math.luga.ru : Форум

Влад сообщил:

Задачи олимпиады ММ СПбГУ. (один из вариантов)

1. Окружность радиуса R вписана в четырёхугольник ABCD. Найти его площадь, если известно, что сумма длин его сторон AB и BC равна 42, периметр треугольника ACD равен 18 и OD:OB = 1:4 , где O - точка пересечения диагоналей четрёхугольника. Указать при каких значениях R задача имеет решение.

2. Решить уравнение (4x+2)*sqrt(x+1) - (4x-2)*sqrt(x-1) = 9.

3. Решить неравенство log_(2-x)^(|x^2+x|) + log_(2*x-x^2)^(|x^3+x^2|) <= 2.

4. Решить систему 2^x + 2^y = 5-2*x & 2^(x+y) = x^2 - 5*x +4.

5. Определить число решений уравнения cos(2*x) / sqrt(sin(x)-a) = (a*a + cos(x)) / sqrt(sin(x)-a) на отрезке [0, 2*pi] в зависимости от параметра a.

6. Найти все упорядоченные пары целых (k,l) чисел такие, что многочлен P(x) = x^3 - (k-1)*x^2 + (k^2+k-1)*x + k + l имеет лишь целые корни, то есть представим в виде P(x) = (x-x_1)*(x-x_2)*(x-x_3), где x_1, x_2, x_3 - какие-либо целые числа.

7. Какой максимальный объём может иметь треугольная пирамида, у которой какие-либо три ребра равны A, а два из трёх оставшихся равны 1.

В задаче №3 логарифмы по какому основанию?

PSP писал(а):В задаче №3 логарифмы по какому основанию?

по тому, что между _ и ^ ... как в TEX'е =)

Если как в Tex'e, то основанием будет (, а аргумент ещё веселее

Правильно в Тех'e так:
$log_{2-x}(|x^2+x|) + log_{2x-x^2}(|x^3+x^2|) \leq 2.$

Прочитал обмен "тех. мнениями" и вспомнил...

Когда начался "ЭВМ-бум", некоторые математики заговорили на языках программирования. В те времена я вёл занятия в Ленинградской ЮМШ, и одной из моих учениц была дочка известного советского академика С.С. Лаврова. Помнится, мы с её папой даже написали по поводу "нового языка" совместную эпиграмму. Пытался вспомнить её, но... Две последние строчки в ней были такими: "
"И вместо нужного to go,
Ему он скажет go to".