Теорема Кирилла

[PSP]

В разговоре с Кириллом (одним из участников Лужского муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике) возник весьма полезный разговор об утверждении, которое назовём
Теоремой Кирилла (ТК):
если n - натуральное число, то сумма цифр у числа 2ⁿ не изменится при его умножении на 2⁶.

Примеров n, для которых ТК верна, очень много.
Но любое количество примеров, разумеется, не доказывает истинность ТК.

Верна ли ТК?

10-классники, участвовавшие в муниципальном этапе математической олимпиады 19 ноября, думаю, поняли, в связи с какой олимпиадной задачей возник наш разговор с Кириллом...

[PSP]

При общении с Кириллом я предложил ему свою теорему (назовём её Теоремой Жюри (ТЖ), очень похожую на ТК:
при умножении любого натурального числа N на 64 получается новое число, у которого сумма цифр такая же, как у N.

Вот её "доказательство":
у 25 сумма цифр 7, у 1600 - тоже 7,
у 19 сумма цифр 10, у 1216 - тоже 10,
у 189 сумма цифр 18, у 12096 - тоже 18.
И так далее...

Верна ли ТЖ?

[LNV]

В разговоре с Кириллом (одним из участников Лужского муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике) возник весьма полезный разговор об утверждении, которое назовём
Теоремой Кирилла (ТК):
если n - натуральное число, то сумма цифр у числа 2ⁿ не изменится при его умножении на 2⁶.

Примеров n, для которых ТК верна, очень много.
Но любое количество примеров, разумеется, не доказывает истинность ТК.

Верна ли ТК?

10-классники, участвовавшие в муниципальном этапе математической олимпиады 19 ноября, думаю, поняли, в связи с какой олимпиадной задачей возник наш разговор с Кириллом...

Контрпример: n=5 (натуральное число). 2⁵=32, сумма цифр равна 5. 32*2⁶=2048, сумма цифр равна 14. 14 не равно 5.
Теорема опровергнута.

[LNV]

При общении с Кириллом я предложил ему свою теорему (назовём её Теоремой Жюри (ТЖ), очень похожую на ТК:
при умножении любого натурального числа N на 64 получается новое число, у которого сумма цифр такая же, как у N.

Вот её "доказательство":
у 25 сумма цифр 7, у 1600 - тоже 7,
у 19 сумма цифр 10, у 1216 - тоже 10,
у 189 сумма цифр 18, у 12096 - тоже 18.
И так далее...

Верна ли ТЖ?

Контрпример: N=17 (натуральное число), сумма цифр 8; 17*64=1088, сумма цифр 17. 17 не равно 8.
Теорема опровергнута.

[PSP]

Да, LNV прав: обе теоремы ложны.
ТЖ, честно говоря, была придумана исключительно для того, чтобы помочь Кириллу осознать, что его теорема (ТК) ложна.

А вот условие той самой задачи муниципальной олимпиады 10 класса, которой данная тема обязана своим существованием.

У числа у = 8⁸⁸ нашли сумму цифр, у неё снова нашли сумму цифр, и так далее. Будет ли этот процесс конечен, и если да, то каким числом он завершится?

Зачем было число обозначать какой-то буквой - вопрос интересный, но оставим его в стороне.
В этом году к составителю задач для муниципального этапа есть много куда более интересных вопросов ...

Как бы вы решали эту задачу (кстати, очень "бородатую")?

[PSP]

Лукашов Никита (9 кл., Сиверская гимназия)
прислал верное решение задачи, предложенной на муниципальной олимпиаде 10-классникам (о числе 8⁸⁸, см. выше).

А Кирилл, дискуссии с которым эта тема обязана своим рождением, здесь почему-то писать не хочет и, похоже, теперь выдвигает уже новую теорему (назовём её ТЖ2):
при умножении на 64 числа 2^N (N - натуральное), его однозначная сумма цифр не меняется.
(однозначной суммой цифр здесь названо однозначное число, получаемое в процессе, описанном в условии олимпиадной задачи.

Теорему ТЖ2 Кирилл, конечно, не доказывает. Он просто уверен, что она истинна.
Разумеется, уверенность в математике не заменяет доказательство, но вопрос возник небезынтересный:
Верна ли теорема ТЖ2?

[Влад]

А разве про подобные задачи нет целой темы в ЗМШ классе в 7?

[PSP]

А разве про подобные задачи нет целой темы в ЗМШ классе в 7?

В программе ЗМШ есть много хороших и важных тем.
Но Кирилл - не ученик ЗМШ. Видимо, к сожалению.