Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

[Виктор Сорокин]

Полагаю, что Второй случай может быть доказан ТЕМ же самым методом, что и Первый, с неравенством нулю (kn)-й цифры. Было бы здорово!

[Виктор Сорокин]

Великая теорема Ферма. Абреже.

В ПЕРВОМ СЛУЧАЕ (последние цифры A', B', C' больше 0) в одном из эквивалентных равенств Ферма третья цифра E''' числа E=A'^n+B'^n-C'^n равна 2, а третья цифра числа E-D=A'^n-A^n+B'^n-B^n-(C'^n-C^n), где D=0, равна 1, и противоречие налицо.

ВО ВТОРОМ СЛУЧАЕ (например A=A°n^k, но (BС)'=/=0) после преобразования 3kn-значного окончания числа B в 1 простейшие расчёты показывают, что при однозначном числе A° (3kn-1)-я цифра числа A^n-C^n нулю не равна и не меняется после восстановления всех остальных цифр чисел A, B, C.

[Виктор Сорокин]

Великая теорема Ферма (без n=2^t) для академиков

Теорема. Уравнение
0°) X^m=Z^m-Y^m, где число m (=tn) содержит простой сомножитель n>2, не имеет решения в целых положительных числах.

Основы теории простого числа и равенства Ферма 0°:
Все числа рассматриваются в системе счисления с простым основанием n>2. Простейшие доказательства из школьной программы не приводятся.

Обозначения.
A', A'', A_(k) – первая, вторая, k-я цифра от конца в числе A;
A_[k] – k-значное окончание числа A (т.е. A_[k]=A mod n^k);

При подстановке X^t=Aⁿ; Z^t=Bⁿ; Y^t=Cⁿ равенство 0° сводится к равенству
1°) (D=...) Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0, откуда, используя формулы разложения:
2°) (D=...) (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0.

3°) После деления равенства 1° на Tⁿ, где T - НОД чисел A, B, C, все новые значения чисел A, B, C в новом равенстве 3° становятся попарно взаимно простыми.

4°) [u][u][u]Теорема[/u][/u][/u]. При A' ≠ 0, B' ≠ 0, C' ≠ 0 числа в парах (C-B, P); (C-A, Q); (A+B, R) в равенстве 2° являются взаимно простыми.
Истинность утверждения следует из представления числа P (аналогично чисел Q и R) в формулах разложения в виде
4a°) P=S(C-B)²+nC^(n-1)/2B^(n-1)/2, где C-B, C и B взаимно простые.

4b°) Следствие из 4° и 4a°. Если A' = n^kA°, где A°' ≠ 0, то P' = 0 и P'' ≠ 0, C-B=aⁿn^kn-1;

4c°) Следствие из 4°. Если A' ≠ 0, B' ≠ 0, C' ≠ 0, то C-B=aⁿ; C-A=bⁿ; A+B=cⁿ. P=pⁿ; Q=qⁿ; R=rⁿ.

5°) Если A' ≠ 0, то (A^n-1)' = 1 [Малая теорема Ферма]).

6°) Если A' ≠ 0, B' ≠ 0, C' ≠ 0, то [следствие из 1°, 2° и 5°] P'=Q'=R'=1.

7°) Следовательно [см. бином Ньютона для числа A=(A°n+1)ⁿ], P_[2]=Q_[2]=R_[2]=01.

8°) Следовательно [см. 4c° и бином Ньютона], p'=q'=r'=1.

9°) Следовательно [2° и 7°], если (ABC)'≠0, то (A+B-C)_[2]=0.

10°) Следовательно [9°], (A+B-C)'=0.

11°) Следовательно [9° и 10°], (A+B-C)'' равна либо 0, либо n-1.

12°) Теорема. Все n цифр (gt)', где 0<g<n и t=1, 2, ... n, различны.

13°) Следствие. Для заданной цифры g существует такая цифра t, что (gt)' = 2

13a°) Если A_[2]=Aⁿ_[2], то для заданного A_[t] существует такое gⁿⁿ, что (Agⁿⁿ)_[t]=1.

14°) [b]Теорема[/b]. Сумма S=1ⁿ+2ⁿ+...(n-1)ⁿ оканчивается на 00 и цифра S3 равна (n-1)/2.

15°) Следствие. Если (ABC)' ≠ 0, то все E''' = (A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ)''' >0 и различны [в противном случае сумма [(A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ)tiⁿ]''' = 0 (i=1, 2, … n-1), а не (n-1)/2].

16°) Цифра Aⁿ_(k+1) однозначно определяется окончанием A_[k] и, следовательно, окончание aⁿ_[2] не зависят от цифры a''! Факт вытекает из записи числа A в виде A=dn+A' и разложения бинома Aⁿ=(dn+A')ⁿ.

17°) Если A=A'ⁿn²ⁿ+1, то (A'ⁿn²ⁿ+1)ⁿ=...+[(n-1)/2]A°ⁿn⁴ⁿ⁺¹+A'ⁿn²ⁿ⁺¹+1 [см. бином Ньютона].

18°) Если Aⁿ=Xn⁴ⁿ⁺¹+A'ⁿn²ⁿ⁺¹+1, где A'ⁿ<n²ⁿ, то A=...+A'ⁿn²ⁿ+1 [17°].

19°) В равенстве 3° число D=E+F, где E = A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ и F=(A''+B''-C'')n²+Gn³.

***

Доказательство ВТФ. Случай I [(ABС)'≠0]

В равенстве 3°цифра E'''=(A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ)''' (и E_[2]=0) не равна нулю (в противном случае третья цифра в сумме Egⁿ (g=1, 2, ...n-1,) равна нулю, а не (n-1)/2 [14°]. Поэтому с помощью умножения равенства 3° на некоторое gⁿⁿⁿ мы можем превратить ее в 2 [13°].
Но, как видно из биномов Ньютона для чисел A, B, C [19°], для ее обнуления нужно, чтобы цифра (A''+B''-C'')' была равна n-2. Однако она равна либо 0, либо n-1 [11°]. Таким образом, равенство 1° по третьей цифре не выполняется.

Второй случай [например A'=0, но (BС)'≠0]

Итак, пусть для взаимно простых натуральных A [A=n^ka, здесь a - число], B и C
20°) Aⁿ=Cⁿ-Bⁿ и Cⁿ-Bⁿ=(C-B)P, где (C-B)_[kn-1]=0, P=P°n, Aⁿ=n^knA°ⁿ [4b°].
С помощью умножения равенства 20° на соответствующее число gⁿⁿ преобразуем окончание числа B длиной в 3kn цифр в 1 [13a°]. После чего [4b°]
21°) A=an^k, C=cn^2kn-1+1, B=...n^3kn+1; Aⁿ=aⁿn^kn, Cⁿ=C°n^kn+1=...cn^kn+1, Bⁿ=...n^3kn+1+1.
После подстановки этих значений в 20° и раскрытия биномов Ньютона мы, отбросив все цифры, будем реконструировать числа a и c и окончания чисел A, C, Aⁿ и Cⁿ заново, начиная с однозначного числа a (простейшая школьная работа, и поскольку нас интересуют окончания чисел на длине 3kn цифр, то от числа B остаётся лишь 1):
22°) a ⇒ aⁿ_[n]; ⇒ c_[n]=aⁿ_[n], ⇒ [21°] Cⁿ=...+c_[n]n^kn+1=...+aⁿ_[n]n^kn+1, ⇒ С [18°]:
23°) C=(...+c_[n]n^kn+1)^1/n=...+aⁿ_[n]n^kn-1+1 ⇒ Cⁿ [17°]:
24°) Cⁿ=...[(n-1)(n-2)/6]a³ⁿn^3kn-2+[(n-1)/2]a²ⁿn^2kn-1+aⁿn^kn+1, ⇒ Aⁿ [21°]:
25°) Aⁿ=...[(n-1)(n-2)/6]a³ⁿn^3kn-2+[(n-1)/2]a²ⁿn^2kn-1+aⁿn^kn=
=aⁿn^kn{...[(n-1)(n-2)/6]a²ⁿn^2kn+1+[(n-1)/2]aⁿn^kn-1+1}, где выражение в фигурных скобках является n-й степенью числа A [18°]: A= ...[(n-1)/2]aⁿn^kn-2+1, то есть [17°]::
26°) Aⁿ=aⁿn^kn{...[(n-1)(n-1)(n-1)/8]a²ⁿn^2kn-3+[(n-1)/2]aⁿn^kn-1+1}, или
26a°) Aⁿ=...[(n-1)(n-1)(n-1)/8]a³ⁿn^3kn-3+[(n-1)/2]a²ⁿn^2kn-1+aⁿn^kn, ⇒
И теперь, сравнивая 24° и 26a°, мы имеем противоречие по цифре D_(3kn-2) равенства 21: в 26a° она НЕ равна нулю, а в 24° она равна нулю!
При этом, как видно из 24° и 26a°, восстановление всех предыдущих цифр в числах a и c исправить это противоречие не может.
Тем самым великая теорема Ферма доказана.

Апрель, 2019

[Виктор Сорокин]

Великая теорема Ферма. Абреже.

Суть доказательства. После приведения равенства Ферма к простой степени n>2 и:
в Первом случае преобразования третьей цифры E''' суммы степеней последних цифр E=A'^n+B'^n-C'^n в 2, а во Втором случае преобразования 3kn-значного окончания числа B в 1,
мы оставляет в числах А, В, С лишь последние значащие цифры и находим последнюю значащую цифру числа D=A^n+B^n-C^n. В Первом случае это будет 3-я цифра (=2), во Втором - (3kn-2)-я (не равная 0).
И теперь восстановление в числах А, В, С ВСЕХ остальных цифр в Первом случае превращают цифру 2 либо в 2+0 (=2), либо в 2-1 (=1), а во втором случае (3kn-2)-я цифра (не равная 0) остается без изменения.
Все вычисления находятся в пределах программы математики за 6-9 классы советской средней школы 1950-х годов.

[Виктор Сорокин]

Маленькое, но существенное изменение.

В доказательстве Второго случая содержание стартового числа а вместо последней значащей цифры числа А (и А°) берётся k-значное окончание значащей части числа А (или А°). Ну а дальше по уже проторённому пути: вычисляется биномиальное основание числа С, затем сам бином Сⁿ, через него биномиальное основание числа А, затем сам бином числа Аⁿ, после чего видим, что (kn-2)-значное окончание числа D не равно нулю.

Незначительные опечатки в тексте со временем будут устранены.

[Виктор Сорокин]

Отредактированный текст

Великая теорема Ферма (без n=2^t)

Памяти МАМЫ

Теорема. Уравнение
0°) X^m=Z^m-Y^m, где число m (=tn) содержит простой сомножитель n>2, не имеет решения в целых положительных числах.

Основы теории простого числа и равенства Ферма 0°:
Все числа рассматриваются в системе счисления с простым основанием n>2. Простейшие доказательства и вычисления из школьной программы не приводятся.

Обозначения.
A', A'', A_(k) – первая, вторая, k-я цифра от конца в числе A;
A_[k] – k-значное окончание числа A (т.е. A_[k]=A mod n^k);

При подстановке X^t=Aⁿ; Z^t=Bⁿ; Y^t=Cⁿ равенство 0° сводится к равенству
1°) (D=...) Aⁿ+Bⁿ-Cⁿ=0, откуда, используя формулы разложения:
2°) (D=...) (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0.

3°) После деления равенства 1° на Tⁿ, где T есть НОД чисел A, B, C, числа A, B, C с новыми значениями становятся попарно взаимно простыми.

4°) Теорема. При A' ≠ 0, B' ≠ 0, C' ≠ 0 числа в парах (C-B, P); (C-A, Q); (A+B, R) в равенстве 2° являются взаимно простыми. Истинность утверждения следует из представления числа P (аналогично чисел Q и R) в его формуле разложения в виде
4a°) P=S(C-B)²+nC^(n-1)/2B^(n-1)/2, где C-B, C и B взаимно простые.

4b°) Следствие из 4° и 4a°. Если A' = n^kA°, где A°' ≠ 0, то P' = 0, P'' ≠ 0, C-B=aⁿn^kn-1;

4c°) Следствие из 4°. Если (ABC)' ≠ 0, то C-B=aⁿ; C-A=bⁿ; A+B=cⁿ; P=pⁿ; Q=qⁿ; R=rⁿ.

5°) Если A' ≠ 0, то (A^n-1)' = 1 [Малая теорема Ферма]).

6°) Если (ABC)' ≠ 0, то [следствие из 1°, 2° и 5°] P'=Q'=R'=1, откуда

7°) P_[2]=Q_[2]=R_[2]=01 [бином Ньютона для числа A=(A°n+1)ⁿ],

8°) Следовательно [см. 4c° и бином Ньютона], p'=q'=r'=1.

9°) Следовательно [2° и 7°], если (ABC)'≠0, то (A+B-C)_[2]=0.

10°) Следовательно [9°], (A+B-C)'=0.

11°) Следовательно [9° и 10°], (A+B-C)'' равна либо 0, либо n-1.

12°) Теорема. Все n цифр (gt)', где 0<g<n и t=1, 2, ... n, различны.

13°) Следствие. Для заданной цифры g существует такая цифра t, что (gt)' = 2

13a°) Если A'≠0 и A_[2]=Aⁿ_[2], то для заданного A_[t] существует такое gⁿⁿ, что (Agⁿⁿ)_[t]=1.

14°) [u]Теорема[/u]. Сумма S=1ⁿ+2ⁿ+...(n-1)ⁿ оканчивается на 00 и цифра S''' равна (n-1)/2.

15°) Следствие. Если (ABC)' ≠ 0 и (A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ)_[2]=0, то все E''' = (A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ)''' >0 [в противном случае сумма [(A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ)tiⁿ]''' = 0 (i=1, 2, … n-1), а не (n-1)/2].

16°) Цифра Aⁿ_(k+1) однозначно определяется окончанием A_[k] и, следовательно, окончание Aⁿ_[2] не зависят от цифры A''! Факт вытекает из записи числа A в виде A=dn+A' и разложения бинома Aⁿ=(dn+A')ⁿ.

17°) Если A=A°ⁿn²ⁿ+1, то (A°ⁿn²ⁿ+1)ⁿ=...+[(n-1)/2]A°²n⁴ⁿ⁺¹+A°ⁿn²ⁿ⁺¹+1 [см. бином Ньютона].

18°) Если Aⁿ=Xn⁴ⁿ⁺¹+A°'n²ⁿ⁺¹+1, где A°ⁿ<nⁿ, то A=...+A°n²ⁿ+1 [17°].

19°) В равенстве 3° число D=E+F, где E = A'ⁿ+B'ⁿ-C'ⁿ и F=(A''+B''-C'')n²+Gn³.

***

Доказательство ВТФ. Случай I [(ABС)'≠0]

С помощью умножения равенства 3° на некоторое gⁿⁿⁿ [при этом свойства 4b°-13a°сохраняются!] мы превращаем цифру E''' в 2 [15° и 13°].
И из биномов Ньютона для чисел A, B, C [19°] видно, что для ее обнуления нужно, чтобы цифра (A''+B''-C'')' была равна n-2. Однако она равна либо 0, либо n-1 [11°], и равенство 1° по третьей цифре не выполняется.

Второй случай [например A'=0, но (BС)'≠0]

Итак, пусть для взаимно простых натуральных A [A=n^kA°], B и C
20°) Aⁿ=Cⁿ-Bⁿ и Cⁿ-Bⁿ=(C-B)P, где (C-B)_[kn-1]=0, P=P°n, Aⁿ=n^knA°ⁿ [4b°].
С помощью умножения равенства 20° на соответствующее число gⁿⁿⁿ преобразуем окончание числа B длиной в 3kn цифр в 1 [13a°]. После чего [4b°] в новом 20°
21°) A=an^k, C=cn^2kn-1+1, B=...n^3kn+1; Aⁿ=aⁿn^kn, Cⁿ=C°n^kn+1=...cn^kn+1, Bⁿ=...n^3kn+1+1.
После этого мы оставим в числах A°, B, C лишь последние цифры a, 1, 1 и вычислим (3kn-2)-значные окончания чисел Aⁿ и Cⁿ (при этом B_[3kn]=1):
22°) a ⇒ aⁿ_[n]; ⇒ c_[n]=aⁿ_[n], ⇒ [21°] Cⁿ=...+c_[n]n^kn+1=...+aⁿ_[n]n^kn+1, ⇒ С [18°]:
23°) C=(...+c_[n]n^kn+1)^1/n=...+aⁿ_[n]n^kn-1+1 ⇒ Cⁿ [17°]:
24°) Cⁿ=...[(n-1)(n-2)/6]a³ⁿn^3kn-2+[(n-1)/2]a²ⁿn^2kn-1+aⁿn^kn+1, ⇒ Aⁿ [21°]:
25°) Aⁿ=...[(n-1)(n-2)/6]a³ⁿn^3kn-2+[(n-1)/2]a²ⁿn^2kn-1+aⁿn^kn= =aⁿn^kn{...[(n-1)(n-2)/6]a²ⁿn^2kn-2+[(n-1)/2]aⁿn^kn-1+1}, где выражение в фигурных скобках является n-й степенью числа [18°] ...[(n-1)/2]aⁿn^kn-2+1, то есть [17°]::
26°) Aⁿ=aⁿn^kn{...[(n-1)(n-1)(n-1)/8]a²ⁿn^2kn-3+[(n-1)/2]aⁿn^kn-1+1}, или
26a°) Aⁿ=...[(n-1)(n-1)(n-1)/8]a³ⁿn^3kn-3+[(n-1)/2]a²ⁿn^2kn-1+aⁿn^kn. ⇒
И теперь, сравнивая 24° и 26a°, мы имеем противоречие равенства 21 по цифре (3kn-2): в 26a° она НЕ равна нулю, а в 24° она равна нулю!
При этом, как видно из 24° и 26a°, восстановление всех предыдущих цифр в числе A° исправить это противоречие не может, поскольку оно определяется лишь цифрой a'.
Тем самым великая теорема Ферма доказана.

Апрель, 2019

[Виктор Сорокин]

Абреже

В ПЕРВОМ СЛУЧАЕ каждое число (А) заменяется на сумму (A'+A°n) последней цифры и остатка. После раскрытия биномов в равенстве Ферма все члены объединятся в два слагаемых: E=A'^n+B'^n-C'^n с третьей цифрой E''', которая в одном из n-1 эквивалентных равенств Ферма равна 2, и остаток D с третьей цифрой D''', равной либо 0, либо n-1, и, следовательно, третья цифра в числе A^n+B^n-C^n не равна 0.

ВО ВТОРОМ СЛУЧАЕ (например A=A°n^k, но (BС)'≠0, ) после преобразования 3kn-значного окончания числа B в 1 и оставления в числах А, В, С лишь последних значащих цифр простейшие расчёты показывают, что (3kn-2)-я цифра числа A^n+B^n-C^n нулю не равна и не меняется после восстановления всех остальных цифр в числах A, B, C, т.к. является функцией только последней цифры числа A°.

++++++++

Вот и поставлена последняя точка в самой грандиозной логической проблеме.

[Виктор Сорокин]

Публикации:

http://vixra.org/author/victor_sorokine (английский - 26, русский - 25).

[BIA]

Виктор, извините, что-то потянуло вспомнить моё увлечение математикой и заглянуть на уважаемый форум. Вы знакомы с https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-%D0%B ... 0%B7%D0%B0 - ABC гипотезой? Я не уверен, доказали ли её, но из неё чуть ли не прямо вытекает ВТФ. Думаю, вам было бы интересно =)

[LNV]

Виктор, извините, что-то потянуло вспомнить моё увлечение математикой и заглянуть на уважаемый форум. Вы знакомы с https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-%D0%B ... 0%B7%D0%B0 - ABC гипотезой? Я не уверен, доказали ли её, но из неё чуть ли не прямо вытекает ВТФ. Думаю, вам было бы интересно =)

Простите, вмешаюсь. Я сам не равнодушен к ABC гипотезе.

На сегодняшний день, к сожалению, ABC гипотеза не доказана.
В доказательстве, предложенном японским математиком, была найдена ошибка!
Шиничи Мотидзуки вроде как её исправил, но сегодня, к сожалению, снова нет математиков, которые прокомментировали бы его новое доказательство...

Подробней, об всём, что твориться сейчас на этом поле да и вообще в математике: https://www.youtube.com/watch?v=EwQV4iH ... 18&t=3849s (39 минута и далее - ABC гипотеза).

[Виктор Сорокин]

Виктор, извините, что-то потянуло вспомнить моё увлечение математикой и заглянуть на уважаемый форум. Вы знакомы с https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-%D0%B ... 0%B7%D0%B0 - ABC гипотезой? Я не уверен, доказали ли её, но из неё чуть ли не прямо вытекает ВТФ. Думаю, вам было бы интересно =)

Простите, вмешаюсь. Я сам не равнодушен к ABC гипотезе.

На сегодняшний день, к сожалению, ABC гипотеза не доказана.
В доказательстве, предложенном японским математиком, была найдена ошибка!
Шиничи Мотидзуки вроде как её исправил, но сегодня, к сожалению, снова нет математиков, которые прокомментировали бы его новое доказательство...

Подробней, об всём, что твориться сейчас на этом поле да и вообще в математике: https://www.youtube.com/watch?v=EwQV4iH ... 18&t=3849s (39 минута и далее - ABC гипотеза).

Спасибо. Любопытно, загляну.

[Виктор Сорокин]

Виктор, извините, что-то потянуло вспомнить моё увлечение математикой и заглянуть на уважаемый форум. Вы знакомы с https://ru.wikipedia.org/wiki/Abc-%D0%B ... 0%B7%D0%B0 - ABC гипотезой? Я не уверен, доказали ли её, но из неё чуть ли не прямо вытекает ВТФ. Думаю, вам было бы интересно =)

Простите, вмешаюсь. Я сам не равнодушен к ABC гипотезе.

Спасибо! Приятненькая штучка. К сожалению, времени жёстко не хватает.
И еще, у меня недостатотк: я медленно "въезжаю" в проблему, после 10-го прочтения. Я должен ОЩУТИТЬ (как рыба в воде!) все соотношения и только после этого начну получать новые идеи и удовольствия.
И, разумеется, громоздкие доказательства меня совсем не интересуют.
Надеюсь к этой теме вернуться.
(Скажите имя.)

[Виктор Сорокин]

О Б Ъ Я В Л Е Н И Е

Ищу НАГЛОГО (т.е. смелого!) школьника или студента, способного сделать доклад в университете на тему:
Элементарное доказательство великой теоремы Ферма.

Идеальную подготовку я обеспечу. Надеюсь, навар будет отличный!

[Виктор Сорокин]

НИ один университетский профессор в мире за 300 лет так и не понял, что если все сомножители (простые или составные) чисел А, В, С оканчиваются цифрой 1, то сумма А+В-С оканчивается цифрой 1 и НИКОГДА НУЛЁМ!!!!!.

viXra:2302.0098