math.luga.ru : Форум

Помогите решить ничего не получается!
Найти наибольшое и наименьшее значение функции z=Ax^2+2Bxy+Ay^2 , в области x^2+y^2≤1!

Пожалуйста, помогите, у меня ничего не получается! А сдать надо во вторник! З

Необходимое условие экстремума внутри (z' по x)=(z' по y)=0. (z' по x)=2Ax+2By, (z' по y)=2Ay+2Bx. Имеем Ax+By=Ay+Bx=0. Из этой системы получаем y*(A^2-B^2)=0, x*(A^2-B^2)=0. Значит, точки, подозрительные на экстремум - это (0,0) и точки единичной окружности (т.к. при A^2=B^2 все сведется к исследованию выражения вида x^2+-2xy+y^2 - а тут применим тот же метод с частными производными). На окружности z(x,y)=A+2Bxy.
max(2xy) по границе равен 1 в точках x=y=1/sqrt(2) и x=y=-1/sqrt(2) т.к. 1>=x^2+y^2>=2xy; min(2xy) по границе равен -1 в точках x=-y=-1\sqrt(2) и x=-y=1\sqrt(2) т.к. 1>=x^2+y^2>=-2xy.
max z = max {0, A+B, A-B}; min z = min {0, A+B, A-B}.

Не, не так.
Минимальное (максимальное) значение может достигнуться либо
1) в точке локального экстремума, либо
2) на границе области.
Если матрица квадратичной формы невырождена, то 1) сводится к точке (0,0)
В случае 2) имеем, что это точка условного экстремума.
Составляем функцию лагранжа F=Ax^2 +2Bxy +Cy^2 - k(x^2 + y^2) и приравниваем её частные производные к нулю. Тогда получим систему уравнений из коих будет следовать, что искомые точки - это собственные векторы этой матрицы. Берём собственные векторы единичной длины (они ведь на круге радиуса 1 лежат) и тогда нетрудно увидеть, что значения нашей функции в этих точках будут в точности собственными значениями матрицы. Вот среди 0 и двумя собственными значениями и надо выбрать самое маленькое и самое большое значения. Сюда включается случай кратных собственных чисел - тогда любой ненулевой вектор будет собственным, а наша квадратичная форма имеет вид k(x^2 + y^2), где k - собственное число.
Случай вырожденности рассматривается аналогично, тогда вместо точки (0,0) получим диаметральный отрезок (точки прямой Ах + Ву = 0, лежащие в круге), а собственными значениями будут 0 и А + С.
При этом вектора, коллинеарные вектору (В, -А), то есть радиус-векторы точек диаметрального отрезка как раз и будут собственными для собственного значения 0. Поэтому минимальное и максимальное значение в этом случае надо выбирать из двух чисел 0 и А + С.