Теорема Кирилла

Модератор: модераторы

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6125
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Теорема Кирилла

Сообщение PSP » Ср, 14 дек 2016, 9:40

В разговоре с Кириллом (одним из участников Лужского муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике) возник весьма полезный разговор об утверждении, которое назовём
Теоремой Кирилла (ТК):
если n - натуральное число, то сумма цифр у числа 2n не изменится при его умножении на 26.

Примеров n, для которых ТК верна, очень много.
Но любое количество примеров, разумеется, не доказывает истинность ТК.

Верна ли ТК?

10-классники, участвовавшие в муниципальном этапе математической олимпиады 19 ноября, думаю, поняли, в связи с какой олимпиадной задачей возник наш разговор с Кириллом...

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6125
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Теорема Кирилла

Сообщение PSP » Ср, 14 дек 2016, 9:46

При общении с Кириллом я предложил ему свою теорему (назовём её Теоремой Жюри (ТЖ), очень похожую на ТК:
при умножении любого натурального числа N на 64 получается новое число, у которого сумма цифр такая же, как у N.

Вот её "доказательство":
у 25 сумма цифр 7, у 1600 - тоже 7,
у 19 сумма цифр 10, у 1216 - тоже 10,
у 189 сумма цифр 18, у 12096 - тоже 18.
И так далее...

Верна ли ТЖ?

LNV
Сообщения: 41
Зарегистрирован: Вт, 17 ноя 2015, 20:45

Re: Теорема Кирилла

Сообщение LNV » Ср, 14 дек 2016, 19:29

PSP писал(а):В разговоре с Кириллом (одним из участников Лужского муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике) возник весьма полезный разговор об утверждении, которое назовём
Теоремой Кирилла (ТК):
если n - натуральное число, то сумма цифр у числа 2n не изменится при его умножении на 26.

Примеров n, для которых ТК верна, очень много.
Но любое количество примеров, разумеется, не доказывает истинность ТК.

Верна ли ТК?

10-классники, участвовавшие в муниципальном этапе математической олимпиады 19 ноября, думаю, поняли, в связи с какой олимпиадной задачей возник наш разговор с Кириллом...


Контрпример: n=5 (натуральное число). 25=32, сумма цифр равна 5. 32*26=2048, сумма цифр равна 14. 14 не равно 5.
Теорема опровергнута.

LNV
Сообщения: 41
Зарегистрирован: Вт, 17 ноя 2015, 20:45

Re: Теорема Кирилла

Сообщение LNV » Чт, 15 дек 2016, 19:28

PSP писал(а):При общении с Кириллом я предложил ему свою теорему (назовём её Теоремой Жюри (ТЖ), очень похожую на ТК:
при умножении любого натурального числа N на 64 получается новое число, у которого сумма цифр такая же, как у N.

Вот её "доказательство":
у 25 сумма цифр 7, у 1600 - тоже 7,
у 19 сумма цифр 10, у 1216 - тоже 10,
у 189 сумма цифр 18, у 12096 - тоже 18.
И так далее...

Верна ли ТЖ?

Контрпример: N=17 (натуральное число), сумма цифр 8; 17*64=1088, сумма цифр 17. 17 не равно 8.
Теорема опровергнута.

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6125
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Теорема Кирилла

Сообщение PSP » Пт, 16 дек 2016, 8:33

Да, LNV прав: обе теоремы ложны.
ТЖ, честно говоря, была придумана исключительно для того, чтобы помочь Кириллу осознать, что его теорема (ТК) ложна.

А вот условие той самой задачи муниципальной олимпиады 10 класса, которой данная тема обязана своим существованием.

У числа у = 888 нашли сумму цифр, у неё снова нашли сумму цифр, и так далее. Будет ли этот процесс конечен, и если да, то каким числом он завершится?

Зачем было число обозначать какой-то буквой - вопрос интересный, но оставим его в стороне.
В этом году к составителю задач для муниципального этапа есть много куда более интересных вопросов ...

Как бы вы решали эту задачу (кстати, очень "бородатую")?

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6125
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Теорема Кирилла

Сообщение PSP » Вс, 18 дек 2016, 14:16

Лукашов Никита (9 кл., Сиверская гимназия)
прислал верное решение задачи, предложенной на муниципальной олимпиаде 10-классникам (о числе 888, см. выше).

А Кирилл, дискуссии с которым эта тема обязана своим рождением, здесь почему-то писать не хочет и, похоже, теперь выдвигает уже новую теорему (назовём её ТЖ2):
при умножении на 64 числа 2N (N - натуральное), его однозначная сумма цифр не меняется.
(однозначной суммой цифр здесь названо однозначное число, получаемое в процессе, описанном в условии олимпиадной задачи.

Теорему ТЖ2 Кирилл, конечно, не доказывает. Он просто уверен, что она истинна. :)
Разумеется, уверенность в математике не заменяет доказательство, но вопрос возник небезынтересный:
Верна ли теорема ТЖ2?

Влад
Сообщения: 1615
Зарегистрирован: Ср, 07 янв 2004, 16:10
Откуда: PUNK_22_13
Контактная информация:

Re: Теорема Кирилла

Сообщение Влад » Вс, 18 дек 2016, 18:39

А разве про подобные задачи нет целой темы в ЗМШ классе в 7?
"Ты - мой вопрос на главный ответ!"(с)СЛОТ
She broke my heart.
You merely broke my life.

Я сразу всё, но я ничто.
Я тысячи людей, но я никто...
:D :D :D
Превратился в дерьмо, а как обратно - не знаю...

PSP
Администратор сайта
Сообщения: 6125
Зарегистрирован: Вс, 28 дек 2003, 11:47
Откуда: Луга
Контактная информация:

Re: Теорема Кирилла

Сообщение PSP » Пн, 19 дек 2016, 15:10

Влад писал(а):А разве про подобные задачи нет целой темы в ЗМШ классе в 7?

В программе ЗМШ есть много хороших и важных тем.
Но Кирилл - не ученик ЗМШ. Видимо, к сожалению.


Вернуться в «Поговорим о математике...»

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостя