Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Модератор: модераторы
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Феномен ВТФ: сумма и разность нечетных чисел кратны 4!!!
Обозначение: F(D)=2 – четное число D, не делящееся на 4; F(D)=4 – D, делящееся на 4.
Лемма. Если A и B нечетны, то F(A+B)≠F(A-B). [Сравните: 3+1 и 3-1.]
Итак, пусть для нечетного n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где C – четно,
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B)R] и A^n-B^n=(A-B)Q, где
1a°) F(C)=2 или 4, F(A+B)=F(A^n+B^n)=4, числа A, B, R, Q нечетны.
Доказательство ВТФ
Представим числа A, B, C в виде: A=C'-B', B=C'-A', C=A'+B', где C'=C/2 –
если F(C)=2, и C'=1+C/2 – если F(C)=4, A'-B'=A-B и F(A'+B')=2 [поскольку A'+B'=2C'-(A+B)].
И теперь, согласно Лемме, F(A'-B')=F(A-B)=4. Следовательно, A^n+B^n и A^n-B^n кратны 4,
что, согласно Лемме, невозможно. Данное противоречие доказывает истинность ВТФ.
В.Сорокин. Мезос, 28 февраля 2016
Обозначение: F(D)=2 – четное число D, не делящееся на 4; F(D)=4 – D, делящееся на 4.
Лемма. Если A и B нечетны, то F(A+B)≠F(A-B). [Сравните: 3+1 и 3-1.]
Итак, пусть для нечетного n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где C – четно,
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B)R] и A^n-B^n=(A-B)Q, где
1a°) F(C)=2 или 4, F(A+B)=F(A^n+B^n)=4, числа A, B, R, Q нечетны.
Доказательство ВТФ
Представим числа A, B, C в виде: A=C'-B', B=C'-A', C=A'+B', где C'=C/2 –
если F(C)=2, и C'=1+C/2 – если F(C)=4, A'-B'=A-B и F(A'+B')=2 [поскольку A'+B'=2C'-(A+B)].
И теперь, согласно Лемме, F(A'-B')=F(A-B)=4. Следовательно, A^n+B^n и A^n-B^n кратны 4,
что, согласно Лемме, невозможно. Данное противоречие доказывает истинность ВТФ.
В.Сорокин. Мезос, 28 февраля 2016
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Новая идея. /ВСЕ предыдущие отправить в коллекцию неверных решений!/
ВТФ: маленький двойник равенства Ферма
Анализ в бинарной истеме счисления. Числа A, B, C натуральные.
Лемма: Для нечетного m существует такое g, что mg=1+d2^t, где t сколь угодно велико.
Пусть для взаимно простых A, B, C, n>2 и, допустим, четного C=2^kC' (C' нечетно)
1°) A^n+B^n=C^n, где, как известно,
1a°) число C /A, B/ имеет более одного простого основания.
Доказательство ВТФ
2°) Умножим равенство 1° на G^n, где G=g_1g_2...g_s – произведение множителей из Леммы для каждого нечетного простого сомножителя m1, m2,...ms числа C и t>>2^{kn}.
3°) Теперь правая часть равенства 1° (число C^n) принимает вид: 2^{kn}+2tC''.
Но тогда ТОЖДЕСТВЕННАЯ левая часть принимает вид: a^n+b^n+2^tC''. Откуда
4°) a^n+b^n=2^{kn}, однако это уравнение не имеет целого решения (согласно 1a°).
Полученное противоречие и доказывает истинность ВТФ.
ВТФ: маленький двойник равенства Ферма
Анализ в бинарной истеме счисления. Числа A, B, C натуральные.
Лемма: Для нечетного m существует такое g, что mg=1+d2^t, где t сколь угодно велико.
Пусть для взаимно простых A, B, C, n>2 и, допустим, четного C=2^kC' (C' нечетно)
1°) A^n+B^n=C^n, где, как известно,
1a°) число C /A, B/ имеет более одного простого основания.
Доказательство ВТФ
2°) Умножим равенство 1° на G^n, где G=g_1g_2...g_s – произведение множителей из Леммы для каждого нечетного простого сомножителя m1, m2,...ms числа C и t>>2^{kn}.
3°) Теперь правая часть равенства 1° (число C^n) принимает вид: 2^{kn}+2tC''.
Но тогда ТОЖДЕСТВЕННАЯ левая часть принимает вид: a^n+b^n+2^tC''. Откуда
4°) a^n+b^n=2^{kn}, однако это уравнение не имеет целого решения (согласно 1a°).
Полученное противоречие и доказывает истинность ВТФ.
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Виктор Сорокин писал(а):Новая идея. /ВСЕ предыдущие отправить в коллекцию неверных решений!/
ВТФ: маленький двойник равенства Ферма
Анализ в бинарной истеме счисления. Числа A, B, C натуральные.
Лемма: Для нечетного m существует такое g, что mg=1+d2^t, где t сколь угодно велико.
Пусть для взаимно простых A, B, C, n>2 и, допустим, четного C=2^kC' (C' нечетно)
1°) A^n+B^n=C^n, где, как известно,
1a°) число C /A, B/ имеет более одного простого основания.
Доказательство ВТФ
2°) Умножим равенство 1° на G^n, где G=g_1g_2...g_s – произведение множителей из Леммы для каждого нечетного простого сомножителя m1, m2,...ms числа C и t>>2^{kn}.
3°) Теперь правая часть равенства 1° (число C^n) принимает вид: 2^{kn}+2tC''.
Но тогда ТОЖДЕСТВЕННАЯ левая часть принимает вид: a^n+b^n+2^tC''. Откуда
4°) a^n+b^n=2^{kn}, однако это уравнение не имеет целого решения (согласно 1a°).
Полученное противоречие и доказывает истинность ВТФ.
Виктор, объясните, пожалуйста , что в вашей лемме означает d? и может быть mg=1+d2^t?
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Лукашов Никита писал(а):Виктор, объясните, пожалуйста , что в вашей лемме означает d? и может быть mg=1+d2^t?
Целое число. Неважно какое.
++++++++++++++++++++
ПРИЯТНАЯ ОШИБКА:
Предыдущее доказательство (с абсолютной защитой от формалистики) оказалось правильным!!!
Сегодня я упростил его до ТРЕХ строк.
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Так всё же, mg=1+d*2^t?
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Лукашов Никита писал(а):Так всё же, mg=1+d*2^t?
Я же ответил: КАКОЕ-то целое число. НЕВАЖНО, какое, поскольку в расчетах оно не участвует.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
ВТФ. Школьное доказательство в 4 строки
Противоречие равенства Ферма: сумма и разность нечетных чисел кратны 4!!!
Обозначение: F(C) – k, число сомножителей 2 в четном числе C=2^k*c (c нечетно).
Лемма. Если A и B нечетны, то F(A+B)≠F(A-B). [Сравните: 3+1 и 3-1.]
Итак, пусть для нечетного n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где C=2^k*c.
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B)R] и A^n-B^n=(A-B)Q, где
1a°) F(C)=k>0, F(A+B)=F(A^n+B^n)>2, числа A, B, R, Q нечетны.
Доказательство Великой теоремы Ферма
Представим числа A, B, C в виде: A=C'-B', B=C'-A', C=A'+B', где: C'=C/2^k=c.
Отсюда: F(A'+B')=1 [поскольку A'+B'=2c-(A+B), где c нечетно и A+B делится на 8].
И, согласно Лемме, F(A'-B')=F(A-B)=2, т.е. A-B делится на 4, что противоречит 1a°.
Из чего следует истинность ВТФ.
В.Сорокин. Мезос, 28 февраля 2016
Противоречие равенства Ферма: сумма и разность нечетных чисел кратны 4!!!
Обозначение: F(C) – k, число сомножителей 2 в четном числе C=2^k*c (c нечетно).
Лемма. Если A и B нечетны, то F(A+B)≠F(A-B). [Сравните: 3+1 и 3-1.]
Итак, пусть для нечетного n>2 и взаимно простых натуральных A, B, C, где C=2^k*c.
1°) C^n=A^n+B^n [=(A+B)R] и A^n-B^n=(A-B)Q, где
1a°) F(C)=k>0, F(A+B)=F(A^n+B^n)>2, числа A, B, R, Q нечетны.
Доказательство Великой теоремы Ферма
Представим числа A, B, C в виде: A=C'-B', B=C'-A', C=A'+B', где: C'=C/2^k=c.
Отсюда: F(A'+B')=1 [поскольку A'+B'=2c-(A+B), где c нечетно и A+B делится на 8].
И, согласно Лемме, F(A'-B')=F(A-B)=2, т.е. A-B делится на 4, что противоречит 1a°.
Из чего следует истинность ВТФ.
В.Сорокин. Мезос, 28 февраля 2016
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Виктор Сорокин писал(а):Лукашов Никита писал(а):Так всё же, mg=1+d*2^t?
Я же ответил: КАКОЕ-то целое число. НЕВАЖНО, какое, поскольку в расчетах оно не участвует.
Вы меня во второй раз не понимаете.
Вы написали mg=1+d2^t. Я вас спрашиваю ,может быть там всё же mg=1+d*2^t?( в моём выражении есть знак умножить, а у вас нет)
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Лукашов Никита писал(а):Вы меня во второй раз не понимаете.
Вы написали mg=1+d2^t. Я вас спрашиваю ,может быть там всё же mg=1+d*2^t?( в моём выражении есть знак умножить, а у вас нет)
Да, можно и так, как у Вас. Знак умножения между сомножителями ставится лишь в случае разнопонимания.
Но дело не в этом: последнее доказательство (с подстановками) ОШИБОЧНО. Ввиду простосты аппарата данное "решение" может быть хорошей задачей для школьных олимпиад: найти ошибку! (Я на ней уже трижды спотыкался...)
Но больше я ошибся в другом: П.Ферма дал понять, что решение ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ОРИГИНАЛЬНОЕ! А в подстановках ничего оригинального нет.
Этому условию удовлетворяет предыдущая (от 4 марта) версия доказательства - с превращением длинных окончаний чисел в 1.
Хитрость доказательства такова:
- в числе C^n (соответственно и в левой части!), мы на очень большой длине окончаний превращаем (умножением равенства 1° на G^n, СОХРАНЯЯ степени!) - сомножитель r в 1;
- в итоге от C^n у нас остается лишь A+B, а в левой части (от A^n+B^n) - лишь a^n+b^n, где а и b - ЦЕЛЫЕ, поскольку дроби ОТ умножения целых чисел появиться не могут!
И в итоге мы получаем новое равенство ферма: a^n+b^n=c^n, мешьшее наименьшего, что невозможно.
Опубликую отдельно.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Сказочный инструмент П.Ферма
ВТФ: маленький двойник равенства Ферма /7 строк/
Лемма 1: Для любого числа r, не кратного простому q [>C^n – см. ниже], и сколь угодно большого t существует такое g, что rg=1+dq^t [=...00...001], где d – некоторое целое.
Лемма 2: Сумма степеней после умножения ее на степень остается суммой степеней.
Пусть для взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n с наименьшим числом C, где c^k – сомножитель числа C и c простое.
Доказательство ВТФ
2°) Умножим равенство 1° на G^n, где G=g_1*g_2*...*g_s – произведение сомножителей из Леммы 1 для каждого простого сомножителя m_1, m_2,...m_s (исключая c!) числа C и t больше числа цифр в числе C^n. Теперь на t-значных окончаниях чисел (AG)^n, (BG)^n, (CG)^n (которые есть n-е степени натуральных чисел!) все сомножители (исключая c!) чисел (CG)^n и (AG)^n+(BG)^n есть 1.
После их удаления в правой части остается c^{kn} (<C), а в левой – a^n+b^n (сумма степеней! – см. Лемму 2). И мы получаем равенство-двойник
3°) a^n+b^n=c^n (меньшее меньшего!), что и доказывает невозможность равенства 1°.
Мезос. 4 марта 2014.
ВТФ: маленький двойник равенства Ферма /7 строк/
Лемма 1: Для любого числа r, не кратного простому q [>C^n – см. ниже], и сколь угодно большого t существует такое g, что rg=1+dq^t [=...00...001], где d – некоторое целое.
Лемма 2: Сумма степеней после умножения ее на степень остается суммой степеней.
Пусть для взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n с наименьшим числом C, где c^k – сомножитель числа C и c простое.
Доказательство ВТФ
2°) Умножим равенство 1° на G^n, где G=g_1*g_2*...*g_s – произведение сомножителей из Леммы 1 для каждого простого сомножителя m_1, m_2,...m_s (исключая c!) числа C и t больше числа цифр в числе C^n. Теперь на t-значных окончаниях чисел (AG)^n, (BG)^n, (CG)^n (которые есть n-е степени натуральных чисел!) все сомножители (исключая c!) чисел (CG)^n и (AG)^n+(BG)^n есть 1.
После их удаления в правой части остается c^{kn} (<C), а в левой – a^n+b^n (сумма степеней! – см. Лемму 2). И мы получаем равенство-двойник
3°) a^n+b^n=c^n (меньшее меньшего!), что и доказывает невозможность равенства 1°.
Мезос. 4 марта 2014.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Нет предела совершенству! Но хотелось бы, чтобы доказательство оказалось понятным школьникам.
===============================
Лемма. В системе счисления по простому основанию q [ниже q>C^n] для любого однозначного положительного числа r существует такое g, что rg≡1 (mod q) (т.е. последняя цифра есть 1).
Пусть для наименьшего C, взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R], где, как известно,
1a°) либо A+B=c^n и R=r^n, либо A+B=c^n*n^{kn-1} и R=nr^n, где c>0 и r>0.
Доказательство ВТФ
2°) После умножения равенства 1° на g^n, где rg≡1 (mod q), на последних цифрах степеней (Ag)^n, (Bg)^n, (Cg)^n мы получаем равенство-двойник Ферма с c^n<C^n (меньше меньшего!) :
3°) a^n+b^n=c^n (иное исключается!), что и доказывает истинность Великой Теоремы.
Мезос. 4 марта 2014.
==================
Примечания:
Произведение n-х степеней есть n-я степень.
В равенствах a^n=A и b^n=B необходимости нет.
П.Ферма был прав: такое доказательство уместить на полях книги невозможно.
===============================
Лемма. В системе счисления по простому основанию q [ниже q>C^n] для любого однозначного положительного числа r существует такое g, что rg≡1 (mod q) (т.е. последняя цифра есть 1).
Пусть для наименьшего C, взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) A^n+B^n=C^n [=(A+B)R], где, как известно,
1a°) либо A+B=c^n и R=r^n, либо A+B=c^n*n^{kn-1} и R=nr^n, где c>0 и r>0.
Доказательство ВТФ
2°) После умножения равенства 1° на g^n, где rg≡1 (mod q), на последних цифрах степеней (Ag)^n, (Bg)^n, (Cg)^n мы получаем равенство-двойник Ферма с c^n<C^n (меньше меньшего!) :
3°) a^n+b^n=c^n (иное исключается!), что и доказывает истинность Великой Теоремы.
Мезос. 4 марта 2014.
==================
Примечания:
Произведение n-х степеней есть n-я степень.
В равенствах a^n=A и b^n=B необходимости нет.
П.Ферма был прав: такое доказательство уместить на полях книги невозможно.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Теорема Ферма для среднего обывателя
Свое доказательство Великой теоремы Пьер Ферма охрарактеризовал двумя признаками. Во-первых, оно «замечательное», то есть весьма необычно, оригинально. Во-вторых, оно «не умещается на полях», следовательно, объемом строк в десять. Оба признака говорят также о том, что оно весьма просто, и вряд ли великий арифметик мог в нем ошибиться. Именно исходя из этой логики я и искал доказательство Великой теоремы объемом до одной страницы.
Не буду описывать все перипетии на четверть-вековом пути, скажу лишь, что 4 марта с.г. доказательство с указанными признаками я нашел (и сейчас оно проходит тщательную проверку специалистами). Оно оказалось исключительно простым и кратким и в главных моментах доступно пониманию людей со школьным образованием.
Важными инструментами доказательства являются два факта: 1) при аксиоматическом умножении (АВ)С=А(ВС) число А не меняется; 2) при умножении суммы степеней A^n+B^n на степень C^n каждое из двух слагаемых произведения остается степенью:
(A^n+B^n)C^n=(AС)^n+(BС)^n.
И теперь доказательство Великой теоремы вкратце выглядит так.
Известно (и легко показать), что число А (или В) в равенстве Ферма С^n-B^n=А^n (или в равенстве С^n-А^n=В^n) является составным: А=ар и равенство выглядит так:
С^n-B^n=а^n*р^n. А теперь это равенство мы умножим на такое число g^n, что число рg (и p^n*g^n) будет иметь достаточно длинное окончание (длиннее числа C) вида 00...001. И вот НА ЭТОМ ОКОНЧАНИИ от числа (ар)^n (соответственно и от левой части С^n-B^n!) у нас остается ЛИШЬ число а^n, а в левой части равенства – лишь C-B, являющееся разностью степеней c^n-b^n! То есть мы получили новое, причем значительно МЕНЬШЕЕ равенство Ферма: c^n-b^n=а^n. И теперь если в качестве исходного мы из всех равенств Ферма возьмем то, у которого число А наименьшее, то второе, меньшее, равенство быть целочисленным уже не может.
Вот, соственно, и все доказательство.
На формальном математическом языке этот текст записывается в ТРИ строки!
Подробнее о доказательстве я рассказываю ниже.
***
По сути ключевым инструментом доказательства является простая лемма: теорема, известная специалистам и доступная для доказательства способному шестикласснику:
В системе счисления с ПРОСТЫМ основанием q (3, 5, 7, 11, 13...) для любой цифры r (0<r<q) существует такая цифра g, что произведение rg оканчивается на цифру 1. Это видно, например, из последних цифр в таблице умножения для q=7 и r=2: 2*0 = ...0; 2*1 = ...2; 2*2 = ...4; 2*3 = ...6; 2*4 = ...1; 2*5 = ...3; 2*6 = ...5, с набором последних цифр 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, где никакая цифра не повторяется и, следовательно, среди них есть и 1!
В доказательстве эта Лемма выглядит так:
«Лемма. В системе счисления по простому основанию q [для ВТФ q>C^n!] для однозначного положительного числа r (0<r<q) существует такое g, что rg==1 (mod q) [т.е. последняя цифра произведения rg есть 1]».
Далее я применяю распространенный прием: беру основание q больше всех чисел, участвующих в задаче. Это не сложно, ибо простых чисел бесконечно много.
Затем я сформулирую условие Великой теоремы для НАИМЕНЬШЕГО равенства:
«Пусть для наименьшего A, взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) C^n-B^n=A^n [=(C-B)P – известная формула разложения], где, как известно,
1a°) C-B=a^n и P=p^n, где a>0 и p>0; [эти простые формулы я не доказываю, важно лишь, что A=ap, т.е. содержит ДВА сомножителя]».
Ну и теперь само трехстрочное «Доказательство ВТФ»:
2°) После умножения равенства 1° на g^n, где pg==1 (mod q), на последних цифрах степеней (Ag)^n, (Bg)^n, (Cg)^n мы получаем равенство-двойник Ферма с a^n<A^n :
3°) c^n-b^n=a^n (иное исключается!), что и доказывает истинность Великой Теоремы.
Что значат эти три строчки? С помощью умножения равенства 1° на g^n мы умножили числа А, В, С на g. При этом в числе А мы присоединили множитель g к сомножителю р и в результате в новом числе А получили второй сомножитель рg с ЕДИНИЦЕЙ на конце. В результате число r оединичилось и последняя цифра в числе С стала равной ЛИШЬ первому (однозначному!) сомножителю а, а сама правая часть нового равенства 1° стала равной а^n.
А что же произошло в левой части равенства 1°, с С^n-B^n, после умножения его на g^n? Из двух сомножителей – (С-В) и (p^n*g^n) – числ'а (Сg)^n-(Bg)^n (и в левой, и в правой части равенства Ферма!) последняя цифра второго сомножителя, (p^n*g^n), стала равной 1. В результате мы по последним цифрам c^n, b^n и a^n чисел (Cg)^n, (Bg)^n и (Ag)^n получаем равенство c^n-b^n=a^n, где основания c и b – некоторые целые числа.
В итоге после умножения равенства С^n-B^n=А^n на g^n мы на его последних цифрах (Ag)^n+(Bg)^n=(Cg)^n получаем равенство с^n-b^n=а^n с МЕНЬШИМ основанием в правой части равенства. И мы пришли к абсурду: для наименьшего положительного числа существует число меньшее. Что и доказывает истинность Великой теоремы.
Мезос. 4 марта 2014.
Свое доказательство Великой теоремы Пьер Ферма охрарактеризовал двумя признаками. Во-первых, оно «замечательное», то есть весьма необычно, оригинально. Во-вторых, оно «не умещается на полях», следовательно, объемом строк в десять. Оба признака говорят также о том, что оно весьма просто, и вряд ли великий арифметик мог в нем ошибиться. Именно исходя из этой логики я и искал доказательство Великой теоремы объемом до одной страницы.
Не буду описывать все перипетии на четверть-вековом пути, скажу лишь, что 4 марта с.г. доказательство с указанными признаками я нашел (и сейчас оно проходит тщательную проверку специалистами). Оно оказалось исключительно простым и кратким и в главных моментах доступно пониманию людей со школьным образованием.
Важными инструментами доказательства являются два факта: 1) при аксиоматическом умножении (АВ)С=А(ВС) число А не меняется; 2) при умножении суммы степеней A^n+B^n на степень C^n каждое из двух слагаемых произведения остается степенью:
(A^n+B^n)C^n=(AС)^n+(BС)^n.
И теперь доказательство Великой теоремы вкратце выглядит так.
Известно (и легко показать), что число А (или В) в равенстве Ферма С^n-B^n=А^n (или в равенстве С^n-А^n=В^n) является составным: А=ар и равенство выглядит так:
С^n-B^n=а^n*р^n. А теперь это равенство мы умножим на такое число g^n, что число рg (и p^n*g^n) будет иметь достаточно длинное окончание (длиннее числа C) вида 00...001. И вот НА ЭТОМ ОКОНЧАНИИ от числа (ар)^n (соответственно и от левой части С^n-B^n!) у нас остается ЛИШЬ число а^n, а в левой части равенства – лишь C-B, являющееся разностью степеней c^n-b^n! То есть мы получили новое, причем значительно МЕНЬШЕЕ равенство Ферма: c^n-b^n=а^n. И теперь если в качестве исходного мы из всех равенств Ферма возьмем то, у которого число А наименьшее, то второе, меньшее, равенство быть целочисленным уже не может.
Вот, соственно, и все доказательство.
На формальном математическом языке этот текст записывается в ТРИ строки!
Подробнее о доказательстве я рассказываю ниже.
***
По сути ключевым инструментом доказательства является простая лемма: теорема, известная специалистам и доступная для доказательства способному шестикласснику:
В системе счисления с ПРОСТЫМ основанием q (3, 5, 7, 11, 13...) для любой цифры r (0<r<q) существует такая цифра g, что произведение rg оканчивается на цифру 1. Это видно, например, из последних цифр в таблице умножения для q=7 и r=2: 2*0 = ...0; 2*1 = ...2; 2*2 = ...4; 2*3 = ...6; 2*4 = ...1; 2*5 = ...3; 2*6 = ...5, с набором последних цифр 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, где никакая цифра не повторяется и, следовательно, среди них есть и 1!
В доказательстве эта Лемма выглядит так:
«Лемма. В системе счисления по простому основанию q [для ВТФ q>C^n!] для однозначного положительного числа r (0<r<q) существует такое g, что rg==1 (mod q) [т.е. последняя цифра произведения rg есть 1]».
Далее я применяю распространенный прием: беру основание q больше всех чисел, участвующих в задаче. Это не сложно, ибо простых чисел бесконечно много.
Затем я сформулирую условие Великой теоремы для НАИМЕНЬШЕГО равенства:
«Пусть для наименьшего A, взаимно простых натуральных A, B, C и простого n>2
1°) C^n-B^n=A^n [=(C-B)P – известная формула разложения], где, как известно,
1a°) C-B=a^n и P=p^n, где a>0 и p>0; [эти простые формулы я не доказываю, важно лишь, что A=ap, т.е. содержит ДВА сомножителя]».
Ну и теперь само трехстрочное «Доказательство ВТФ»:
2°) После умножения равенства 1° на g^n, где pg==1 (mod q), на последних цифрах степеней (Ag)^n, (Bg)^n, (Cg)^n мы получаем равенство-двойник Ферма с a^n<A^n :
3°) c^n-b^n=a^n (иное исключается!), что и доказывает истинность Великой Теоремы.
Что значат эти три строчки? С помощью умножения равенства 1° на g^n мы умножили числа А, В, С на g. При этом в числе А мы присоединили множитель g к сомножителю р и в результате в новом числе А получили второй сомножитель рg с ЕДИНИЦЕЙ на конце. В результате число r оединичилось и последняя цифра в числе С стала равной ЛИШЬ первому (однозначному!) сомножителю а, а сама правая часть нового равенства 1° стала равной а^n.
А что же произошло в левой части равенства 1°, с С^n-B^n, после умножения его на g^n? Из двух сомножителей – (С-В) и (p^n*g^n) – числ'а (Сg)^n-(Bg)^n (и в левой, и в правой части равенства Ферма!) последняя цифра второго сомножителя, (p^n*g^n), стала равной 1. В результате мы по последним цифрам c^n, b^n и a^n чисел (Cg)^n, (Bg)^n и (Ag)^n получаем равенство c^n-b^n=a^n, где основания c и b – некоторые целые числа.
В итоге после умножения равенства С^n-B^n=А^n на g^n мы на его последних цифрах (Ag)^n+(Bg)^n=(Cg)^n получаем равенство с^n-b^n=а^n с МЕНЬШИМ основанием в правой части равенства. И мы пришли к абсурду: для наименьшего положительного числа существует число меньшее. Что и доказывает истинность Великой теоремы.
Мезос. 4 марта 2014.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
ВТФ. Число A (и B и C) бесконечно. Экстраординарное доказательство
Гипотетический ПОСТУЛАТ П.Ферма:
Если в тождественной форме числовой функции появляется слагаемое со своим аргументом, которое ни при каком значении аргумента не меняет значение функции, то это слагаемое тождественно РАВНО НУЛЮ. Например: F_1(y)=F_2(y)+(x^2-x^2).
====================================
УДОБНЫЕ Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A_(t) – t-я цифра от конца числа A; а также: A_(1)=A', A_(2)=A'', A_(3)=A'''...
A_[t] – t-значное окончание (или [t]-окончание) числа A.
Ключевая лемма: Значение цифр (A^n)_(t+1), (A^{nn})_(t+1)... (An^{t+1})_(t+1) не зависят от цифр A_(t+1), A_(t),... A''. И окончания A^n_[2], A^{nn}_[3], A^{nnn}_[4],... не зависят от цифры A''.
Итак, допустим, что для взаимно простых натуральных A, B, C, где A'[или B']=/=0,
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], где, как известно, C-B=a^n, P=p^n и A=ap. Аналогично:
B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q], C-A=b^n, Q=q^n; C^n=A^n+B^n [=(A+B)R], A+B=c^n, R=r^n.
(Если же B[или C]=Dn^k, где D'=/=0, то C-A=b^n*n^{kn-1}.)
1a°) A'=a' и P'=p'=1 (следствие из малой теоремы), A_[2]=a^n_[2], A''=a^n'', P_[2]=1^n_[2]=01.
1b°) Из (A+B)R-(C-B)P-(C-A)Q=0 мы находим: [2U=] (A+B)-(C-B)-(C-A)=2un^k и
U=A+B-C=(A+B)-C=A-(C-B)=B-(C-A)=un^k, где u'=/=0 и (на старте) k=2.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
Заменив в 1° окончание A_[2] на {a^n}_[2] (см. 1a°) и учтя Лемму, мы находим:
2°) {A^n}_[3]={({a'^n}_[2])^n}_[3]=a'^{nn}_[3] и {A^n}_[3]= {a^n}_[3]*P_[3], где {a^n}_[3]= {(...na''+a')^n}_[3] и {p^n}_[3]={(...np''+1)^n}_[3].
Но поскольку левое число {A^n}_[3] не содержит цифры A'', а тождественное ему правое выражение {a^n}_[3]*{p^n}_[3] не зависит от значений вторых цифр a'' и p'', то, согласно постулату, цифры a'' и p'' равны нулю. И равенство 2° принимает вид:
3°) {A^n}_[3]={(a_[1])^n}_[3]*{1^n}_[3]={(a_[1])^n}_[3]*(001)={(a'^n)_[3]}*(001), где 001 есть P_[3].
3a°) Точно также мы находим, что и Q_[3]=R_[3]=001 (если, конечно, Q'=/=0 и R'=/=0).
Теперь из 1b° мы находим, что k=3, A+B-C==0 [A==a^n, B==b^n, C==c^n] (mod n^3) и
4°) A_[3]=(a^{nn})_[3]=(a'^{nn})_[3], A''''=a^{nn}'''', P_[4]={1^n}_[4]=0001.
Если же, например, B'=0, то его член (C-A)Q с kn нулями (в 1b°) значения не имеет.
Ну а дальше цикл рассуждений 2°-4° повторяется бесконечно, при этом в каждом цикле показатели степени в формуле 4° умножаются на n и единичные окончания в числах P, Q, R удлинняются на одну цифру. И так до бесконечности, что доказывает истинность ВТФ.
Виктор Сорокин /16 марта 2016. Мезос, Франция/
P.S. Есть второе, асболютно классическое доказательство, но лишь для (ABC)'=/=0.
Гипотетический ПОСТУЛАТ П.Ферма:
Если в тождественной форме числовой функции появляется слагаемое со своим аргументом, которое ни при каком значении аргумента не меняет значение функции, то это слагаемое тождественно РАВНО НУЛЮ. Например: F_1(y)=F_2(y)+(x^2-x^2).
====================================
УДОБНЫЕ Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A_(t) – t-я цифра от конца числа A; а также: A_(1)=A', A_(2)=A'', A_(3)=A'''...
A_[t] – t-значное окончание (или [t]-окончание) числа A.
Ключевая лемма: Значение цифр (A^n)_(t+1), (A^{nn})_(t+1)... (An^{t+1})_(t+1) не зависят от цифр A_(t+1), A_(t),... A''. И окончания A^n_[2], A^{nn}_[3], A^{nnn}_[4],... не зависят от цифры A''.
Итак, допустим, что для взаимно простых натуральных A, B, C, где A'[или B']=/=0,
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], где, как известно, C-B=a^n, P=p^n и A=ap. Аналогично:
B^n=C^n-A^n [=(C-A)Q], C-A=b^n, Q=q^n; C^n=A^n+B^n [=(A+B)R], A+B=c^n, R=r^n.
(Если же B[или C]=Dn^k, где D'=/=0, то C-A=b^n*n^{kn-1}.)
1a°) A'=a' и P'=p'=1 (следствие из малой теоремы), A_[2]=a^n_[2], A''=a^n'', P_[2]=1^n_[2]=01.
1b°) Из (A+B)R-(C-B)P-(C-A)Q=0 мы находим: [2U=] (A+B)-(C-B)-(C-A)=2un^k и
U=A+B-C=(A+B)-C=A-(C-B)=B-(C-A)=un^k, где u'=/=0 и (на старте) k=2.
Элементарное доказательство Великой теоремы Ферма
Заменив в 1° окончание A_[2] на {a^n}_[2] (см. 1a°) и учтя Лемму, мы находим:
2°) {A^n}_[3]={({a'^n}_[2])^n}_[3]=a'^{nn}_[3] и {A^n}_[3]= {a^n}_[3]*P_[3], где {a^n}_[3]= {(...na''+a')^n}_[3] и {p^n}_[3]={(...np''+1)^n}_[3].
Но поскольку левое число {A^n}_[3] не содержит цифры A'', а тождественное ему правое выражение {a^n}_[3]*{p^n}_[3] не зависит от значений вторых цифр a'' и p'', то, согласно постулату, цифры a'' и p'' равны нулю. И равенство 2° принимает вид:
3°) {A^n}_[3]={(a_[1])^n}_[3]*{1^n}_[3]={(a_[1])^n}_[3]*(001)={(a'^n)_[3]}*(001), где 001 есть P_[3].
3a°) Точно также мы находим, что и Q_[3]=R_[3]=001 (если, конечно, Q'=/=0 и R'=/=0).
Теперь из 1b° мы находим, что k=3, A+B-C==0 [A==a^n, B==b^n, C==c^n] (mod n^3) и
4°) A_[3]=(a^{nn})_[3]=(a'^{nn})_[3], A''''=a^{nn}'''', P_[4]={1^n}_[4]=0001.
Если же, например, B'=0, то его член (C-A)Q с kn нулями (в 1b°) значения не имеет.
Ну а дальше цикл рассуждений 2°-4° повторяется бесконечно, при этом в каждом цикле показатели степени в формуле 4° умножаются на n и единичные окончания в числах P, Q, R удлинняются на одну цифру. И так до бесконечности, что доказывает истинность ВТФ.
Виктор Сорокин /16 марта 2016. Мезос, Франция/
P.S. Есть второе, асболютно классическое доказательство, но лишь для (ABC)'=/=0.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
ВТФ. Тайна теоремы Ферма
Внутреняя непротиворечивость равенства Ферма поистине впечатляет: за три с половиной века найти противоречие в общем виде так никому и не удалось. Лично я исследовал порядка 10 тысяч идей и не то что противоречия, но даже какой-нибудь необычности обнаружить не удалось. За исключением, правда, одного момента: k-я цифра степени A^n абсолютно не зависит от k-й цифры основания A (замечу, это верно лишь в системе счисления в базе с простым основанием n). В частности, вторая цифра (A^n)'' числа A^n совершеннно не зависит от второй цифры A'' осования A. Лишь в последнее время я обнаружил (правда, не совсем бесспорный) подход к использованию этого факта.
Эту идею можно сформулировать как спорный гипотетический постулат Ферма:
В равенстве Ферма C^n=(A+B)R, где A+B=a^n, R=r^n и C''=(c^n)'', по трехзначным окончаниям цифра C'' никак не влияет на трехзначное окончание степени C^n; следовательно, вторые цифры c'' и r'' оснований c и r в ТОЖДЕСТВЕННОЙ правой части либо ОТСУТСТВУЮТ, либо равны НУЛЮ.
Действительно, левая и правая части равенства Ферма есть ОДИНАКОВЫЕ степени РАВНЫХ по величине оснований. Поэтому вводить вторые цифры в сомножители правой части равенства, отсутствующие в левой части равенства, есть, по моему убеждению, нарушение принципа тождественности. Если мировое математическое сообщество согласится с указанным постулатом, то тогда легко доказывается следующий неожиданный факт: каждое из чисел A, B, C в равенстве Ферма состоит из ЕДИНСТВЕННОЙ (последней) цифры, но в бесконечно большой степени.
И потому хотелось бы услышать мнение специалистов.
Внутреняя непротиворечивость равенства Ферма поистине впечатляет: за три с половиной века найти противоречие в общем виде так никому и не удалось. Лично я исследовал порядка 10 тысяч идей и не то что противоречия, но даже какой-нибудь необычности обнаружить не удалось. За исключением, правда, одного момента: k-я цифра степени A^n абсолютно не зависит от k-й цифры основания A (замечу, это верно лишь в системе счисления в базе с простым основанием n). В частности, вторая цифра (A^n)'' числа A^n совершеннно не зависит от второй цифры A'' осования A. Лишь в последнее время я обнаружил (правда, не совсем бесспорный) подход к использованию этого факта.
Эту идею можно сформулировать как спорный гипотетический постулат Ферма:
В равенстве Ферма C^n=(A+B)R, где A+B=a^n, R=r^n и C''=(c^n)'', по трехзначным окончаниям цифра C'' никак не влияет на трехзначное окончание степени C^n; следовательно, вторые цифры c'' и r'' оснований c и r в ТОЖДЕСТВЕННОЙ правой части либо ОТСУТСТВУЮТ, либо равны НУЛЮ.
Действительно, левая и правая части равенства Ферма есть ОДИНАКОВЫЕ степени РАВНЫХ по величине оснований. Поэтому вводить вторые цифры в сомножители правой части равенства, отсутствующие в левой части равенства, есть, по моему убеждению, нарушение принципа тождественности. Если мировое математическое сообщество согласится с указанным постулатом, то тогда легко доказывается следующий неожиданный факт: каждое из чисел A, B, C в равенстве Ферма состоит из ЕДИНСТВЕННОЙ (последней) цифры, но в бесконечно большой степени.
И потому хотелось бы услышать мнение специалистов.
-
- Сообщения: 533
- Зарегистрирован: Вт, 31 янв 2006, 16:45
Re: Великая теорема Ферма. Доказательство Виктора Сорокина
Теорема Ферма /окончательный вариант/: A+B-C=0
УДОБНЫЕ Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A_(t) – t-я цифра от конца в числе A; A'=A_(1); A''=A_(2)...; A_[t] – t-значное окончание числа A.
L.1. Лемма 1. Значения цифр (A^n)_(t+1), (A^{nn})_(t+1), (A^{nnn})_(t+1), ... НЕ ЗАВИСЯТ от цифр A_(t+1), A_(t), A_(t-1), ... И окончания (A^n)_[2], (A^{nn})_[3], (A^{nnn})_[4],... зависят ЛИШЬ от цифры A'. (Простейшее следствие из бинома Ньютона для простой степени n>2.)
L.2. Лемма 2. Для A с A'=1 и любого t существует такое число g, что Ag^{n-1}=Gn^t+1.
L.3. Лемма 3. Если A'=1, то (A^{n^(k-1)})_[k]=(A^{n^k})_[k]. Действительно, поскольку (A^{n-1})'=1 (см. малую теорему Ферма), то
[A^{n^k}-A^{n^(k-1)}]_[k]=[A^{n^k-n^(k-1)}-1]_[k]=[(A^{n-1})^{n^(k-1)}-1]_[k]=0.
Итак, пусть для взаимно простых натуральных A, B, C, где A' [или B']≠0,
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], где, как известно,
1a°) C-B=a^n, P=p^n, A=ap; p'=1 и P_[2]=(p^n)_[2]=01.
1b°) [U_[k]=] (A+B-C)_[k]=0, k>0, U_(k)≠0.
1c°) A_[2]=(ap)_[2]=(C-B)_[2]=(a^n)_[2]=[(a')^n]_[2].
L.4. Лемма 4. Если p_[k+1]=1, где k>1, то A_[k]=(C-B)_[k].
Доказательство. Из равенства A_[2]=(ap)_[2]=(a^n)_[2] (см. 1c°), где p_[2]=1, мы находим:
1d°) (A^n)_[2]=a_[2]=(a^n)_[2]. И теперь после замены числа a (в правой части равенства) на a_[2], с учетом Леммы 1, мы в правой и левой частях получаем:
1e°) (A^n)_[3]= [и a_[3]] =[(a_[2])^n]_[3]=[(a^n)_[2]^n]_[3]=[a^{nn}]_[3]. Затем мы делаем такую же подстановку (a_[2]=(a^n)_[2]) уже в этом равенстве с получением (A^n)_[4]= [и a_[4]] =(a_[3]^n)_[4]={[(a^{nn})_[3]]^n}_[4]=(a^{nnn})_[4].
И так далее до получения равенства
1f°) [a_[k]=] (A^n)_[k+1]=(C-B)_[k+1]=(a^{n^k})_[k+1], откуда, согласно L.3, мы находим:
1g°) [a_[k]=] A_[k]=(C-B)_[k]=(a^{n^k})_[k].
Доказательство ВТФ
Умножим равенство 1° на число g^{nn}, где g таково, что pg^{n-1}=Gn^{k+1}+1 (см. L.2).
Теперь в новом равенстве Ферма p_[k+1]=P_[k+1]=1 и, согласно L.3, A_[k]=(C-B)_[k] и U_(k)=0, что противоречит 1b°. Следовательно, U=0 и равенство 1° невозможно. ВТФ доказана.
28 апреля 2016
Удобочитаемый текст в Worde:
http://rm.pp.net.ua/publ/ehlementarnoe_ ... 1-1-0-1778
УДОБНЫЕ Обозначения в системе счисления с простым основанием n>2:
A_(t) – t-я цифра от конца в числе A; A'=A_(1); A''=A_(2)...; A_[t] – t-значное окончание числа A.
L.1. Лемма 1. Значения цифр (A^n)_(t+1), (A^{nn})_(t+1), (A^{nnn})_(t+1), ... НЕ ЗАВИСЯТ от цифр A_(t+1), A_(t), A_(t-1), ... И окончания (A^n)_[2], (A^{nn})_[3], (A^{nnn})_[4],... зависят ЛИШЬ от цифры A'. (Простейшее следствие из бинома Ньютона для простой степени n>2.)
L.2. Лемма 2. Для A с A'=1 и любого t существует такое число g, что Ag^{n-1}=Gn^t+1.
L.3. Лемма 3. Если A'=1, то (A^{n^(k-1)})_[k]=(A^{n^k})_[k]. Действительно, поскольку (A^{n-1})'=1 (см. малую теорему Ферма), то
[A^{n^k}-A^{n^(k-1)}]_[k]=[A^{n^k-n^(k-1)}-1]_[k]=[(A^{n-1})^{n^(k-1)}-1]_[k]=0.
Итак, пусть для взаимно простых натуральных A, B, C, где A' [или B']≠0,
1°) A^n=C^n-B^n [=(C-B)P], где, как известно,
1a°) C-B=a^n, P=p^n, A=ap; p'=1 и P_[2]=(p^n)_[2]=01.
1b°) [U_[k]=] (A+B-C)_[k]=0, k>0, U_(k)≠0.
1c°) A_[2]=(ap)_[2]=(C-B)_[2]=(a^n)_[2]=[(a')^n]_[2].
L.4. Лемма 4. Если p_[k+1]=1, где k>1, то A_[k]=(C-B)_[k].
Доказательство. Из равенства A_[2]=(ap)_[2]=(a^n)_[2] (см. 1c°), где p_[2]=1, мы находим:
1d°) (A^n)_[2]=a_[2]=(a^n)_[2]. И теперь после замены числа a (в правой части равенства) на a_[2], с учетом Леммы 1, мы в правой и левой частях получаем:
1e°) (A^n)_[3]= [и a_[3]] =[(a_[2])^n]_[3]=[(a^n)_[2]^n]_[3]=[a^{nn}]_[3]. Затем мы делаем такую же подстановку (a_[2]=(a^n)_[2]) уже в этом равенстве с получением (A^n)_[4]= [и a_[4]] =(a_[3]^n)_[4]={[(a^{nn})_[3]]^n}_[4]=(a^{nnn})_[4].
И так далее до получения равенства
1f°) [a_[k]=] (A^n)_[k+1]=(C-B)_[k+1]=(a^{n^k})_[k+1], откуда, согласно L.3, мы находим:
1g°) [a_[k]=] A_[k]=(C-B)_[k]=(a^{n^k})_[k].
Доказательство ВТФ
Умножим равенство 1° на число g^{nn}, где g таково, что pg^{n-1}=Gn^{k+1}+1 (см. L.2).
Теперь в новом равенстве Ферма p_[k+1]=P_[k+1]=1 и, согласно L.3, A_[k]=(C-B)_[k] и U_(k)=0, что противоречит 1b°. Следовательно, U=0 и равенство 1° невозможно. ВТФ доказана.
28 апреля 2016
Удобочитаемый текст в Worde:
http://rm.pp.net.ua/publ/ehlementarnoe_ ... 1-1-0-1778
Вернуться в «Доска математических объявлений»
Кто сейчас на конференции
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 17 гостей