Нуль-множества

Модератор: модераторы

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 7165
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Нуль-множества

Сообщение PSP » Ср, 28 дек 2016, 9:10

В книге "Учимся рассуждать" (С. П. Павлов, Луга, 2007 г.) на стр. 134-137 опубликован материал о нуль-множествах.

Поскольку названная книга есть не у всех, ниже приводятся основные моменты изложенного в книге на стр. 134-135.

Пусть n ∈ ℕ. Множество остатков, которые дают числа при делении на n, т. е. множество {0, 1, 2, … , n–1} будем обозначать через ℤn.

Определение 1. Пусть a, b – элементы ℤn. Назовём суммой a и b по модулю n такой элемент c ∈ ℤn, что числа a+b и c имеют одинаковые остатки при делении на n. (В дальнейшем мы будем называть сумму по модулю n просто суммой и обозначать её как a+b).

Определение 2. Пусть A ⊂ ℤn. Множество A будем называть нуль-множеством в ℤn, если сумма всех элементов множества A равна нулю.

Определение 3. Пусть A ⊂ ℤn. Если A содержит некоторое нуль-множество B, то A будем называть обнуляемым множеством; в противном случае – необнуляемым.

Определение 4. Если нуль-множество A в ℤn содержит нулевой элемент (число ноль), будем называть A тривиальным нуль-множеством в ℤn, если не содержит – нетривиальным.

Обозначения.
Число всех нуль-множеств в ℤn будем обозначать через R(n), а число нетривиальных нуль-множеств – через r(n).

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 7165
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Нуль-множества

Сообщение PSP » Ср, 28 дек 2016, 9:15

Задачи.

1.1. Какую длину может иметь нуль-множество а) в ℤ4; б) в ℤ5; в) в ℤ1000; г) в ℤn ?
1.2. Какую длину может иметь нетривиальное нуль-множество а) в ℤ7; б) в ℤ10; г) в ℤn (n ≥ 3)?
1.3. Докажите, что количество нетривиальных нуль-множеств длины 3
а) в ℤ10 равно 8; б) в ℤ100 больше 1000; в) в ℤn больше (n2-6n-12)/6, если n кратно 6.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 7165
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Нуль-множества

Сообщение PSP » Ср, 28 дек 2016, 9:35

На занятии в Сиверской гимназии 27 декабря 2016 г.:

- успешно решены все пункты задачи 1.1;

- в задаче 1.2 решены все пункты, кроме последнего.
по нему Терещенко Дмитрий высказал гипотезу (назвал ответ), но доказать её в полной мере не смог
(как, впрочем, и все остальные участники группы);

- в задаче 1.3 решён пункт а).


Вернуться в «Поговорим о математике...»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 14 гостей