Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

[Виктор Сорокин]

Каждая принципиальная ошибка отбрасывает ферматиста на исходные, нулевые позиции. Но мое богатство возможных подходов к доказательству ВТФ столь велико, что редко случается, чтобы за неделю я не нашел весьма убедительный новый (и очень не похожий на все предыдущие) подход. И потому всех не сбежавших от меня читателей прошу приготовиться к сюрпризу /довожу до кондиции/.
(Кстати, есть ряд соображений, что это последний угол в теории Ферма о степенных биномах и малой теореме, где может таиться доказательство ВТФ.)

[Виктор Сорокин]

Сообщение.
Новое доказательство (без малой теоремы) основано на простом факте: число А+В-С не может быть нечетным.
Опубликую до 15 мая. Настроение бодрое, идём ко дну!

[Виктор Сорокин]

Теорема Ферма. Два доказательства
1. Хулиганское /для размышлений/

Вопрос: Если целочисленное раенство Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ умножить на 2ⁿ, то может ли оно превратиться в НЕцелочисленное?
Я думаю, что нет, но не настаиваю – большим специалистам виднее. А посему я своё доказательство называю хулиганским. Вот оно:

Итак, пусть для взаимно простых натуральных A, B, C, где C не кратно n,
Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ, где A+B=cⁿ.

Умножим ПОЧЛЕННО равенство 1° на 2ⁿ. Тогда число A+B умножится на 2, и, следовательно, его основание 2ⁿ умножится на 2^1/n и число с станет нецелым.
===========
Второе доказательство поинтересней. Поскольку 15 мая я ложусь на операцию (не страшную), то боюсь, что к этой дате оформить его качественно не смогу. Поэтому до 15 числа я опубликую лишь его суть, без цифровых вычислений на уровне 9-го класса. Кому очень не терпится, тот может может провести расчеты самостоятельно. Доказательство хоть и чисто арифметическое, но весьма интересное, как кубик-рубик.
До скорого.

[Виктор Сорокин]

Теорема Ферма. Простейшее доказательство

Памяти МАМЫ

Противоречие: Равенство Ферма не выполняется по (k+1)-м цифрам, где k – число нулей в нулевом окончании числа U=A+B-C=un^k.

Итак, допустим, что для взаимно натуральных A, B, C и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ, или Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0, где
2°) U=A+B-C=un^k, где u не кратно n и, если оно оканчивается на цифру 1, то умножим равенство 1° на число 2ⁿ.


Доказательство ВТФ

После отбрасывания в числах A, B, C (записанных в базе n) k-значных окончаний A°, B°, C° в оставшейся части равенства
3°) A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ =0 сумма последних цифр D=A'+B'-C', согласно малой теореме Ферма, не равна нулю или n.
Однако восстановление в числах A, B, C отброшенных k-значных окончаний A°, B°, C° повлиять на значения
(k+1)-х цифр в степенях Aⁿ, Bⁿ, Cⁿ никак не может, так как они не зависят от k-значных окончаний оснований (следствие бинома Ньютона).
Что свидетельствует об истинности великой теоремы Ферма.

Мезос, 13 мая 2018.
=========
P.S. Незначительные мелочи могут быть добавлены позже.

[Виктор Сорокин]

Окончательный вариант:


Теорема Ферма. Простейшее доказательство. Отредактированный текст

Памяти МАМЫ

Доказательство проводится в системе счисления с простым основанием n>2.

Противоречие:
Равенство Ферма, записанное в базе n, не выполняется по (k+1)-м цифрам, где k – число нулей в нулевом окончании числа U=A+B-C=un^k.

Обозначения, записанные в системе счисления с простым основанием n>2:
A' / A_(k) – последняя / k-я от конца цифра числа A;
A_[k] – k-значное окончание числа A;
A_[k+] – число, оставшееся после удаления k-значного окончания числа A.

Итак, допустим, что для натуральных A, B, C и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ, или Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0, где

2°) U=A+B-C=un^k, где u не кратно n. И если цифра

3°) u*={U_(k+1)-(A_[k]+B_[k]-C_[k])]_(k+1)}'=0,

то умножим равенство 1° на 2ⁿ [для удобства, обозначения всех цифр и чисел с новыми значениями оставим прежними], после чего

4°) u*=(A_(k+1)+B_(k+1)-C_(k+1))'≠0 [т.к. A_[k]+B_[k]-C_[k]=0 или n^k].

5°) Лемма. A'=Aⁿ' [другая форма малой теоремы Ферма].

6°) Из бинома Ньютона (A_(k+1)n^k + A_[k])ⁿ=Dn^k+2+A_(k+1)n^k+1+A_[k]ⁿ следует, что (k+1)-я цифра степени не зависит
от (k+1)-й цифры основания.

Доказательство ВТФ

Согласно 5° и 2°, цифра (A_[k+]ⁿ+B_[k+]ⁿ-C_[k+]ⁿ)'=(A_(k+1)+B_(k+1)-C_(k+1))'=u*≠0 и после восстановления в числах A, B, C отброшенных окончаний A_[k], B_[k], C_[k] сохраняет своё значение, поскольку (A_[k]ⁿ+B_[k]ⁿ-C_[k]ⁿ)_[k+1]=0 (см. 6° и 1°), а (k+1)-е цифры оснований A, B, C не участвует в формированиии цифры (Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ)_(k+1) (см. 6°).
Что подтверждает истинность великой теоремы Ферма.

Мезос, 13 мая 2018.

[Виктор Сорокин]

Теорема Ферма. 57. Суть доказательства.

Понятно, что при при любых положительных А, В, С и равенстве А+В-С=0 всегда Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ<0. Поэтому в гипотетическом равенстве Ферма число U=А+В-С>0.
При этом (напомню, что доказательство проводится в системе счисления с простым основанием n>2), согласно малой теореме Ферма, последние цифры степеней равны последним цифрам оснований и последняя цифра числа U равна нулю. Однако, поскольку число нулей на конце числа U конечно (и равно k), то перед ними будет стоять ненулевая цифра с номером k+1. Вот по этим-то цифрам равенство Ферма и нарушается.

Для наглядности я возьму для k значение 2. И в этом случае цифра U''' не равна нулю! Небольшое неудобство для доказательства создает лишь одно обстоятельство – цифра U''' равная 1. Я не буду повторяться с объяснением этого момента (см. заметку «Теорема Ферма. 56. Самый трудный момент доказательства»), а покажу, как от этой трудности избавиться. Для этого всего-навсего нужно умножить равенство Ферма на 2ⁿ, после чего все числа A, B, C, U, а значит и цифра U''' числа U умножатся на 2. Нам это нужно для того, чтобы после отбрасывания двузначных окончаний A°, B°, C° в числах А, В, С сумма третьих цифр (A'''+B'''-C'''), которые в числах A*, B*, C* станут последними, не оказалась бы равной нулю. Вот и вся подготовительная работа для доказательства ВТФ.

Ну а теперь начинается та самая сказка, которая так покорила Пьера Ферма.

Для начала мы отрезаем у чисел А, В, С двузначные окончания A°, B°, C° и оставляем лишь головные части A*, B*, C*, у которых последние цифры есть третьи цифры А''', В''', С''' в числах А, В, С с последней цифрой их суммы А'''+В'''-С''', не равной нулю! Но по этой причине не равна нулю и последняя цифра суммы A*ⁿ+B*ⁿ-C*ⁿ.

А теперь мы ВЕРНЕМ на свои места отброшенные окончания A°, B°, C° и посмотрим, как они повлияют на последнюю цифру суммы третьих цифр (Aⁿ)'''+(Bⁿ)'''-(Cⁿ)''', которая до восстановления была последней цифрой суммы А'''+В'''-С'''.

И тут нас ожидает настоящий подарок: трехзначное окончание суммы A°ⁿ+B°ⁿ-C°ⁿ равно... НУЛЮ и абсолютно не зависит от третьих цифр оснований A''', B''', C''' [что видно из бинома Ньютона (A'''n² + A°)^n=Dn⁴+A'''n³+A°ⁿ (3-я цифра степени не зависит от 3-й цифры основания)] по этой причине цифры A''', B''', C''' изменить значение последней (НЕНУЛЕВОЙ!) цифры в числе A*ⁿ+B*ⁿ-C*ⁿ и третьей в числе A^n+B^n-C^n НЕ могут!!! Таким образом, третья цифра в равенстве Ферма, равная сумме последней цифры числа A*ⁿ+B*ⁿ-C*ⁿ и третьей (равной НУЛЮ!) цифры числа
A°ⁿ+B°ⁿ-C°ⁿ ОСТАЕТСЯ НЕ НУЛЕВОЙ!

Вот и вся теорема.

[Виктор Сорокин]

Теорема Ферма. 60. Феномен понимания

Когда-то, в восьмом или девятом классе, я пытался читать Гегеля и Маркса и... ничего не понимал! Хоть тресни! Каждое слово, вроде бы, понятно, а фраза в целом – тёмный лес! Меня разбирало зло, но и оно не помогло – пришлось труды корифеев отложить на несколько лет...

Интереснейшей задачкой для ПОНИМАНИЯ оказалось мое доказательство Великой теоремы Ферма. В конце концов выяснилось, что доказательство состоит, по существу, только ИЗ понимания взаимосвязи между несколькими числами и цифрами. Вот эти числа, записанные в системе счисления с простым основанием n>2.

Сумма чисел А+В-С оканчивается на k нулей, а перед нею стоит ненулевая (k+1)-я цифра. Если она равна 1, то доказательство существенно осложняется. Поэтому равенство Ферма предварительно умножается на 2ⁿ, после чего (k+1)-я цифра числа А+В-С становится равной 2, а последняя цифра u' суммы (k+1)-х цифр А_(k+1)+В_(k+1)-С_(k+1) чисел А, В, С не равна нулю.

А теперь мы рассмотрим такие числа:
А*, В*, С* с последней цифрой суммы А*+В*-С* равной u' – головные части чисел
А, В, С после удаления у них k-значных окончаний A°, B°, C°.
А*ⁿ+В*ⁿ-С*ⁿ – с такой же последней цифрой (А*ⁿ+В*ⁿ-С*ⁿ)', как у числа
А*+В*-С*, то есть с u' не равной нулю (следствие малой теоремы Ферма).
Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ (в равенстве Ферма) со всеми цифрами равными нулю.
A°ⁿ+B°ⁿ-C°ⁿ с (k+1)-значным окончанием равным нулю, поскольку в равенстве
Ферма оно никак не зависит от (k+1)-х цифр чисел А, В, С.

И вот что мы наблюдаем (причем без всяких вычислений!):

Последние цифры чисел А*, В*, С* являются И последними цифрами чисел А*ⁿ, В*ⁿ, С*ⁿ. А ЭТИ ЖЕ САМЫЕ цифры в числах А, В, С, но уже с (k+1)-ми номерами, к (k+1)-м цифрам степеней Aⁿ, Bⁿ, Cⁿ НИКАКОГО ОТНОШЕНИЯ НЕ ИМЕЮТ!
Поэтому, когда мы к основаниям А*, В*, С* в числе А*ⁿ+В*ⁿ-С*ⁿ припишем k-значные окончания A°, B°, C° чисел А, В, С, то есть ВОССТАНОВИМ числа А, В, С до первоначальных значений, то (k+1)-значные окончания чисел A°ⁿ+B°ⁿ-C°ⁿ и Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ будут РАВНЫ, и равны нулю, и повлиять на (k+1)-ю цифру (=u') числа Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ (бывшую ранее последней цифрой числа А*ⁿ+В*ⁿ-С*ⁿ) НЕ МОГУТ!

Лишь в единственном случае k-я цифра основания влияет на k-ю цифру степени: когда k=1. При этом последние цифры основания и степени определяют друг друга взаимно однозначно. А вот k-е (k>1) цифры оснований уже не имеют никакого отношения к k-м цифрам степени. И, т.о., в равенстве Ферма (k+1)-я цифра числа Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ НЕ РАВНА НУЛЮ.
Так что Пьер Ферма не ошибался. Попробуйте понять и вы.

[Виктор Сорокин]

Есть сомнения. Готовлю запасной вариант: числа А, В, С являются бесконечными степенями своих последних цифр.
До скорого!

[Виктор Сорокин]

Теорема Ферма. Доказательство в системе счисления с простым основанием n>2.

Противоречие: числа А, В, С есть бесконечные степени своих последних цифр А', В', С'.

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A_(t) – t-я цифра от конца числа A; а также (для удобства): A₍₁₎=A', A₍₂₎=A'', A₍₃₎=A'''...
A_[t] – t-значное окончание (или [t]-окончание) числа A. x – какое-то число.

L.1. Лемма. A'=Aⁿ'. Следствия: если A_[t]=D_[t], то Aⁿ_[t+1]=Dⁿ_[t+1] (и наоборот). Отсюда:
L.1a. Aⁿ_[2]=A'ⁿ_[2], Aⁿⁿ_[3]=A'ⁿⁿ_[3], Aⁿⁿⁿ_[4] A'ⁿⁿⁿ_[4],... A^{n^k}_[k+1]=A'^{n^k}_[k+1].
L.1b. Если A_[2]=dⁿ_[2], то Aⁿ_[3]=dⁿⁿ_[3] и A^{n^k}_[k+2]=^{n^(k+1)}_[k+2].
L.2. Лемма. Из бинома Ньютона (A_(k+1)n^k+A_[k])ⁿ=Dn^k+2+A_(k+1)n^k+1A_[k]^n-1+A_[k] ⁿ следует, что (k+1)-я цифра степени не зависит от (k+1)-й цифры основания. В частности, значение цифр (Aⁿ)_(t+1), (Aⁿⁿ)_(t+1)... (A^{n^(t+1)})_(t+1) не зависят от цифр A_(t+1), A_(t),... A''. И окончания Aⁿ_[2]=A'ⁿ_[2], Aⁿⁿ_[3]=A'ⁿⁿ_[3], Aⁿⁿⁿ_[4]=A'ⁿⁿⁿ_[4], A^{n^k}_[k+1]=A'^{n^k}_[k+1] ... .
L.3. Лемма. Если Aⁿ_[2]=A'ⁿ_[2] и A'≠0, то число A тождественно представимо в виде A=A*ⁿ+dn^s, s – сколь угодно велико. И если A^{n^k}_[k+1]=A'^{n^k}_[k+1], то A=A*^{n^k[/sup+dn[sup]s}.
Действительно, из бинома Ньютона (A*'ⁿ+A*''n)ⁿ, с учетом малой теоремы Ферма, следует A*''=A''', и т.д.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где (ABC)'≠0,

1°) Aⁿ=Cⁿ-Bⁿ, Bⁿ=Cⁿ-Aⁿ, Cⁿ=Aⁿ+Bⁿ, и Aⁿ=(C-B)P, Bⁿ=(C-A)Q, Cⁿ=(A+B)R, где

1a°) Числа в парах (C-B, P), (C-A, Q), (A+B, R) взаимно простые.
1b°) A_[2]=(A')ⁿ_[2], B_[2]=(B')ⁿ_[2], C_[2]=(C')ⁿ_[2]. При этом в числа A, B, C входит каждое простое основание соответственно из (C-B), (C-A), (A+B), являющихся степенями.
1c°) P=pⁿ, Q=qⁿ, R=rⁿ, и P'=p'=Q'=q'=R=r'=1.
1d°) [U=] A+B-C=un^k, где u'≠0 и k>1 (простое следствие из 1° и малой теоремы Ферма).

1e°) В случае, если, например, C=dn^k, сомножитель A+B в числе Cⁿ оканчивается на kn-1 нулей и в процессе решения системы уравнений 4° не участвует (не мешая доказателству), при этом на каждом этапе число k возрастает на 1.

Доказательство ВТФ

Первый этап (цикл)

Исходя из 1b° и согласно L.3, представим числа A, B, C в эквивалентной форме:

2°) A=A*ⁿ+xn^s, B=B*ⁿ+xn^s, C=C*ⁿ+xn^s,

при этом значение числа s возьмём столь большим, что у двух разных простых оснований чисел A, B, C s-значные окончания будут различными [ключевой момент].
Затем, подставим эти значения чисел A, B, C из 2° в 1° и, раскрыв биномы, получим:

3°) (A*ⁿⁿ+xn^s)=(C-B)P, (B*ⁿⁿ+xn^s)=(C-A)Q, (C*ⁿⁿ+xn^s)=(A+B)R.

Поскольку в этих равенствах правые сомножители есть взаимно простые числа, то, с учетом указания в 2°, все равные простые сомножители из левых частей попадут только в один из двух правых сомножителей (равенство для числа A, B, или C кратного n в 3° не включается). И, следовательно, все шесть сомножителей в правых частях равенств 3° будут иметь тот же степенной вид, что и левые части:

4°) C-B=(C-B)* ⁿⁿ+xn^s, (C-A)=(C-A)* ⁿⁿ+xn^s, A+B=(A+B)* ⁿⁿ+xn^s;
P=P*ⁿⁿ+xn^s, Q=Q*ⁿⁿ+xn^s, R=R*ⁿⁿ+xn^s, где P_[3]=Q_[3]=R_[3]=1.

А теперь, решая систему из первых трех уравнений 4° относительно A, B, C и учитывая, что трехзначные окончания чисел (C-B)*ⁿⁿ, (C-A)*ⁿⁿ и (A+B)*ⁿⁿ есть окончания чисел Aⁿ, Bⁿ и Cⁿ и потому удовлетворяют равенству (C-B)*ⁿⁿ+(C-A)*ⁿⁿ-(A+B)*ⁿⁿ0 (mod n³), мы получаем равенства по трехзначным окончаниям:

5°) A_[3]=A'ⁿⁿ_[3], B_[3]=B'ⁿⁿ_[3] и C_[3]=C'ⁿⁿ_[3] или AA'ⁿⁿ, BB'ⁿⁿ и CC'ⁿⁿ (mod n³).

Второй этап (цикл)

А далее, согласно L.3, мы опять, как и в 2°, представляет числа A, B, C в виде:
6°) A=A*ⁿⁿ+xn^s, B=B*ⁿⁿ+xn^s, C=C*ⁿⁿ+xn^s, где s опять столь велико, что у двух разных сомножителей чисел A, B, C s-значные окончания будут различными.

И далее мы повторяем первый цикл с получением равенств 5° в виде

7°) AA'^{n^k}, BB'^{n^k} и CC'^{n^k} (mod n^k, здесь k=3), а далее k стремится к бесконечности.

Что и доказывает истинность теоремы Ферма.

Мезос, 16 марта 2016 / 1 июня 2018

[Виктор Сорокин]

На пути к совершенству

Теорема Ферма. Классическое доказательство

Памяти МАМЫ

Равенство Ферма противоречиво по 4-м цифрам степеней.

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', A_k – последняя, k-я цифра от конца числа A; A_[k] – k-значное окончание числа.

Лемма (ключ). Из бинома Ньютона Aⁿ=(Dn³+A₃n²+A_[2])ⁿ=En⁴+A₃n³A_[2]^n-1+A_[2]ⁿ следует, что 3-я цифра степени Aⁿ не зависит от 3-й цифры основания A.
Следствие: в равенстве Ферма цифра (A_[3]ⁿ+B_[3]ⁿ-C_[3]ⁿ)₃ =0 независима от A₃, B₃, C₃.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C c (ABC)'≠0,
1°) Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0, где A+B-C=un^k (мы рассмотрим доказательство лишь для k=2) и
1a°) A_[2]=(A')ⁿ_[2], B_[2]=(B')ⁿ_[2], C_[2]=(C')ⁿ_[2], т.е. A_[3], B_[3], C_[3] представимы в виде:
1b°) A_[3]=(A')ⁿ_[3]+an², B_[3]=(B')ⁿ_[3]+bn², C_[3]=(C')ⁿ_[3]+cn², где a, b и c – цифры.
После подстановки этих значений в 1° мы, согласно лемме (и с учетом единичных окончаний в (n-1)-х степенях при вторых членах разложения биномов) имеем:
1c°) Aⁿ_[4]=(A')ⁿⁿ_[4]+an³, Bⁿ_[4]=(B')ⁿⁿ_[4]+bn³, Cⁿ_[4]=(C')ⁿⁿ_[4]+an³. И теперь из 1° следует:
2°) {(A')ⁿⁿ_[4]+(B')ⁿⁿ_[4]-(C')ⁿⁿ_[4]}+{an³+bn³-cn³}==0 (mod n⁴).

Доказательство ВТФ

3°) Составим n-1 эквивалентных равенств 1° (следовательно и 2°) с помощью почленного умножения равенства 1° на g^{n^3}, где g=1, 2, … n-1.

И теперь после суммирования n-1 равенств отдельно для букв A, B, C мы получаем 4-ю цифру у каждой суммы, равную (n-1)/2. Такое же значение будет иметь и 4-я цифра общей суммы слагаемых в левой части. То есть равенство Ферма 1° не выполняется.

[Для суммирования степенных окончаний их следует объединить в пары с последними цифрами g и n-g: gⁿⁿ+(n-g)ⁿⁿ, после чего 4-я цифра в каждой паре равна 1, а число пар равно (n-1)/2, что для каждой буквы дает итоговое значение для 4-й цифры (n-1)/2.]
Сумма же чисел a, b, c, умноженных на 1, 2,... n-1, оканчивается на ноль и в образовании 4-й цифры в итоговом равенстве участия не принимает.

Случай же, например, с A'=0 доказывается почти так же, но уже для 5-й цифры.
Случаи с k>2 доказываются абсолютно так же, но с помощью степенных окончаний (A')^{n^k}_[k+1], (B')^{n^k}_[k+1], (C')^{n^k}_[k+1].

В общем, дядя Петя скучать не даст!

Mezos, 09.06.2018
================
P.S. Впрочем, есть сомнения в вычислениях. Пытаюсь посчитать 5-е цифры.

[Виктор Сорокин]

Суши вёсла!

Теорема Ферма. Ненормальное доказательство
ненормального ферматиста

Памяти МАМЫ

Противоречие: В эквивалетном равенстве Ферма число U=A+B-C нечетно.

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', A_(k) – последняя, k-я цифра от конца числа A; A_[k] – k-значное окончание числа;
A_[s+] – число A с обнуленным s-значным окончанием; «девятка» – цифра n-1.

Итак, допустим для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C
1°) Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0, где
1a°) U=A+B-C=2un^k > 0, где k>1, u'=U_(k+1) не равна нулю и U – s-значное число;
1b°) V=A_[k]+B_[k]-C_[k], равное либо нулю, либо n^k;
1c°) W=A_[s+]+B_[s+]-C_[s+], равное либо нулю, либо n^s;
Для четности числа U необходимо, чтобы либо V=W=0, либо V=n^k и W=n^s.
1d°) A+B>C>A>B>U>0.
1e°) Если C'=0, то (A+B)^kn-1 (см. Приложение http://vixra.org/pdf/1707.0174v1.pdf ).

Доказательство ВТФ

2°) Если C'=0 (и C_[k]=0), то A_[k]+B_[k]=V=n^k.
Умножим равенство 1° на число Gn из равенства (A+B)G=n^s-n^kn-1 (число s существует согласно малой теореме Ферма). Теперь «голова» числа (A+B)_[kn-1+] состоит из одних «девяток», цифра (A+B)_(s)-C_(s) не может возрасти и, следовательно, W=0.
А с учётом V=n^k число U является нечетным и решение уравнения 1° не существует.

3°) Если же C' не равно нулю, то умножим равенство 1° на число Gⁿ из равенства CG=(n^s-1)². Теперь V=0, а вот цифра W_(s+1), наоборот, не равна нулю, поскольку (A+B)>C и сумма цифр A_(s)+B_(s) должна быть больше C_(s) (=n-1). И опять, с учетом равенства V=0, мы получаем, что W не равно нулю и, следовательно, уравнение 1° не имеет решения и в этом случае, что и свидетельствует об истинности теоремы Ферма.

Mezos, 12.06.2018

[Виктор Сорокин]

Теорема Ферма. Числа A, B, C бесконечны

Памяти МАМЫ

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', A_(k) – первая и т.д., k-я цифра от конца числа A; A_[k] – k-значное окончание числа.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C c (ABC)'≠0
1°) Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0, где
1a°) A_[2]=(A')ⁿ_[2], B_[2]=(B')ⁿ_[2], C_[2]=(C')ⁿ_[2],
Из чего следует, что окончания A_[s], B_[s], C_[s] представимы в тождественном виде:
1b°) A_[s]=(a_[s-1])ⁿ_[s]+a_(s)n^s-1, B_[s]=(b_[s-1])ⁿ_[s]+a_(s)n^s-1, C_[s]=(c_[s-1])ⁿ_[s]+a_(s)n^s-1, где s>1.
После подстановки этих (легко находимых) значений в 1° мы (учитывая, что последняя цифра в (n-1)-х степенях во вторых членах разложения биномов равна 1) имеем:
1c°) Aⁿ_[s+1]=(a_(s))ⁿⁿ_[s+1]+a_(s+1)n^s, Bⁿ_[s+1]=(b_(s))ⁿⁿ_[s+1]+b_(s+1)n^s, Cⁿ_[s+1]=(c_(s))ⁿⁿ_[s+1]+c_(s+1)n^s. И из 1°:
2°) {(a_(s))ⁿⁿ_[s+1]+(b_(s))ⁿⁿ_[s+1]-(c_(s))ⁿⁿ_[s+1]}+{a_(s+1)n^s+b_(s+1)n^s-c_(s+1)n^s}==0 (mod n^s+1).

Доказательство ВТФ

4°) Сначала проверим равенство 1° по однозначным числам {(a')ⁿⁿ+(b')ⁿⁿ-(c')ⁿⁿ}_[2]=0.
Для этого с помощью его почленного умножения на g^{n^3}, где g=1, 2, … n-1, составим n-1 эквивалентных равенств 4° и просуммируем их для каждой из букв A, B, C.
При этом числа a', b', c' сначала превратятся в a'g_i= d_i'+nd_i'', b'g_i=e_i'+ne_i'', c'g_i=f_i'+nf_i''. И после подстановки их в равенство 4° оно превращается в
5°) {(d_i')ⁿⁿ+(e_i')ⁿⁿ-(f_i')ⁿⁿ}+n³{d_i''+e_i''-f_i''}==0 (mod n⁴), где (d_i''+e_i''-f_i'')'=0 [она находится из разницы сумм
S(a'g_i+b'g_i-c'g_i+)-S(d_i'+e_i'-f_i')].
Для суммирования же степенных окончаний в первой скобке их следует объединить в пары d_i' и n-d_i': d_i'ⁿⁿ+(n-d_i')ⁿⁿ, после чего 4-я цифра в каждой паре равна 1, а число пар равно (n-1)/2, что для каждой буквы дает итоговое значение для 4-й цифры (n-1)/2. Это же значение будет иметь и 4-я цифра вся сумма в левой части равенства 5°.
Следовательно, для выполнения равенства 4° по 4-м цифрам числа a, b, c должны быть дополнены вторыми цифрами a'', b'', c'' с суммой a''+b''-c'' не равной нулю.

А далее мы повторяем рассуждения п.4° уже для двузначных чисел a_[2], b_[2], c_[2]:
6°) Составим (n-1)² эквивалентных равенств 4° с помощью его почленного умножения равенства 4° на g^{n^3}, где g=1, 2, … n²-1, и просуммируем их для каждой из букв A, B, C. В результате мы получаем 5-ю цифру у каждой суммы и у общей левой суммы равенства 4° в целом, равную (n-1)/2, т.е. по 5-й цифре равенство не выполняется. И опять, как в предыдущем случае, для восстановления равенства мы с необходимостью должны ввести в числа a, b, c уже третьи цифры a''', b''', c''' (с ненулевой суммой).

И так далее – до бесконечности, что означает, что равенство 1° с конечными числами не существует.

7°) Случай, например, A'=0 доказывается абсолютно так же, но после подстановки
A=n^s-B*, где B*_[2]=(B*')ⁿ_[2] и s сколь-угодно велико.

Mezos, 13.06.2018

[Виктор Сорокин]

Виктор Сорокин

Теорема Ферма. 2-й случай (число C кратно n)
Памяти мамы

Противоречие: после умножения равенства Ферма на 11ⁿ оно становится неравенством.

Обозначения в системе счисления с основанием n, где простое n>2:
A' / A_(k) – первая / k-я цифра от конца числа A;
A_[k] – k-значное окончание числа.
A[kn+1+][/sub] – число A без k-значного окончания.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B и C=cn^k (k>1)
1°) Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0 [Cⁿ=(A+B)R], где, как известно,
1a°) A_[2]=(A')ⁿ_[2], B_[2]=(B')ⁿ_[2]), c_[2]=(c')ⁿ_[2]); c'≠0, (A+B)_[kn-1]=0 и (A+B) _(kn)≠0.

После представления чисел A и B в 1° в виде A=A_[kn-1]+n^kn-1A_[kn+] и B=B_[kn-1]+n^kn-1B_[kn+] и раскрытия биномов Ньютона мы на длине в kn+2 цифр имеем:

2°) (A_[kn-1]ⁿ+n^knA_[kn-1]^n-1A_[kn+]...)+(B_[kn-1]ⁿ+n^knB_[kn-1]^n-1B_[kn+]...)-n^kncⁿ=0 (mod n^kn+2), где
(A_[kn-1]ⁿ+B_[kn-1]ⁿ)_[kn]=0 и (A_[kn-1]^n-1)_[2]=(B_[kn-1]^n-1)_[2]=1 (см. 1a°), и теперь

3°) (Aⁿ[kn+1+][/sub]+Bⁿ[kn+1+][/sub]-cⁿ[kn+1+][/sub])_[2]=0, где (sic!)
(Aⁿ[kn+1+][/sub]+Bⁿ[kn+1+][/sub])_[2]=(A_[kn+]+B_[kn+])_[2].

Доказательство ВТФ

Умножив почленно равенство 2° на 11ⁿ, мы видим, что в 3° число Aⁿ[kn+1+][/sub]+Bⁿ[kn+1+][/sub], или
A_[kn+]+B_[kn+], умножилось на 11, а число cⁿ[kn+1+][/sub] – на 01 (=11ⁿ_[2]), и, следовательно, теперь тождественное равенство 3° по вторым цифрам не выполняется.

Из чего следует истинность ВТФ для 2-го случая.

Mezos, 16.06.2018
================
P.S. 1-й случай доказывается иначе.

[Виктор Сорокин]

Виктор Сорокин

Теорема Ферма. 2-й случай (число C кратно n)
Памяти мамы

Противоречие: после умножения равенства Ферма на 11ⁿ оно становится неравенством.

Обозначения в системе счисления с основанием n, где простое n>2:
A' / A_(k) – первая / k-я цифра от конца числа A;
A_[k] – k-значное окончание числа.
A[kn+1+][/sub] – число A без k-значного окончания.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B и C=cn^k (k>1)
1°) Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0 [Cⁿ=(A+B)R], где, как известно,
1a°) A_[2]=(A')ⁿ_[2], B_[2]=(B')ⁿ_[2]), c_[2]=(c')ⁿ_[2]); c'≠0, (A+B)_[kn-1]=0 и (A+B) _(kn)≠0.

После представления чисел A и B в 1° в виде A=A_[kn-1]+n^kn-1A_[kn+] и B=B_[kn-1]+n^kn-1B_[kn+] и раскрытия биномов Ньютона мы на длине в kn+2 цифр имеем:

2°) (A_[kn-1]ⁿ+n^knA_[kn-1]^n-1A_[kn+]...)+(B_[kn-1]ⁿ+n^knB_[kn-1]^n-1B_[kn+]...)-n^kncⁿ=0 (mod n^kn+2), где
(A_[kn-1]ⁿ+B_[kn-1]ⁿ)_[kn]=0 и (A_[kn-1]^n-1)_[2]=(B_[kn-1]^n-1)_[2]=1 (см. 1a°), и теперь

3°) (Aⁿ[kn+1+][/sub]+Bⁿ[kn+1+][/sub]-cⁿ[kn+1+][/sub])_[2]=0, где (sic!)
(Aⁿ[kn+1+][/sub]+Bⁿ[kn+1+][/sub])_[2]=(A_[kn+]+B_[kn+])_[2].

Доказательство ВТФ

Умножив почленно равенство 2° на 11ⁿ, мы видим, что в 3° число Aⁿ[kn+1+][/sub]+Bⁿ[kn+1+][/sub], или
A_[kn+]+B_[kn+], умножилось на 11, а число Cⁿ[kn+1+][/sub], или cⁿ, – на 01 (=11ⁿ_[2]), и, следовательно, теперь тождественное равенство 3° по вторым цифрам не выполняется.

Из чего следует истинность ВТФ для 2-го случая.

Mezos, 16.06.2018
================
P.S. 1-й случай доказывается точно так же.

[Виктор Сорокин]

Теорема Ферма. Шуточное (?) доказательство

Памяти мамы

Противоречие: число А+В-С имеет цифру старше старшего разряда.

Обозначения в системе счисления с простым основанием n, где n>2.
A_s – s-я цифра от конца числа A.

Итак, допустим для взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0, где, как известно,
1a°) A+B>C>A>B>U=A+B-C=un^k > 0, где k>0 и цифра u₁≠0;
1b°) s номер разряда первой (старшей) цифры числа U;
1c°) если C кратно n, то C=cn^k.

Умножим равенство 1° на число gⁿ (оно существует) из равенства Cg=n^v+k-n^k=n^s-n^k, где s>>kn. Теперь все цифры числа C (не считая нулей в окончании) будут равны n-1.

Доказательство ВТФ

Рассмотрим s-е цифры A_s, B_s, C_s (они существуют!) чисел A, B, C в числе U:
C_s=n-1; сумма цифр A_s+B_s (вместе с возможной единицей из предыдущешго разряда) должна быть больше C_s (в противном случае число U<0); но тогда число A_s+B_s-C_s образует единицу СЛЕДУЮЩЕГО, (s+1)-го, разряда в числе U и разряд самой старшей цифры в числе U равен не s, а s+1, что противоречит 1b°.

Что свидетельствует об истинности великой теоремы Ферма.

Mezos. 22.06.2018