Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Здесь вы можете сформулировать математическую задачу, с которой вам не справиться, или, наоборот, поделиться своим маленьким открытием.
Возможно, другие пользователи помогут вам или порадуются вместе с вами...

Модератор: модераторы

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 05 май 2018, 0:24

Каждая принципиальная ошибка отбрасывает ферматиста на исходные, нулевые позиции. Но мое богатство возможных подходов к доказательству ВТФ столь велико, что редко случается, чтобы за неделю я не нашел весьма убедительный новый (и очень не похожий на все предыдущие) подход. И потому всех не сбежавших от меня читателей прошу приготовиться к сюрпризу /довожу до кондиции/.
(Кстати, есть ряд соображений, что это последний угол в теории Ферма о степенных биномах и малой теореме, где может таиться доказательство ВТФ.)

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Ср, 09 май 2018, 14:45

Сообщение.
Новое доказательство (без малой теоремы) основано на простом факте: число А+В-С не может быть нечетным.
Опубликую до 15 мая. Настроение бодрое, идём ко дну!

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 11 май 2018, 13:26

Теорема Ферма. Два доказательства
1. Хулиганское /для размышлений/

Вопрос: Если целочисленное раенство An+Bn=Cn умножить на 2n, то может ли оно превратиться в НЕцелочисленное?
Я думаю, что нет, но не настаиваю – большим специалистам виднее. А посему я своё доказательство называю хулиганским. Вот оно:

Итак, пусть для взаимно простых натуральных A, B, C, где C не кратно n,
An+Bn=Cn, где A+B=cn.

Умножим ПОЧЛЕННО равенство 1° на 2n. Тогда число A+B умножится на 2, и, следовательно, его основание 2n умножится на 21/n и число с станет нецелым.
===========
Второе доказательство поинтересней. Поскольку 15 мая я ложусь на операцию (не страшную), то боюсь, что к этой дате оформить его качественно не смогу. Поэтому до 15 числа я опубликую лишь его суть, без цифровых вычислений на уровне 9-го класса. Кому очень не терпится, тот может может провести расчеты самостоятельно. Доказательство хоть и чисто арифметическое, но весьма интересное, как кубик-рубик.
До скорого.

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вс, 13 май 2018, 19:46

Теорема Ферма. Простейшее доказательство

Памяти МАМЫ

Противоречие: Равенство Ферма не выполняется по (k+1)-м цифрам, где k – число нулей в нулевом окончании числа U=A+B-C=unk.

Итак, допустим, что для взаимно натуральных A, B, C и простого n>2
1°) An+Bn=Cn, или An+Bn-Cn=0, где
2°) U=A+B-C=unk, где u не кратно n и, если оно оканчивается на цифру 1, то умножим равенство 1° на число 2n.


Доказательство ВТФ

После отбрасывания в числах A, B, C (записанных в базе n) k-значных окончаний A°, B°, C° в оставшейся части равенства
3°) A'n+B'n-C'n =0 сумма последних цифр D=A'+B'-C', согласно малой теореме Ферма, не равна нулю или n.
Однако восстановление в числах A, B, C отброшенных k-значных окончаний A°, B°, C° повлиять на значения
(k+1)-х цифр в степенях An, Bn, Cn никак не может, так как они не зависят от k-значных окончаний оснований (следствие бинома Ньютона).
Что свидетельствует об истинности великой теоремы Ферма.

Мезос, 13 мая 2018.
=========
P.S. Незначительные мелочи могут быть добавлены позже.

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 19 май 2018, 10:20

Окончательный вариант:


Теорема Ферма. Простейшее доказательство. Отредактированный текст

Памяти МАМЫ

Доказательство проводится в системе счисления с простым основанием n>2.

Противоречие:
Равенство Ферма, записанное в базе n, не выполняется по (k+1)-м цифрам, где k – число нулей в нулевом окончании числа U=A+B-C=unk.

Обозначения, записанные в системе счисления с простым основанием n>2:
A' / A(k) – последняя / k-я от конца цифра числа A;
A[k] – k-значное окончание числа A;
A[k+] – число, оставшееся после удаления k-значного окончания числа A.

Итак, допустим, что для натуральных A, B, C и простого n>2
1°) An+Bn=Cn, или An+Bn-Cn=0, где

2°) U=A+B-C=unk, где u не кратно n. И если цифра

3°) u*={U(k+1)-(A[k]+B[k]-C[k])](k+1)}'=0,

то умножим равенство 1° на 2n [для удобства, обозначения всех цифр и чисел с новыми значениями оставим прежними], после чего

4°) u*=(A(k+1)+B(k+1)-C(k+1))'≠0 [т.к. A[k]+B[k]-C[k]=0 или nk].

5°) Лемма. A'=An' [другая форма малой теоремы Ферма].

6°) Из бинома Ньютона (A(k+1)nk + A[k])n=Dnk+2+A(k+1)nk+1+A[k]n следует, что (k+1)-я цифра степени не зависит
от (k+1)-й цифры основания.

Доказательство ВТФ

Согласно 5° и 2°, цифра (A[k+]n+B[k+]n-C[k+]n)'=(A(k+1)+B(k+1)-C(k+1))'=u*≠0 и после восстановления в числах A, B, C отброшенных окончаний A[k], B[k], C[k] сохраняет своё значение, поскольку (A[k]n+B[k]n-C[k]n)[k+1]=0 (см. 6° и 1°), а (k+1)-е цифры оснований A, B, C не участвует в формированиии цифры (An+Bn-Cn)(k+1) (см. 6°).
Что подтверждает истинность великой теоремы Ферма.

Мезос, 13 мая 2018.

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 25 май 2018, 0:12

Теорема Ферма. 57. Суть доказательства.

Понятно, что при при любых положительных А, В, С и равенстве А+В-С=0 всегда An+Bn-Cn<0. Поэтому в гипотетическом равенстве Ферма число U=А+В-С>0.
При этом (напомню, что доказательство проводится в системе счисления с простым основанием n>2), согласно малой теореме Ферма, последние цифры степеней равны последним цифрам оснований и последняя цифра числа U равна нулю. Однако, поскольку число нулей на конце числа U конечно (и равно k), то перед ними будет стоять ненулевая цифра с номером k+1. Вот по этим-то цифрам равенство Ферма и нарушается.

Для наглядности я возьму для k значение 2. И в этом случае цифра U''' не равна нулю! Небольшое неудобство для доказательства создает лишь одно обстоятельство – цифра U''' равная 1. Я не буду повторяться с объяснением этого момента (см. заметку «Теорема Ферма. 56. Самый трудный момент доказательства»), а покажу, как от этой трудности избавиться. Для этого всего-навсего нужно умножить равенство Ферма на 2n, после чего все числа A, B, C, U, а значит и цифра U''' числа U умножатся на 2. Нам это нужно для того, чтобы после отбрасывания двузначных окончаний A°, B°, C° в числах А, В, С сумма третьих цифр (A'''+B'''-C'''), которые в числах A*, B*, C* станут последними, не оказалась бы равной нулю. Вот и вся подготовительная работа для доказательства ВТФ.

Ну а теперь начинается та самая сказка, которая так покорила Пьера Ферма.

Для начала мы отрезаем у чисел А, В, С двузначные окончания A°, B°, C° и оставляем лишь головные части A*, B*, C*, у которых последние цифры есть третьи цифры А''', В''', С''' в числах А, В, С с последней цифрой их суммы А'''+В'''-С''', не равной нулю! Но по этой причине не равна нулю и последняя цифра суммы A*n+B*n-C*n.

А теперь мы ВЕРНЕМ на свои места отброшенные окончания A°, B°, C° и посмотрим, как они повлияют на последнюю цифру суммы третьих цифр (An)'''+(Bn)'''-(Cn)''', которая до восстановления была последней цифрой суммы А'''+В'''-С'''.

И тут нас ожидает настоящий подарок: трехзначное окончание суммы A°n+B°n-C°n равно... НУЛЮ и абсолютно не зависит от третьих цифр оснований A''', B''', C''' [что видно из бинома Ньютона (A'''n2 + A°)^n=Dn4+A'''n3+A°n (3-я цифра степени не зависит от 3-й цифры основания)] по этой причине цифры A''', B''', C''' изменить значение последней (НЕНУЛЕВОЙ!) цифры в числе A*n+B*n-C*n и третьей в числе A^n+B^n-C^n НЕ могут!!! Таким образом, третья цифра в равенстве Ферма, равная сумме последней цифры числа A*n+B*n-C*n и третьей (равной НУЛЮ!) цифры числа
n+B°n-C°n ОСТАЕТСЯ НЕ НУЛЕВОЙ!

Вот и вся теорема.

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пн, 28 май 2018, 17:49

Теорема Ферма. 60. Феномен понимания

Когда-то, в восьмом или девятом классе, я пытался читать Гегеля и Маркса и... ничего не понимал! Хоть тресни! Каждое слово, вроде бы, понятно, а фраза в целом – тёмный лес! Меня разбирало зло, но и оно не помогло – пришлось труды корифеев отложить на несколько лет...

Интереснейшей задачкой для ПОНИМАНИЯ оказалось мое доказательство Великой теоремы Ферма. В конце концов выяснилось, что доказательство состоит, по существу, только ИЗ понимания взаимосвязи между несколькими числами и цифрами. Вот эти числа, записанные в системе счисления с простым основанием n>2.

Сумма чисел А+В-С оканчивается на k нулей, а перед нею стоит ненулевая (k+1)-я цифра. Если она равна 1, то доказательство существенно осложняется. Поэтому равенство Ферма предварительно умножается на 2n, после чего (k+1)-я цифра числа А+В-С становится равной 2, а последняя цифра u' суммы (k+1)-х цифр А_(k+1)+В_(k+1)-С_(k+1) чисел А, В, С не равна нулю.

А теперь мы рассмотрим такие числа:
А*, В*, С* с последней цифрой суммы А*+В*-С* равной u' – головные части чисел
А, В, С после удаления у них k-значных окончаний A°, B°, C°.
А*n+В*n-С*n – с такой же последней цифрой (А*n+В*n-С*n)', как у числа
А*+В*-С*, то есть с u' не равной нулю (следствие малой теоремы Ферма).
An+Bn-Cn (в равенстве Ферма) со всеми цифрами равными нулю.
n+B°n-C°n с (k+1)-значным окончанием равным нулю, поскольку в равенстве
Ферма оно никак не зависит от (k+1)-х цифр чисел А, В, С.

И вот что мы наблюдаем (причем без всяких вычислений!):

Последние цифры чисел А*, В*, С* являются И последними цифрами чисел А*n, В*n, С*n. А ЭТИ ЖЕ САМЫЕ цифры в числах А, В, С, но уже с (k+1)-ми номерами, к (k+1)-м цифрам степеней An, Bn, Cn НИКАКОГО ОТНОШЕНИЯ НЕ ИМЕЮТ!
Поэтому, когда мы к основаниям А*, В*, С* в числе А*n+В*n-С*n припишем k-значные окончания A°, B°, C° чисел А, В, С, то есть ВОССТАНОВИМ числа А, В, С до первоначальных значений, то (k+1)-значные окончания чисел A°n+B°n-C°n и An+Bn-Cn будут РАВНЫ, и равны нулю, и повлиять на (k+1)-ю цифру (=u') числа An+Bn-Cn (бывшую ранее последней цифрой числа А*n+В*n-С*n) НЕ МОГУТ!

Лишь в единственном случае k-я цифра основания влияет на k-ю цифру степени: когда k=1. При этом последние цифры основания и степени определяют друг друга взаимно однозначно. А вот k-е (k>1) цифры оснований уже не имеют никакого отношения к k-м цифрам степени. И, т.о., в равенстве Ферма (k+1)-я цифра числа An+Bn-Cn НЕ РАВНА НУЛЮ.
Так что Пьер Ферма не ошибался. Попробуйте понять и вы.

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 31 май 2018, 20:56

Есть сомнения. Готовлю запасной вариант: числа А, В, С являются бесконечными степенями своих последних цифр.
До скорого!

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Пт, 01 июн 2018, 21:45

Теорема Ферма. Доказательство в системе счисления с простым основанием n>2.

Противоречие: числа А, В, С есть бесконечные степени своих последних цифр А', В', С'.

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A(t) – t-я цифра от конца числа A; а также (для удобства): A(1)=A', A(2)=A'', A(3)=A'''...
A[t] – t-значное окончание (или [t]-окончание) числа A. x – какое-то число.

L.1. Лемма. A'=An'. Следствия: если A[t]=D[t], то An[t+1]=Dn[t+1] (и наоборот). Отсюда:
L.1a. An[2]=A'n[2], Ann[3]=A'nn[3], Annn[4] A'nnn[4],... An^k[k+1]=A'n^k[k+1].
L.1b. Если A[2]=dn[2], то An[3]=dnn[3] и An^k[k+2]=n^(k+1)[k+2].
L.2. Лемма. Из бинома Ньютона (A(k+1)nk+A[k])n=Dnk+2+A(k+1)nk+1A[k]n-1+A[k] n следует, что (k+1)-я цифра степени не зависит от (k+1)-й цифры основания. В частности, значение цифр (An)(t+1), (Ann)(t+1)... (An^(t+1))(t+1) не зависят от цифр A(t+1), A(t),... A''. И окончания An[2]=A'n[2], Ann[3]=A'nn[3], Annn[4]=A'nnn[4], An^k[k+1]=A'n^k[k+1] ... .
L.3. Лемма. Если An[2]=A'n[2] и A'≠0, то число A тождественно представимо в виде A=A*n+dns, s – сколь угодно велико. И если An^k[k+1]=A'n^k[k+1], то A=A*n^k[/sup+dn[sup]s.
Действительно, из бинома Ньютона (A*'n+A*''n)n, с учетом малой теоремы Ферма, следует A*''=A''', и т.д.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где (ABC)'≠0,

1°) An=Cn-Bn, Bn=Cn-An, Cn=An+Bn, и An=(C-B)P, Bn=(C-A)Q, Cn=(A+B)R, где

1a°) Числа в парах (C-B, P), (C-A, Q), (A+B, R) взаимно простые.
1b°) A[2]=(A')n[2], B[2]=(B')n[2], C[2]=(C')n[2]. При этом в числа A, B, C входит каждое простое основание соответственно из (C-B), (C-A), (A+B), являющихся степенями.
1c°) P=pn, Q=qn, R=rn, и P'=p'=Q'=q'=R=r'=1.
1d°) [U=] A+B-C=unk, где u'≠0 и k>1 (простое следствие из 1° и малой теоремы Ферма).

1e°) В случае, если, например, C=dnk, сомножитель A+B в числе Cn оканчивается на kn-1 нулей и в процессе решения системы уравнений 4° не участвует (не мешая доказателству), при этом на каждом этапе число k возрастает на 1.

Доказательство ВТФ

Первый этап (цикл)

Исходя из 1b° и согласно L.3, представим числа A, B, C в эквивалентной форме:

2°) A=A*n+xns, B=B*n+xns, C=C*n+xns,

при этом значение числа s возьмём столь большим, что у двух разных простых оснований чисел A, B, C s-значные окончания будут различными [ключевой момент].
Затем, подставим эти значения чисел A, B, C из 2° в 1° и, раскрыв биномы, получим:

3°) (A*nn+xns)=(C-B)P, (B*nn+xns)=(C-A)Q, (C*nn+xns)=(A+B)R.

Поскольку в этих равенствах правые сомножители есть взаимно простые числа, то, с учетом указания в 2°, все равные простые сомножители из левых частей попадут только в один из двух правых сомножителей (равенство для числа A, B, или C кратного n в 3° не включается). И, следовательно, все шесть сомножителей в правых частях равенств 3° будут иметь тот же степенной вид, что и левые части:

4°) C-B=(C-B)* nn+xns, (C-A)=(C-A)* nn+xns, A+B=(A+B)* nn+xns;
P=P*nn+xns, Q=Q*nn+xns, R=R*nn+xns, где P[3]=Q[3]=R[3]=1.

А теперь, решая систему из первых трех уравнений 4° относительно A, B, C и учитывая, что трехзначные окончания чисел (C-B)*nn, (C-A)*nn и (A+B)*nn есть окончания чисел An, Bn и Cn и потому удовлетворяют равенству (C-B)*nn+(C-A)*nn-(A+B)*nn0 (mod n3), мы получаем равенства по трехзначным окончаниям:

5°) A[3]=A'nn[3], B[3]=B'nn[3] и C[3]=C'nn[3] или AA'nn, BB'nn и CC'nn (mod n3).

Второй этап (цикл)

А далее, согласно L.3, мы опять, как и в 2°, представляет числа A, B, C в виде:
6°) A=A*nn+xns, B=B*nn+xns, C=C*nn+xns, где s опять столь велико, что у двух разных сомножителей чисел A, B, C s-значные окончания будут различными.

И далее мы повторяем первый цикл с получением равенств 5° в виде

7°) AA'n^k, BB'n^k и CC'n^k (mod nk, здесь k=3), а далее k стремится к бесконечности.

Что и доказывает истинность теоремы Ферма.

Мезос, 16 марта 2016 / 1 июня 2018

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 09 июн 2018, 20:42

На пути к совершенству

Теорема Ферма. Классическое доказательство

Памяти МАМЫ


Равенство Ферма противоречиво по 4-м цифрам степеней.

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', Ak – последняя, k-я цифра от конца числа A; A[k] – k-значное окончание числа.

Лемма (ключ). Из бинома Ньютона An=(Dn3+A3n2+A[2])n=En4+A3n3A[2]n-1+A[2]n следует, что 3-я цифра степени An не зависит от 3-й цифры основания A.
Следствие: в равенстве Ферма цифра (A[3]n+B[3]n-C[3]n)3 =0 независима от A3, B3, C3.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C c (ABC)'≠0,
1°) An+Bn-Cn=0, где A+B-C=unk (мы рассмотрим доказательство лишь для k=2) и
1a°) A[2]=(A')n[2], B[2]=(B')n[2], C[2]=(C')n[2], т.е. A[3], B[3], C[3] представимы в виде:
1b°) A[3]=(A')n[3]+an2, B[3]=(B')n[3]+bn2, C[3]=(C')n[3]+cn2, где a, b и c – цифры.
После подстановки этих значений в 1° мы, согласно лемме (и с учетом единичных окончаний в (n-1)-х степенях при вторых членах разложения биномов) имеем:
1c°) An[4]=(A')nn[4]+an3, Bn[4]=(B')nn[4]+bn3, Cn[4]=(C')nn[4]+an3. И теперь из 1° следует:
2°) {(A')nn[4]+(B')nn[4]-(C')nn[4]}+{an3+bn3-cn3}==0 (mod n4).

Доказательство ВТФ

3°) Составим n-1 эквивалентных равенств 1° (следовательно и 2°) с помощью почленного умножения равенства 1° на gn^3, где g=1, 2, … n-1.

И теперь после суммирования n-1 равенств отдельно для букв A, B, C мы получаем 4-ю цифру у каждой суммы, равную (n-1)/2. Такое же значение будет иметь и 4-я цифра общей суммы слагаемых в левой части. То есть равенство Ферма 1° не выполняется.

[Для суммирования степенных окончаний их следует объединить в пары с последними цифрами g и n-g: gnn+(n-g)nn, после чего 4-я цифра в каждой паре равна 1, а число пар равно (n-1)/2, что для каждой буквы дает итоговое значение для 4-й цифры (n-1)/2.]
Сумма же чисел a, b, c, умноженных на 1, 2,... n-1, оканчивается на ноль и в образовании 4-й цифры в итоговом равенстве участия не принимает.

Случай же, например, с A'=0 доказывается почти так же, но уже для 5-й цифры.
Случаи с k>2 доказываются абсолютно так же, но с помощью степенных окончаний (A')n^k[k+1], (B')n^k[k+1], (C')n^k[k+1].

В общем, дядя Петя скучать не даст!

Mezos, 09.06.2018
================
P.S. Впрочем, есть сомнения в вычислениях. Пытаюсь посчитать 5-е цифры.

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 12 июн 2018, 17:38

Суши вёсла!

Теорема Ферма. Ненормальное доказательство
ненормального ферматиста


Памяти МАМЫ

Противоречие: В эквивалетном равенстве Ферма число U=A+B-C нечетно.

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', A(k) – последняя, k-я цифра от конца числа A; A[k] – k-значное окончание числа;
A[s+] – число A с обнуленным s-значным окончанием; «девятка» – цифра n-1.

Итак, допустим для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C
1°) An+Bn-Cn=0, где
1a°) U=A+B-C=2unk > 0, где k>1, u'=U(k+1) не равна нулю и U – s-значное число;
1b°) V=A[k]+B[k]-C[k], равное либо нулю, либо nk;
1c°) W=A[s+]+B[s+]-C[s+], равное либо нулю, либо ns;
Для четности числа U необходимо, чтобы либо V=W=0, либо V=nk и W=ns.
1d°) A+B>C>A>B>U>0.
1e°) Если C'=0, то (A+B)kn-1 (см. Приложение http://vixra.org/pdf/1707.0174v1.pdf ).

Доказательство ВТФ

2°) Если C'=0 (и C[k]=0), то A[k]+B[k]=V=nk.
Умножим равенство 1° на число Gn из равенства (A+B)G=ns-nkn-1 (число s существует согласно малой теореме Ферма). Теперь «голова» числа (A+B)[kn-1+] состоит из одних «девяток», цифра (A+B)(s)-C(s) не может возрасти и, следовательно, W=0.
А с учётом V=nk число U является нечетным и решение уравнения 1° не существует.

3°) Если же C' не равно нулю, то умножим равенство 1° на число Gn из равенства CG=(ns-1)2. Теперь V=0, а вот цифра W(s+1), наоборот, не равна нулю, поскольку (A+B)>C и сумма цифр A(s)+B(s) должна быть больше C(s) (=n-1). И опять, с учетом равенства V=0, мы получаем, что W не равно нулю и, следовательно, уравнение 1° не имеет решения и в этом случае, что и свидетельствует об истинности теоремы Ферма.

Mezos, 12.06.2018

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Чт, 14 июн 2018, 23:13

Теорема Ферма. Числа A, B, C бесконечны

Памяти МАМЫ

Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A', A(k) – первая и т.д., k-я цифра от конца числа A; A[k] – k-значное окончание числа.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C c (ABC)'≠0
1°) An+Bn-Cn=0, где
1a°) A[2]=(A')n[2], B[2]=(B')n[2], C[2]=(C')n[2],
Из чего следует, что окончания A[s], B[s], C[s] представимы в тождественном виде:
1b°) A[s]=(a[s-1])n[s]+a(s)ns-1, B[s]=(b[s-1])n[s]+a(s)ns-1, C[s]=(c[s-1])n[s]+a(s)ns-1, где s>1.
После подстановки этих (легко находимых) значений в 1° мы (учитывая, что последняя цифра в (n-1)-х степенях во вторых членах разложения биномов равна 1) имеем:
1c°) An[s+1]=(a(s))nn[s+1]+a(s+1)ns, Bn[s+1]=(b(s))nn[s+1]+b(s+1)ns, Cn[s+1]=(c(s))nn[s+1]+c(s+1)ns. И из 1°:
2°) {(a(s))nn[s+1]+(b(s))nn[s+1]-(c(s))nn[s+1]}+{a(s+1)ns+b(s+1)ns-c(s+1)ns}==0 (mod ns+1).

Доказательство ВТФ

4°) Сначала проверим равенство 1° по однозначным числам {(a')nn+(b')nn-(c')nn}[2]=0.
Для этого с помощью его почленного умножения на gn^3, где g=1, 2, … n-1, составим n-1 эквивалентных равенств 4° и просуммируем их для каждой из букв A, B, C.
При этом числа a', b', c' сначала превратятся в a'gi= di'+ndi'', b'gi=ei'+nei'', c'gi=fi'+nfi''. И после подстановки их в равенство 4° оно превращается в
5°) {(di')nn+(ei')nn-(fi')nn}+n3{di''+ei''-fi''}==0 (mod n4), где (di''+ei''-fi'')'=0 [она находится из разницы сумм
S(a'gi+b'gi-c'gi+)-S(di'+ei'-fi')].
Для суммирования же степенных окончаний в первой скобке их следует объединить в пары di' и n-di': di'nn+(n-di')nn, после чего 4-я цифра в каждой паре равна 1, а число пар равно (n-1)/2, что для каждой буквы дает итоговое значение для 4-й цифры (n-1)/2. Это же значение будет иметь и 4-я цифра вся сумма в левой части равенства 5°.
Следовательно, для выполнения равенства 4° по 4-м цифрам числа a, b, c должны быть дополнены вторыми цифрами a'', b'', c'' с суммой a''+b''-c'' не равной нулю.

А далее мы повторяем рассуждения п.4° уже для двузначных чисел a[2], b[2], c[2]:
6°) Составим (n-1)2 эквивалентных равенств 4° с помощью его почленного умножения равенства 4° на gn^3, где g=1, 2, … n2-1, и просуммируем их для каждой из букв A, B, C. В результате мы получаем 5-ю цифру у каждой суммы и у общей левой суммы равенства 4° в целом, равную (n-1)/2, т.е. по 5-й цифре равенство не выполняется. И опять, как в предыдущем случае, для восстановления равенства мы с необходимостью должны ввести в числа a, b, c уже третьи цифры a''', b''', c''' (с ненулевой суммой).

И так далее – до бесконечности, что означает, что равенство 1° с конечными числами не существует.

7°) Случай, например, A'=0 доказывается абсолютно так же, но после подстановки
A=ns-B*, где B*[2]=(B*')n[2] и s сколь-угодно велико.

Mezos, 13.06.2018

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 19 июн 2018, 12:35

Виктор Сорокин

Теорема Ферма. 2-й случай (число C кратно n)
Памяти мамы

Противоречие: после умножения равенства Ферма на 11n оно становится неравенством.

Обозначения в системе счисления с основанием n, где простое n>2:
A' / A(k) – первая / k-я цифра от конца числа A;
A[k] – k-значное окончание числа.
A[kn+1+][/sub] – число A без k-значного окончания.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B и C=cnk (k>1)
1°) An+Bn-Cn=0 [Cn=(A+B)R], где, как известно,
1a°) A[2]=(A')n[2], B[2]=(B')n[2]), c[2]=(c')n[2]); c'≠0, (A+B)[kn-1]=0 и (A+B) (kn)≠0.

После представления чисел A и B в 1° в виде A=A[kn-1]+nkn-1A[kn+] и B=B[kn-1]+nkn-1B[kn+] и раскрытия биномов Ньютона мы на длине в kn+2 цифр имеем:

2°) (A[kn-1]n+nknA[kn-1]n-1A[kn+]...)+(B[kn-1]n+nknB[kn-1]n-1B[kn+]...)-nkncn=0 (mod nkn+2), где
(A[kn-1]n+B[kn-1]n)[kn]=0 и (A[kn-1]n-1)[2]=(B[kn-1]n-1)[2]=1 (см. 1a°), и теперь

3°) (An[kn+1+][/sub]+Bn[kn+1+][/sub]-cn[kn+1+][/sub])[2]=0, где (sic!)
(An[kn+1+][/sub]+Bn[kn+1+][/sub])[2]=(A[kn+]+B[kn+])[2].

Доказательство ВТФ

Умножив почленно равенство 2° на 11n, мы видим, что в 3° число An[kn+1+][/sub]+Bn[kn+1+][/sub], или
A[kn+]+B[kn+], умножилось на 11, а число cn[kn+1+][/sub] – на 01 (=11n[2]), и, следовательно, теперь тождественное равенство 3° по вторым цифрам не выполняется.

Из чего следует истинность ВТФ для 2-го случая.

Mezos, 16.06.2018
================
P.S. 1-й случай доказывается иначе.

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Вт, 19 июн 2018, 16:31

Виктор Сорокин писал(а):Виктор Сорокин

Теорема Ферма. 2-й случай (число C кратно n)
Памяти мамы

Противоречие: после умножения равенства Ферма на 11n оно становится неравенством.

Обозначения в системе счисления с основанием n, где простое n>2:
A' / A(k) – первая / k-я цифра от конца числа A;
A[k] – k-значное окончание числа.
A[kn+1+][/sub] – число A без k-значного окончания.

Итак, пусть для простого n>2 и взаимно простых натуральных A, B и C=cnk (k>1)
1°) An+Bn-Cn=0 [Cn=(A+B)R], где, как известно,
1a°) A[2]=(A')n[2], B[2]=(B')n[2]), c[2]=(c')n[2]); c'≠0, (A+B)[kn-1]=0 и (A+B) (kn)≠0.

После представления чисел A и B в 1° в виде A=A[kn-1]+nkn-1A[kn+] и B=B[kn-1]+nkn-1B[kn+] и раскрытия биномов Ньютона мы на длине в kn+2 цифр имеем:

2°) (A[kn-1]n+nknA[kn-1]n-1A[kn+]...)+(B[kn-1]n+nknB[kn-1]n-1B[kn+]...)-nkncn=0 (mod nkn+2), где
(A[kn-1]n+B[kn-1]n)[kn]=0 и (A[kn-1]n-1)[2]=(B[kn-1]n-1)[2]=1 (см. 1a°), и теперь

3°) (An[kn+1+][/sub]+Bn[kn+1+][/sub]-cn[kn+1+][/sub])[2]=0, где (sic!)
(An[kn+1+][/sub]+Bn[kn+1+][/sub])[2]=(A[kn+]+B[kn+])[2].

Доказательство ВТФ

Умножив почленно равенство 2° на 11n, мы видим, что в 3° число An[kn+1+][/sub]+Bn[kn+1+][/sub], или
A[kn+]+B[kn+], умножилось на 11, а число Cn[kn+1+][/sub], или cn, – на 01 (=11n[2]), и, следовательно, теперь тождественное равенство 3° по вторым цифрам не выполняется.

Из чего следует истинность ВТФ для 2-го случая.

Mezos, 16.06.2018
================
P.S. 1-й случай доказывается точно так же.

Виктор Сорокин
Сообщения: 411
Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45

Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина

Сообщение Виктор Сорокин » Сб, 23 июн 2018, 12:07

Теорема Ферма. Шуточное (?) доказательство

Памяти мамы

Противоречие: число А+В-С имеет цифру старше старшего разряда.

Обозначения в системе счисления с простым основанием n, где n>2.
As – s-я цифра от конца числа A.

Итак, допустим для взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) An+Bn-Cn=0, где, как известно,
1a°) A+B>C>A>B>U=A+B-C=unk > 0, где k>0 и цифра u1≠0;
1b°) s номер разряда первой (старшей) цифры числа U;
1c°) если C кратно n, то C=cnk.

Умножим равенство 1° на число gn (оно существует) из равенства Cg=nv+k-nk=ns-nk, где s>>kn. Теперь все цифры числа C (не считая нулей в окончании) будут равны n-1.

Доказательство ВТФ

Рассмотрим s-е цифры As, Bs, Cs (они существуют!) чисел A, B, C в числе U:
Cs=n-1; сумма цифр As+Bs (вместе с возможной единицей из предыдущешго разряда) должна быть больше Cs (в противном случае число U<0); но тогда число As+Bs-Cs образует единицу СЛЕДУЮЩЕГО, (s+1)-го, разряда в числе U и разряд самой старшей цифры в числе U равен не s, а s+1, что противоречит 1b°.

Что свидетельствует об истинности великой теоремы Ферма.

Mezos. 22.06.2018


Вернуться в «Доска математических объявлений»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостя