Страница 1 из 1

Математическая индукция

Добавлено: Пт, 26 янв 2018, 15:31
PSP
Это мощное "оружие" для доказательства. Но, как и всяким другим оружием, им надо пользоваться аккуратно и грамотно.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Пт, 26 янв 2018, 16:24
PSP
LNV напомнил мне об одном довольно древнем "приколе"...
Вот одна из его версий:
Лошади одной масти.jpg
Лошади одной масти.jpg (89.99 КБ) 853 просмотра

Re: Математическая индукция

Добавлено: Сб, 27 янв 2018, 19:05
LNV
Коль я напомнил PSP об этом "приколе", то я и отвечу на поставленный вопрос (см. выше).

Ошибка в этих рассуждениях, безусловно, есть, и, как не странно, заключается она в БАЗЕ индукции. Для того, чтобы доказательство было верным, нужно, чтобы утверждение в базе было доказано хотя бы для двух лошадей, чего мы, естестественно не докажем.

Здесь можно провести следующую аналогию (чтобы лучше понять мои рассуждения):
Пусть база - это мы, а автобус - это индукционный переход.
Если мы сели в автобус, и он поехал, то такое доказательство можно считать полным.
Но мы ведь можем и не сесть в автобус, а он всё равно без нас поедет... :roll:

Re: Математическая индукция

Добавлено: Вс, 28 янв 2018, 12:20
PSP
LNV писал(а):Коль я напомнил PSP об этом "приколе", то я и отвечу на поставленный вопрос (см. выше).

Ошибка в этих рассуждениях, безусловно, есть, и, как не странно, заключается она в БАЗЕ индукции. Для того, чтобы доказательство было верным, нужно, чтобы утверждение в базе было доказано хотя бы для двух лошадей...
Это на основании чего же делается такое утверждение?
Базой индукции может быть любое (обычно, натуральное) число m. И, если проведена индукция по n (с шагом 1), то тем самым доказано, что утверждение верно для любого натурального n, начиная с числа m.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Вс, 28 янв 2018, 13:21
LNV
PSP писал(а):Это на основании чего же делается такое утверждение?
Базой индукции может быть любое (обычно, натуральное) число m. И, если проведена индукция по n (с шагом 1), то тем самым доказано, что утверждение верно для любого натурального n, начиная с числа m.

Нет, не любое. Для того, чтобы можно было продолжать рассуждения (то есть делать индукционный переход), необходимо иметь равенство мастей хотя бы двух лошадей.
Повторюсь ещё раз: автобус-то движется, но мы в него не сели.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Пн, 29 янв 2018, 12:38
PSP
LNV писал(а):Нет, не любое. Для того, чтобы можно было продолжать рассуждения (то есть делать индукционный переход), необходимо иметь равенство мастей хотя бы двух лошадей.
Повторюсь ещё раз: автобус-то движется, но мы в него не сели.

Любое.
Для доказательства методом математической индукции, например, того, что n2+1 > n я могу в качестве базы взять, скажем, число -10, проверить, что 101 > -10, осуществить индукционный переход, после чего утверждать, что n2+1 > n выполняется при всех целых n, начиная с -10.
Вне зависимости от того, что думает LNV о методе математической индукции, этот метод ровным счётом не думает ни о ком - он существует вне и независимо от нашего сознания. Что касается базы, то справедливо именно то, о чём я писал выше.
И методу математической индукции безразличен даже автобус. :)
Не исключаю, что LNV хотел сказать нечто иное - отличное от того, что написал. Но я возразил тому, что было написано (утверждению о базе индукции).

Re: Математическая индукция

Добавлено: Пн, 29 янв 2018, 14:37
LNV
Ладно, PSP, раз общими словим не получается убить "доказательство" буду говорить конкретно:
Из того, что одна лошадь своей масти не следует, что 2 лошади одной масти.
Следовательно, доказательство, неверно.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Пн, 29 янв 2018, 15:23
PSP
LNV писал(а):Ладно, PSP, раз общими словим не получается убить "доказательство" буду говорить конкретно:
Из того, что одна лошадь своей масти не следует, что 2 лошади одной масти.
Следовательно, доказательство, неверно.

Во-первых, конкретное док-во конкретного утверждения надо не "общими словами убивать", а (если решение неверное) указывать на ошибку в решении.
Во-вторых, в решении не утверждается, что из того, что одна лошадь своей масти, следует, что 2 лошади одной масти.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Пн, 29 янв 2018, 18:01
LNV
PSP писал(а):
LNV писал(а):Ладно, PSP, раз общими словим не получается убить "доказательство" буду говорить конкретно:
Из того, что одна лошадь своей масти не следует, что 2 лошади одной масти.
Следовательно, доказательство, неверно.

Во-первых, конкретное док-во конкретного утверждения надо не "общими словами убивать", а (если решение неверное) указывать на ошибку в решении.
Во-вторых, в решении не утверждается, что из того, что одна лошадь своей масти, следует, что 2 лошади одной масти.

Утверждается - в индукционном переходе, если n=1.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Вт, 30 янв 2018, 16:58
PSP
LNV писал(а):
PSP писал(а):
LNV писал(а):Из того, что одна лошадь своей масти не следует, что 2 лошади одной масти.
Следовательно, доказательство, неверно.

...Во-вторых, в решении не утверждается, что из того, что одна лошадь своей масти, следует, что 2 лошади одной масти.

Утверждается - в индукционном переходе, если n=1.

В индукционном переходе не это утверждается. Советую внимательно прочитать доказательство.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Пн, 30 апр 2018, 17:21
LNV
Я думаю, пора уже закончить этот разговор. :)

При n=2 индукционный переход не верен, так как между первой и второй лошадью нет лошадей.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Вт, 01 май 2018, 14:56
PSP
LNV писал(а):При n=2 индукционный переход не верен, так как между первой и второй лошадью нет лошадей.

Индукционный пе переход - это импликация: если верно А(k), то верно A(k+1).
Она, как и любое утверждение, может быть истинной, а может быть ложной.
А заявление о том, что индукционный переход неверен при каком-то n, увы, не имеет смысла.

К тому же, понять, в чём смысл утверждения об отсутствии лошадей между первой и второй лошадьми, мне не представляется возможным.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Вт, 01 май 2018, 16:03
LNV
PSP писал(а):Индукционный переход - это импликация: если верно А(k), то верно A(k+1).
Она, как и любое утверждение, может быть истинной, а может быть ложной.
А заявление о том, что индукционный переход неверен при каком-то n, увы, не имеет смысла.

Я с Вами не согласен.
Индукционный переход: если верно если верно А(k), то верно A(k+1) ПРИ ЛЮБОМ k, о которых ведётся речь в задаче.
С такой добавкой я соглашаюсь с Вашими рассуждениями.

Возвращаясь к нашей задаче:
Я утверждаю, что индукционный переход верен не при всех k, а именно: если верно А(1), то НЕ верно A(2).

PSP писал(а):К тому же, понять, в чём смысл утверждения об отсутствии лошадей между первой и второй лошадьми, мне не представляется возможным.

А понимать это надо очень просто. В решении говорится:
"Но лошади посередине с номерами от 2 до n-1 не могут изменять масть..."
Ну начнём с того, что при n=2 эта фраза вообще не имеет смысла, и при n=2 посередине лошадей к тому нет. А так как дальнейшие рассуждение строится на последнем факте (который в кавычках), который неверен, значит, и всё решение неверно.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Ср, 02 май 2018, 14:55
PSP
LNV писал(а):
PSP писал(а):Индукционный переход - это импликация: если верно А(k), то верно A(k+1).
Она, как и любое утверждение, может быть истинной, а может быть ложной.
А заявление о том, что индукционный переход неверен при каком-то n, увы, не имеет смысла.

Я с Вами не согласен.
Индукционный переход: если верно если верно А(k), то верно A(k+1) ПРИ ЛЮБОМ k, о которых ведётся речь в задаче.


По всей видимости, LNV надобно разобраться в логике и, в частности, в том, что такое импликация.
А то можно начать не соглашаться даже с тем, что утверждение "2 меньше или равно 2" истинно, по той лишь причине, что 2 равно 2
(такое часто приходится слышать).
.

Re: Математическая индукция

Добавлено: Ср, 02 май 2018, 15:02
PSP
LNV писал(а):
PSP писал(а):К тому же, понять, в чём смысл утверждения об отсутствии лошадей между первой и второй лошадьми, мне не представляется возможным.

А понимать это надо очень просто. В решении говорится:
"Но лошади посередине с номерами от 2 до n-1 не могут изменять масть..."
Ну начнём с того, что при n=2 эта фраза вообще не имеет смысла, и при n=2 посередине лошадей к тому нет. А так как дальнейшие рассуждение строится на последнем факте (который в кавычках), который неверен, значит, и всё решение неверно.


Я не увидел здесь ответа на свой вопрос: в чём смысл утверждения об отсутствии лошадей между первой и второй лошадьми?
Возможно, вместо критики старинного доказательства (которое, разумеется, ущербно) стоит переформулирвать утверждение так, чтобы его смысл стал понятен.