Ср, 07 янв 2004, 16:10
Откуда: PUNK_22_13
Контактная информация:

Сообщение Влад » Вт, 01 июн 2004, 13:29

Мощно. И есть что додумать =) А Вы кто, если не секрет? =)
:D :D :D
"Ты - мой вопрос на главный ответ!"(с)СЛОТ

She broke my heart.
You merely broke my life.


Я сразу всё, но я ничто.

Я тысячи людей, но я никто...

:D :D :D

Превратился в дерьмо, а как обратно - не знаю...

maxal

Сообщение maxal » Вт, 01 июн 2004, 15:14

бывший олимпиадник, ныне аспирант
забрел сюда случайно ;)

ОИ
Преподаватель ЛМШ
Сообщения: 156
Зарегистрирован: Чт, 08 янв 2004, 13:25
Откуда: Курган
Контактная информация:

Сообщение ОИ » Ср, 02 июн 2004, 8:39

Для разнообразия мнений, поделюсь своей версией решения этой задачи...
Пусть а1<а2<а3 - это наибольшие нат. делители трёх рассматриваемых чисел.
a2=(a1+a3)/2. Значит, a2>a3/2. (*)

a3 получается делением на 3 одного из рассмотренных чисел.

Теперь докажем, что одно из чисел (отличное от того, которое кратно 3) должно быть кратно 5.
Предположим противное. Тогда a2=<(m+2)/7=<(m-2)/6=<a3/2 (при m>=26).(случаи до m=26 можно перебрать отдельно)
А это противоречит неравенству (*)

Далее остаётся перебрать шесть вариантов:
1) a3=(m+2)/3, a2=m/5.
2) a3=m/3, a2=(m+2)/5.
3) a3=(m+2)/3, a2=(m-2)/5.
4) a3=(m-2)/3, a2=(m+2)/5.
5) a3=m/3, a2=(m-2)/5.
6) a3=(m-2)/3, a2=m/5.

В каждом случае находим a1=2a2-a3 и проверяем при каких m a3
будет делителем оставшегося числа (m-2, m или m+2).

Например, в 1 случае:
a1=(m-10)/15.
(m-2)/a1 = (15m-30)/(m-10)=15+ (120/(m-10)) - целое число.
Для этого, m-10 должно быть делителем 120, большим 16.
m-10=60.
m-10=40.
m-10=30
m-10=24.
m-10=20.
Теперь, для найденных m надо проверить, будет ли a1 - наибольшим делителем.
И так далее в каждом из 6 указанных случаев...
Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг...


Вернуться в «Доска математических объявлений»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 15 гостей