Комбинаторика и вероятность...

Модератор: модераторы

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Пн, 18 дек 2017, 14:33

Об этом мы говорили на занятиях всех групп (за исключением только группы 2-классников).

Но всё же напомним классическое определение вероятности:

пусть в результате некоего испытания число всевозможных равновероятных событий равно n, а число благоприятных исходов (тех, при которых испытание заканчивается успехом) равно m; тогда
вероятность p = m/n.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Пн, 18 дек 2017, 15:31

ПУСТЯКОВЫЙ ВОПРОСИК

Возьмём игральную кость. Бросим её 2 раза. Очевидно, сумма выпавших очков равна одному из чисел: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Какова вероятность выпадения той или иной суммы?

Обозначим вероятность выпадения суммы k через p(k).

Рассуждаем так. При каждом броске исходов 6, значит, в нашем эксперименте (бросания кости дважды) их 36.
Сумма 2 получается только в одном случае (1+1), поэтому p(2)=1/36.
Сумма 3 получается в одном случае (1+2), поэтому p(3)=1/36.
Сумма 4 получается в двух случаях (1+3, 2+2), поэтому p(4)=2/36.
Сумма 5 получается в двух случаях (1+4, 2+3), поэтому p(5)=2/36.
Сумма 6 получается в трёх случаях (1+5, 2+4, 3+3), поэтому p(6)=3/36.
Сумма 7 получается в трёх случаях (1+6, 2+5, 3+4), поэтому p(7)=3/36.
Сумма 8 получается в трёх случаях (2+6, 3+5, 4+4), поэтому p(8)=3/36.
Сумма 9 получается в двух случаях (3+6, 4+5), поэтому p(9)=2/36.
Сумма 10 получается в трёх случаях (4+6, 5+5), поэтому p(10)=2/36.
Сумма 11 получается в одном случае (5+6), поэтому p(11)=1/36.
Сумма 12 получается в одном случае (6+6), поэтому p(12)=1/36.

А теперь проделайте описанный эксперимент (дважды бросьте игральную кость) 36 раз.
Похож ваш практический результат на расчётный ?
В частности, действительно сумма 9 получалось примерно столько же раз, что и сумма 10?

(По расчётам и 9, и 10 получаются 2 раза из 36).

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Вт, 26 дек 2017, 17:39

ПРИЗОВАЯ ЗАДАЧА № 3
«Кое-что из жизни Шуршавчика»

Шуршавчик_15.jpg
Шуршавчик_15.jpg (43.01 КБ) 4457 просмотров

Задача состоит из 4 сюжетов. Совсем не обязательно решить их все. Если что-то у вас получилось – присылайте решения или даже, в крайнем случае, только ответ – всё зачтётся! Срок отправки - не позже 23 часов 13 января 2018 года.

Сюжет 1. В стране Шуршавии 2017 математиков. Среди них есть тупые и умные (это два взаимоисключающих термина). Известно, что из любых семнадцати математиков Шуршавии, по крайней мере, один туп. Какое наименьшее число тупых математиков может быть в Шуршавии?

Сюжет 2. Шуршавчик – существо странное: живёт на координатной прямой в её начале и, выйдя гулять, делает 123 единичных шага вправо, 77 единичных шагов влево (в каком-то порядке). Назовём разносом Шуршавчика разность между наибольшей и наименьшей его координатами за всё время гуляния. Сколько существует различных последовательностей движения Шуршавчика, при которых его разнос будет наибольшим возможным?

Сюжет 3. Квадратная площадка перед домом Шуршавчика разбита на маленькие треугольники (см. рисунок). Шуршавчик решил выкрасить в желтый цвет ровно треть площадки, при этом соблюдая закон Шуршавии о том, что ни один из маленьких треугольников не может быть выкрашен частично.
Сюжет 3.jpg
Сюжет 3.jpg (21.13 КБ) 4457 просмотров
Сколькими способами Шуршавчик может выкрасить ровно треть этой площадки?

Сюжет 4. В Шуршавии двойни не рождаются, рождение девочки и мальчика равновероятны, а также равновероятны возможности рождения детей в тот или иной день недели. (В Шуршавии, как и в России, в неделе 7 дней: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье.) Известно, что в семьях как Обычного Шуршавчика, так и Самого Шуршавого Шуршавчика по двое детей, причём один из них – мальчик. Какова для каждой из этих семей вероятность того, что в семье один мальчик и одна девочка, если известно, что жена Самого Шуршавого Шуршавчика родила мальчика в понедельник?

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Пт, 29 дек 2017, 14:44

ДАНЯ ТЮКОВ - самый внимательный!

В сюжете 3 ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 3 специально сначала не был сформулирован вопрос, чтобы понять, кто же первым это заметит.
Это был 7-классник Даня Тюков.
Молодец!
Внимательность_40.jpg
Внимательность_40.jpg (77.23 КБ) 4380 просмотров
Приз за внимательность Даня уже заработал...

LNV
Сообщения: 45
Зарегистрирован: Вт, 17 ноя 2015, 20:45

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение LNV » Вт, 09 янв 2018, 22:33

Ну пора уже развеять МИФ решения ПУСТЯКОВОГО ВОПРОСИКА, а то они (и миф и вопросик) неприлично давно здесь "висят"...

Рассуждаем так. При каждом броске исходов 6, значит, в нашем эксперименте (бросания кости дважды) их 36.

Здесь никаких сомнений в правильности этого утверждения нет.
Сумма 2 получается только в одном случае (1+1), поэтому p(2)=1/36.

Тут тоже всё правильно.
Сумма 3 получается в одном случае (1+2), поэтому p(3)=1/36.

А вот здесь я ПРОТЕСТУЮ (!!!): сумма 3 получается в ДВУХ случаях (1+2, 2+1), поэтому p(3)=2/36 !
Сумма 4 получается в двух случаях (1+3, 2+2), поэтому p(4)=2/36.

Аналогично, сумма 4 получается в ТРЁХ случаях (1+3, 2+2, 3+1), поэтому p(4)=3/36 !

С остальными суммами также действуем аналогично:
Сумма 5 получается в двух случаях (1+4, 2+3), поэтому p(5)=2/36.
Сумма 6 получается в трёх случаях (1+5, 2+4, 3+3), поэтому p(4)=3/36.
Сумма 7 получается в трёх случаях (1+6, 2+5, 3+4), поэтому p(4)=3/36.
Сумма 8 получается в трёх случаях (2+6, 3+5, 4+4), поэтому p(4)=3/36.
Сумма 9 получается в двух случаях (3+6, 4+5), поэтому p(4)=2/36.
Сумма 10 получается в трёх случаях (4+6, 5+5), поэтому p(4)=2/36.
Сумма 11 получается в одном случае (5+6), поэтому p(4)=1/36.
Сумма 12 получается в одном случае (6+6), поэтому p(4)=1/36.


Кстати, замечу, что начиная с суммы 6, psp вместо p(k) везде пишет p(4). Можно было бы хотя бы об этой ошибке здесь написать...

Изображение

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Ср, 10 янв 2018, 11:45

LNV во всём прав. Даже в том, что уж совсем было легко заметить мою опечатку (называть её ошибкой - конечно, в духе LNV, но всё же это, очевидно, опечатка - допущенная не специально, но,как выяснилось, весьма уместная, ибо явилась индикатором - понятно, кто и когда внимательно прочитал написанное.
Кстати, похоже, сам LNV это сделал только через 22 дня после того, как пустяковый вопросик был выложен. (Это, видимо, стоит вписать под номером 1 в открытый списке симптомов лени.)

Жаль, что LNV не сообщил нам о результатах проведённого экспериимента (если он его всё же провёл, как было мною рекомендовано).

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Ср, 10 янв 2018, 11:53

LNV писал(а):Ну пора уже развеять МИФ решения ПУСТЯКОВОГО ВОПРОСИКА, а то они (и миф и вопросик) неприлично давно здесь "висят"...


LNV во всём прав (см. его пост от 9 января). Даже в том, что уж совсем было легко заметить опечатку (назвать её ошибкой - конечно, в духе LNV, но всё же это, очевидно, опечатка - допущенная не специально, но,как выяснилось, весьма уместная, поскольку явилась индикатором - теперь понятно, кто и когда внимательно прочитал написанное. Опечатка исправлена, за что LNV отдельное спасибо.
Кстати, похоже, LNV сам прочитал всё внимательно только через 22 дня после того, как пустяковый вопросик был выложен. И это, видимо, стоит записать под номером 1 в открытом LNV списке симптомов лени. :)

Жаль, что LNV не сообщил "городу и миру" о результатах проведённого экспериимента (если он его всё же провёл, как было мною рекомендовано).

LNV
Сообщения: 45
Зарегистрирован: Вт, 17 ноя 2015, 20:45

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение LNV » Чт, 11 янв 2018, 19:45

PSP писал(а):Кстати, похоже, LNV сам прочитал всё внимательно только через 22 дня после того, как пустяковый вопросик был выложен. И это, видимо, стоит записать под номером 1 в открытом LNV списке симптомов лени.

А я специально дал время другим, мало занимающимся или вообще не занимающимися комбинаторикой, для того, чтобы подумать, несмотря на название, над этим серьёзным вопросом. :roll:

PSP писал(а):Жаль, что LNV не сообщил "городу и миру" о результатах проведённого эксперимента (если он его всё же провёл, как было мною рекомендовано).

Эксперимент я не проводил (кубиков нет :D ). Я рассуждал по-другому:

Событие, заключающиеся в том, что выпадет или сумма 2, или сумма 3, ..., или сумма 12 - достоверное (то есть его вероятность равна 1). Отсюда p(2)+p(3)+p(4)+...+p(12)=1 (*).

И если не поленится и посчитать сумму p(2)+p(3)+p(4)+...+p(12) из решения PSP, получим, что она меньше 1, что противоречит (*). Так что решение PSP, очевидно неверное, и нужно искать ляп, который я и указал. :D

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Пт, 12 янв 2018, 9:23

Безотносительно ко всему написанному выше замечу, что никакое рассуждение не может заменить эксперимент.
А изложенное выше решение PSP, вне всяких сомнений, неверное.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Вс, 14 янв 2018, 13:28

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ИТОГИ РЕШЕНИЯ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 3

Наибольшие затруднения у тех, кто не поленился и прислал решения (ответы) на эту задачу, вызвали сюжеты 2 и 4.
Поэтому авторские решения этих сюжетов и выкладываются.

Сюжет 2
В конце своего пути Шуршавчик неизбежно (каков бы ни был порядок шагов вправо и влево) имеет координату 123 − 77 = 46. Значит, наибольший разнос может быть 123. Наибольший разнос получается, если все шаги вправо Шуршавчик делает подряд. Первый шаг вправо может быть по счёту первым, вторым и так далее до номера 78 (сначала 77 шагов влево, а затем все шаги вправо). Таким образом, всего 77 + 1 = 78 способов.

Сюжет 4
Пусть П – понедельник, И – иной день (любой, кроме понедельника), Д – девочка, М – мальчик.
Дети появляются в некоторой последовательности (ММ, МД, ДМ или ДД). Все последовательности равновозможны. Для семьи Обычного Шуршавчика есть 3 равновозможные последовательности: ММ, МД, ДМ. Следовательно, вероятность события «Мальчик и девочка» для семьи ОШ равна 2/3.

Для семьи Самого Шуршавого Шуршавчика всего 16 исходов-последовательностей, из которых 9 (МИМИ, МИДИ, МИДП, ДИМИ, ДИДИ, ДИДП, ДПМИ, ДПДИ, ДПДП) невозможны, поскольку не содержат фрагмента МП. Зато семь последовательностей, содержащих МП, возможны: МПМП, МПМИ, МПДП, МПДИ, МИМП, ДПМП и ДИМП.
Учитывая, что вероятность родиться в понедельник равна 1/7, а в другой день – 6/7, находим, что суммарная вероятность возможных последовательностей равна 27/196.
Из этих последовательностей только четыре (МПДП, МПДИ, ДПМП и ДИМП) благоприятствуют событию «мальчик и девочка». Их суммарная вероятность равна 14/196.
Следовательно, условная вероятность события «мальчик и девочка» при условии «есть мальчик, родившийся в понедельник»,
равна 14/196 : 27/196 = 14/27.

Замечание.
С заданием этого сюжета можно было разобраться иначе. Например, рассмотреть упрощённое вероятностное пространство, где элементарными исходами служат события вида МПД*, Д*МП, МПМ* и М*МП, где звездочка означает любой день недели. Событий каждого вида ровно 7, но одно (МПМП) считается дважды. Значит, всего их 27, и все они равновозможны. Из них с девочкой всего 14 событий, откуда и получается результат.

Правда, удивительно, что день недели, в который родился мальчик, изменяет вероятность разнополой пары? Но это именно так!


Если есть недоумения, вопросы, возражения, пишите здесь!

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Пт, 19 янв 2018, 15:37

Поскольку в течение весьма продолжительного времени вопросы здесь не появились, можно подвести

ИТОГИ
участия в решении призовой задачи № 3

Начал-побеждай_40.jpg
Начал-побеждай_40.jpg (42.65 КБ) 4078 просмотров

Победителем признаётся Лукашов Никита (10 баллов из 33 возможных).
ПОЗДРАВЛЯЕМ!

LNV
Сообщения: 45
Зарегистрирован: Вт, 17 ноя 2015, 20:45

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение LNV » Вс, 21 янв 2018, 21:09

PSP писал(а):РЕШЕНИЯ ПРИЗОВОЙ ЗАДАЧИ № 3

Сюжет 2
В конце своего пути Шуршавчик неизбежно (каков бы ни был порядок шагов вправо и влево) имеет координату 123 − 77 = 46. Значит, наибольший разнос может быть 123.

Да, с этим я согласен.
В дополнение, замечу, что для того, чтобы разнос Шуршавчика был максимальным, нужно, чтобы он обязательно "посетил" координату -77.

Наибольший разнос получается, если все шаги вправо Шуршавчик делает подряд

Замечу, что эта фраза эквивалента фразе из моего решения: "Очевидно, что разнос будет максимальным только в том случае, если каждую точку в разносе (отрезке) Шуршавчик пройдёт не более 2-х раз" (то есть он не делает петель) - которую PSP подчеркнул, и написал, что это не очевидно, хотя сейчас пишет тоже самое.

Первый шаг вправо может быть по счёту первым, вторым и так далее до номера 78 (сначала 77 шагов влево, а затем все шаги вправо).

Это фраза мне не понятна совсем. Что значит "Первый шаг вправо может быть по счёту первым"? Это означает, что первый шаг Шуршавчик может сделать вправо?
Если я правильно понял, то не может, поскольку, как было выше замечено, что для того, чтобы разнос Шуршавчика был максимальным, нужно, чтобы он обязательно "посетил" координату -77, а при таком первом ходе он этого не сделает.

PSP, жду объяснений!

Если все мои замечания верные, то тогда получается, что существует всего ОДНА последовательность шагов, при которой разнос Шуршавчика максимальный: сначала делаются все шаги влево, а затем все шаги вправо.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Пн, 22 янв 2018, 16:22

LNV писал(а):
Наибольший разнос получается, если все шаги вправо Шуршавчик делает подряд

Замечу, что эта фраза эквивалента фразе из моего решения: "Очевидно, что разнос будет максимальным только в том случае, если каждую точку в разносе (отрезке) Шуршавчик пройдёт не более 2-х раз" (то есть он не делает петель) - которую PSP подчеркнул, и написал, что это не очевидно, хотя сейчас пишет тоже самое.

"Эквивалентность" и "то же самое" - это не одно и то же. И , тем более, далеко не всегда эквивалентность очевидна.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Пн, 22 янв 2018, 16:27

LNV писал(а):
Первый шаг вправо может быть по счёту первым, вторым и так далее до номера 78 (сначала 77 шагов влево, а затем все шаги вправо).

Это фраза мне не понятна совсем. Что значит "Первый шаг вправо может быть по счёту первым"?

Поясняю. Например,
Шуршавчик делает 1-й шаг влево, 2-й - вправо, 3-й - вправо.
Тогда, очевидно. первый шаг, сделанный вправо - это 2-й по счёту шаг, а второй шаг, сделанный вправо, - это 3-ий по счёту шаг.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6663
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Комбинаторика и вероятность...

Сообщение PSP » Пн, 22 янв 2018, 16:28

LNV писал(а):Если все мои замечания верные, то тогда получается, что существует всего ОДНА последовательность шагов, при которой разнос Шуршавчика максимальный: сначала делаются все шаги влево, а затем все шаги вправо.

Увы, нет ни одного замечания, которое опровергает приведённое выше решение.


Вернуться в «Поговорим о математике...»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостя